Exercício

setor 1101
11010408
Aula 31
NÚMEROS COMPLEXOS: PLANO DE ARGAND-GAUSS
•
Até este ponto, usamos, para representar um número complexo a expressão a + b ⋅ i, em que a e b são números reais e
i é a unidade imaginária.
Com a, b, c e d reais, temos que:
a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) ⋅ (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Im(z)
ρ
θ
a
•
Podemos representar cada número complexo simplesmente
por um par ordenado (a, b), com a e b reais. Assim, temos,
por exemplo:
3 + 4i = (3, 4)
4 + 3i = (4, 3)
1 = (1, 0)
i = (0, 1)
•
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) ⋅ (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
•
Re(z)
Dado o complexo não nulo z = a + bi, com a e b reais, chamamos de argumento de z ao número real θ, 0 θ 2π,
tal que cos θ =
Desse modo, o conjunto C| dos números complexos pode ser
descrito como sendo um conjunto de pares ordenados de
números reais, tais que:
•
P
b
a
ρ
e sen θ =
b
ρ
, com ρ = |z|
Do item anterior, temos a = ρ ⋅ cos θ e b = ρ ⋅ sen θ.
Logo, a + bi = ρ ⋅ cos θ + i ⋅ ρ ⋅ sen θ. Assim, nessas
condições, temos que, todo complexo não nulo z pode ser
representado pela expressão ρ(cos θ + i ⋅ sen θ), em que
ρ e θ são, nessa ordem, o módulo e o argumento de z.
Essa representação é chamada de forma trigonométrica
(ou forma polar) de z.
Para todo complexo z, temos que z ⋅ –z = |z|2.
Exercício
Obtenha, em cada caso, o módulo, o argumento e a forma
trigonométrica de z:
O plano de Argand-Gauss é uma representação gráfica
do conjunto C| ; nele, cada número complexo (a, b), ou seja
a + bi, com a e b reais, é representado pelo ponto P de
abscissa a e ordenada b. O ponto P é chamado de afixo
do número complexo.
a) z = 1 + i 3
Im(z)
3
Im(z)
ρ
P
b
θ
1
Re(z)
3 )2 ∴ ρ = 2
ρ = 1 2 + (
0 θ 2π
•
Dado o complexo z = a + bi, com a e b reais, chamamos de
módulo de z ao número real não negativo |z| =
cos θ =
a2 + b2 .
Note que, no plano de Argand-Gauss, o módulo de z corresponde à distância da origem a seu afixo.
ALFA-4 85015048
1
, sen θ =
2

π

3
z = 2  cos
5
+ i sen
3
2
14243
a
Re(z)
∴ θ=
π
3
π 

3 
ANGLO VESTIBULARES
b) z = – 2
Im(z)
θ
ρ
Re(z)
–2
ρ = 2, θ = π
z = 2(cos π + i sen π)
c) z = 1 – i
Im(z)
θ
1
Re(z)
ρ
–1
2, θ=
ρ = 
2  cos
z = 
7π
4
3π
7π 

