Cálculo IV- Lista 10 - MTM

Cálculo IV- Lista 10
Prof. Luciano Bedin
1. Considere uma superfı́cie condutora S com espessura desprezı́vel `. Inicialmente
~ = −∇Φ no vácuo e
S não está carregada, mas é exposta a um campo elétrico E
adquire uma distribuição superficial de cargas igual a σ. Se S é uma superfı́cie lisa
σ em S.
que possui vetor normal exterior unitário igual a ~n, mostre que ∇Φ · ~n = 4π
2. Seja Ω ⊂ R3 uma região aberta e limitada com fronteira S e vetor normal exterior
unitário igual a ~n. Admita que o teorema da divergência é válido para Ω ∪ S.
Considere o problema de Neumann: encontrar uma função Φ suficientemente suave
em Ω ∪ S tal que Φ satisfaz:
∇2 Φ = 0 em Ω,
∂Φ
4π
=
σ em S.
∂~n
Mostre que se
RR
S
(1)
(2)
σds = 0, a solução desse problema, se existir, é única.
3. Demonstre a validade da representação de Green para uma função harmônica u =
u(x, y) numa região aberta Ω do plano delimitada por uma curva de Jordan suave
por partes C orientada no sentido anti-horário.
4. Considere uma esfera condutora (oca) de raio R cuja superfı́cie é mantida a um
potencial eletrostático constante V .
a. Admitindo que não há cargas no interior da esfera, encontre o potencial
eletrostático nessa região.
b. Admitindo que não há cargas no exterior da esfera encontre o potencial
eletrostático nessa região.
5. Considere duas esferas ocas concêntricas condutoras de raios R1 e R2 , R1 < R2 .
Sabendo-se que a superfı́cie da esfera com raio R1 é mantida a potencial constante
V1 e a superfı́cie da outra esfera é mantida a potencial nulo, encontre o potencial
eletrostático entre as duas esferas.
R1
R.: u(ρ) = RV11−R
(1 − (R2 /ρ))
2
6. A superfı́cie de uma esfera oca condutora de raio R é mantida a um potencial
f (φ). Admitindo que não há cargas na região exterior à esfera, encontre o potencial
eletrostático U nessa região. (Dica: Resolva a equação de Laplace em coordenadas
esféricas (ρ, θ, φ) e suponha que lim U (ρ, θ, φ) = 0, lim+ U (ρ, θ, φ) e lim− U (ρ, θ, φ)
ρ→+∞
existem.)
φ→0
φ→π
7. Encontre o potencial no retângulo 0 < x < 20, 0 < y < 40, sabendo que o lado
superior é mantido a um potencial de 110 V e outros lados estão aterrados.
+∞
X
sin ((2n + 1)πx/20) sinh ((2n + 1)πy/20)
440
R.: u(x, t) = π
(2n + 1) sinh (2(2n + 1)π)
n=0
8. Encontre o potencial no quadrado 0 < x < 3, 0 < y < 3, sabendo que o lado inferior
é mantido a um potencial de sin (πx/3) e outros lados estão aterrados.
sinh ((π/3)(3−y))
R.: u(x, t) = sin (πx/3) sinh
(π)
9. Suponha que u é o potencial eletrostático no interior de um disco de raio 1 que não
contém cargas no seu interior e tal que o potencial sobre a fronteira do cı́rculo (ou
seja, quando r = 1) é dado por u(θ) = −1, se π < θ < 2π e u(θ) = 1 se 0 < θ < π.
Mostre que u(r, θ) = π4 r sin θ + 13 r3 sin 3θ + 51 r5 sin 5θ + . . . .
(Dica: resolva a equação de Laplace em coordenadas polares propondo u(r, θ) =
R(r)Θ(θ) e procure por soluções u limitadas e periódicas em θ, de perı́odo 2π.)
10. Considere o problema anterior para r = 1, u(θ) = θ, se 0 < θ < π/2 ou 3π/2 < θ <
2π, u(θ) = 0, se π/2 < θ < 3π/2. Mostre que
u(r, θ) =
2
1
2 3
1
r sin θ + r2 sin 2θ −
r sin 3θ − r4 sin 4θ + . . .
π
2
9π
4
11. Um cilindro sólido é limitado por z = 0, z = L e por r = R (coordenadas cilı́ndricas).
A superfı́cie lateral e o fundo do cilindro estão aterrados, enquanto seu topo é
mantido a um potencial igual a 2 V. Encontre o potencial eletrostático no interior
do cilindro admitindo que o potencial só depende das variáveis r e z.
+∞
X
sin (αn z/R)
J0 (αn r/R), onde αn são as raı́zes da equação de
R.: u(r, z) = 2 cn
sin (αn L/R)
i=1
Bessel de ordem zero e cn =
RR
J0 (αn r/R)rdr
R R0
.
2
0 (J0 (αn r/R)) rdr
12. Suponha que u representa o potencial eletrostático no semi-disco r < 1, 0 < θ < π,
o qual é igual a 110 θ (π − θ) sobre a semicircunferência r = 1 e 0 sobre o segmento
1 3
1 5
−1 < x < 1. Mostre que u(r, θ) = 880
r
sin
θ
+
r
sin
3θ
+
r
sin
5θ
+
.
.
.
3
3
π
3
5