+ i sen
4
4 
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
Livro 1 — Unidade IV (Cap. 13)
Caderno de Exercícios — Unidade III
Tarefa Mínima
•
Faça o exercício 11, série 11.
Tarefa Complementar
•
ALFA-4 85015048
6
Faça o exercício 12, série 11.
ANGLO VESTIBULARES
Aula 32
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL: CONCEITO
,
,
Se x 0, então | x | = x
3. Sendo x 4, então
Se x 0, então | x | = –x
a)
b)
c)
d)
e)
Exemplos:
a) | 5 | = 5
b) | – 5 | = – (– 5) = 5
c) | 0 | = 0
1
–2
x
–x
0
123
1) O módulo de um número real é positivo ou nulo.
|x – 4| = – (x – 4) =
4–x
|4 – x|
123
+
2) No eixo real, o módulo de um número x é a distância da origem ao ponto que representa o número x. Assim:
–2
é igual a
|4 – x|
–
OBSERVAÇÕES
–3
( x – 4)2
–1
0
|– 3| = 3
1
2
4–x
4–x
=1
3
|3| = 3
PROPRIEDADES
Sendo a e b reais, tem-se:
a)
a2 = | a |
b) | a ⋅ b | = | a | ⋅ | b |
c)
a = |a|
|b|
b
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
(b ≠ 0)
Caderno de Exercícios — Unidade II
d) | a + b | | a | + | b |
Tarefa Mínima
Exercícios
•
Resolva os exercícios 1 e 2, série 6.
1. Simplifique: E = | 2 – 2 | + |1 – 2|
Tarefa Complementar
E = | 2 – 2 | + | 1 – 2|
123
123
+
–
•
1.
2 – (1 – 2)
E = 2 – 2.
2. Sendo 2 x 3, simplifique:
,
Simplifique
|x
2
– 4|
x –2
2 – 1 + 2 =1
E = 2 – a)
Resolva os exercícios a seguir.
Se x 1, então a expressão E = x 2 – 2 x + 1 + x
a)
b)
c)
d)
e)
x–2
|x – 2|
=1
=
x–2
x–2
para – 2 x 2.
é igual a
0
1
–1
x
2x
,
3.
|x – 3| – (x – 3)
b)
=
= –1
x–3
x–3
Sabendo que y x, simplifique
,
2
(x – y)
,
+
2
(y – x)
x – y
ALFA-4 85015048
7
ANGLO VESTIBULARES
Aula 33
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL (GRÁFICOS)
3. y = | x – 2 | + x
Exercícios
x2
Esboçar o gráfico de:
1. y = |x|
x2
2
y = – (x – 2) + x
y=x–2+x
y = 2x – 2
y=2
x0
x0
0
y=–x
x
x
y=x
y
4
y
2
1
2
x
3
x
–1
2.
0
1
y = ( x – 1)2
y = |x – 1|
x1
x1
1
y = – (x – 1)
x
y=x–1
y=–x+1
y
1
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
0
1
2
Livro 1 — Unidade III
x
Caderno de Exercícios — Unidade II
Tarefa Mínima
•
•
Leia o item 4, cap. 7.
Resolva o exercício 3, série 6.
Tarefa Complementar
•
ALFA-4 85015048
8
Resolva os exercícios 4 e 5, série 6.
ANGLO VESTIBULARES
Aula 34
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL (EQUAÇÕES)
4. x2 – 3 = 2 ⋅ | x |
Exercícios
x0
Resolver em IR as equações:
x0
0
x
→
1. | 2x – 1| = 5
x2 – 3 = – 2x
2x – 1 = 5 → x = 3
ou
2x – 1 = – 5 → x = – 2
S = {3, – 2}
x2 – 3 = 2x
x2 + 2x – 3 = 0
x2 – 2x – 3 = 0
1(n/c)
x = –2 ± 4
2
3
x= 2±4
2
–3
– 1(n/c)
Logo, S = {– 3, 3}
2. | x2 – 4| = 5
x=3
x2 – 4 = 5 → x2 = 9
x = –3
ou
– 4 = – 5 → x2 = – 1(∃x)
S = {3, – 3}
x2
3. 2x + | x – 3| = 0
x3
3
x3
x
→
2x – (x – 3) = 0
2x + x – 3 = 0
2x – x + 3 = 0
3x – 3 = 0
x = – 3 (convém)
x = 1 (n/c)
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
Livro 1 — Unidade III
Caderno de Exercícios — Unidade II
Logo, S = {– 3}
Tarefa Mínima
•
•
Leia o item 2, cap. 7.
Resolva o exercício 6, série 6.
Tarefa Complementar
•
ALFA-4 85015048
9
Resolva os exercícios 7 e 8, série 6.
ANGLO VESTIBULARES
Aula 35
INEQUAÇÕES MODULARES
Seja a um número real tal que a 0. Então:
1) | x | a ⇒ x a
ou
x –a
–a
0
a
x
0
a
x
2) | x | a ⇒ – a x a
–a
Nota: se a 0 tem-se que:
1) | x | a é sempre verdade.
2) | x | a é sempre falso.
Exercícios
Resolver em IR:
1. | x | 5
–5
0
x
5
S = {x ∈ IR | x – 5 ou x 5 }
2. | x | 5
–5
0
x
5
S = {x ∈ IR | – 5 x 5 }
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
Livro 1 — Unidade III
3. | x – 1 | 5
Caderno de Exercícios — Unidade II
–5
x–1–5
ou
x–4
S = {x ∈ IR | x – 4
5
x–1
Tarefa Mínima
x–15
x6
ou x 6}
•
•
Leia o item 3, cap. 7.
Resolva o exercício 9, série 6.
Tarefa Complementar
•
ALFA-4 85015048
10
Resolva o exercício 10, série 6.
ANGLO VESTIBULARES
Aula 36
MATRIZES: CONCEITOS BÁSICOS — ADIÇÃO
Há inúmeras situações em que preparamos grades ou planilhas de m linhas e n colunas para apresentar um conjunto de m × n
números. É claro que, neste contexto, m e n são números inteiros positivos dados. Por exemplo, no sistema de matrículas do curso,
podemos preparar planilhas para futuros relatórios sobre o número de alunos presentes em cada aula, em cada turma. Após o
preenchimento de todas as células dessas planilhas, podemos operar com estas planilhas; reagrupar, somar, subtrair, multiplicar, calcular
médias etc. Cada planilha terá um ‘nome’ e, nela, cada célula é identificada por sua posição na planilha; um par ordenado (i, j),
correspondente à linha e à coluna. Assim, por exemplo, numa planilha cujo nome é A, ao afirmarmos que a2,3 = 47, queremos dizer que
o valor da célula que se encontra na 2ª- linha e 3ª- coluna é 47. Na Matemática, procedemos do seguinte modo:
— consideramos um conjunto D de pares ordenados (i, j), com 1 i m e 1 j n.
— consideramos as funções com domínio D e contra-domínio C.
Para estas funções estabelecemos regras que definem a igualdade, a adição, a multiplicação e outros conceitos e chamamos estas
funções de matrizes.
coluna 1 coluna 2
coluna j
coluna n
linha 1
a11
a12
..
a1j
..
a1n
linha 2
a21
a22
..
a2j
..
a2n
.
.
.
..
.
..
.
.
.
.
..
.
..
.
linha i
ai1
ai2
..
aij
..
ain
.
.
.
..
.
..
.
.
.
.
..
.
..
.
linha m
am1
am2
..
amj
..
amn
m×n
• Dizemos que uma matriz com m linhas e n colunas é do tipo m × n (leia-se m por n)
• De modo geral, aij é o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna, em que 1 i m e 1 j n. Assim, por exemplo, a1,2
(ou simplesmente a12) é o elemento da 1ª- linha e 2ª- coluna, enquanto a21 é o elemento da 2ª- linha e 1ª- coluna.
IGUALDADE DE MATRIZES
Num universo de matrizes do tipo m × n, as matrizes A = (aij) e B = (bij) são iguais se, e somente se, aij = bij, para todo i e j.
MATRIZ TRANSPOSTA
Para cada matriz A = (aij)m × n, definimos a matriz At = (aji)n × m, chamada de transposta de A.
Exemplo:
1 4
 1 2 3


 ⇔ A t = 2 5
A =
4 5 6


3 6
CLASSIFICAÇÃO PELO TIPO
• Uma matriz que possui apenas uma linha (m = 1) é chamada de matriz linha.
• Uma matriz que possui apenas uma coluna (n = 1) é chamada de matriz coluna.
• Uma matriz quadrada de ordem n é uma matriz do tipo n × n, isto é, uma matriz com n linhas e n colunas.
ALFA-4 85015048
11
ANGLO VESTIBULARES
Numa matriz quadrada A de ordem n o conjunto {a11, a22, …,
ann} é chamado de diagonal principal e o conjunto {a1n, …,
aij, …, an1}, com i + j = 1 + n é chamado de diagonal
secundária.
• Sendo A e B matrizes do mesmo tipo e r e s números quaisquer, temos as propriedades:
1) r(sA) = (rs)A
2) r(A + B) = rA + rB
3) (r + s)A = rA + sA
Exemplo: Na matriz
a
a
 11 12
A =  a 21 a 22

 a 31 a 32
diagonal secundária
4) (rA)t = r ⋅ At
Exercícios
a13 

a 23 

a 33 
1. Represente na forma de tabela a matriz A = (aij)2 × 3,
com aij = i + j – 3.
a12 a13   –1
 =
a22 a23   0
 a11

 a21
diagonal principal
{a11, a22, a33} é a diagonal principal e
0
1
1 

2 
{a13, a22, a31} é a diagonal secundária
2. Para que valores de x e y tem-se que
MATRIZ IDENTIDADE
Chamamos de matriz identidade, ou matriz unidade, de ordem n, denotada por In, toda matriz quadrada de ordem n em
que os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os
demais elementos são todos nulos.
Exemplos:
1 0
 eI =
I1 = [1], I2 = 
0 1 3
 2
x
 xy
De x2 = 4 e x(x – 1) = 6, temos x = – 2
De x = –2 e xy = x, temos y = 1
Resposta: x = – 2 e y = 1
1 0 0


0 1 0


0 0 1
3. Dado que A e B são matrizes tais que
 1 2
 1 – 2
 e A – B = 
 , obtenha A.
A + B = 
3 5
 – 3 – 3
OUTRAS REPRESENTAÇÕES
Até aqui, representamos as matrizes mediante tabelas entre
colchetes. Também é muito comum o uso de parênteses ( )
ou barras duplas || ||.
2   1 –2 
+ 

3
 5
–3 –3 
1
(A + B) + (A – B) = 
0
 ∴ A = I2
0 2 
2
2A = 
ADIÇÃO DE MATRIZES
• Num universo de matrizes do tipo m × n, dadas matrizes
A = (aij) e B = (bij) definimos a matriz S = A + B = (sij) tal
que sij = aij + bij, para todo i e j.
4. Qual é o elemento da 2ª- linha e 3ª- coluna da matriz
A + At, se A = (aij)3 × 3 com aij = i j ?
• Chamamos de matriz nula aquela em que todos os elementos são nulos. Notação: 0
x23 = a23 + at23 ∴ x23 = a23 + a32
x23 = 23 + 32 ∴ x23 = 17 (Resposta)
• Para cada matriz A = (aij), definimos a matriz oposta de
A, denotada por – A, tal que A + (– A) = 0
• Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo, temos as propriedades:
1) A + B = B + A (comutativa)
2) A + (B + C) = (A + B) + C (associativa)
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
Livro 1 — Unidade IV
3) (A + B)t = At + Bt
Caderno de Exercícios — Unidade III
MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR
UM NÚMERO
• Num universo de matrizes do tipo m × n, dada a matriz
A = (aij) e sendo r um número qualquer, temos rA = (r ⋅ aij).
Tarefa Mínima
•
•
•
Exemplos:
 1 2 3
2 4 6 
 ⇔ 2A = 

A =
4 5 6
8 10 12
ALFA-4 85015048

x( x – 1) 4 6
=
1   x 1
Leia os itens 1 a 10, cap. 1.
Leia os exemplos 1 a 8, cap. 1.
Resolva os exercícios 1 a 4, série 1.
Tarefa Complementar
•
12
Resolva os exercícios 5 a 8, série 1.
ANGLO VESTIBULARES
Aulas 37 e 38
MATRIZES: MULTIPLICAÇÃO
EXEMPLOS
Dadas as matrizes
Am × k
a
a12
 11
 a 21 a 22

.
 .
 .
.
=
 a i1 a i2
 .
.

 .
.

a m1 a m2
.. a1j
.. a 2 j
.. .
.. .
.. a ij
.. .
.. .
.. a mj
a1k 

.. a 2 k 

..
. 
..
. 

.. a ik 
..
. 

..
. 

... a mk 
• Com matrizes A3 × 2 e B2 × 3, temos as matrizes (AB)3 × 3 e
(BA)2 × 2.
..
• Com matrizes A2 × 2 e B2 × 2, temos as matrizes (AB)2 × 2 e
(BA)2 × 2.
Mesmo neste caso, não podemos afirmar que AB é igual a BA.
PROPRIEDADES
Sendo os tipos de A, B e C tais que as operações indicadas
abaixo existam temos:
e
Bk
×n
b
b12
 11
b 21 b 22

.
 .
 .
.
=
 b i1 bi2
 .
.

 .
.

b k1 b k 2
definimos o produto
matriz
p
 11
 p 21

 .
 .
Pm × n = 
 pi1
 .

 .

p m1
•
•
•
•
•
.. b1j .. b1n 

.. b 2 j .. b 2 n 

.. .
..
. 
.. .
..
. 

.. bij .. bin 
.. .
..
. 

.. .
..
. 

.. b kj ... b kn 
• (A ⋅ B)t = Bt ⋅ At
• r(AB) = (rA)B = A(rB)
p 22
.
.
pi2
.
.
p m2
(note as ordens)
(em que r é um número)
2 0 
3 0 1


 e B = 0 2  , obtenha AB e
1. Dado que A = 
0 1 2


1 – 1
BA.
.. p1j .. p1n 

.. p 2 j .. p 2 n 

.. .
..
. 
.. .
..
. 

.. pij .. pin 
.. .
..
. 

.. .
..
. 

.. p mj ... p mn 
em que para todo i e j, 1 i m e 1 j n,
pij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + … + aikbkj

1  2
 
2  0
1
3

0
0
1
2

0

1
0   3
2  0
 
–1 
0
1
0  
7 –1 

2 = 

2 0 
–1 


1  6 0 2 
=

2  0 2 4 
3 –1 –1 
 2 0
3 x 
 e B = 
 , obtenha x tal que
2. Dado que A = 
 0 1
 0 3
AB + BA = 2AB.
Cada elemento pij da matriz P = A × B, é a soma dos
produtos dos elementos da linha i da matriz A pelos elementos
correspondentes da coluna j da matriz B.
Assim, por exemplo,
p11 = a11b11 + a12b21 + a13b31 + … + a1kbk1
Devemos ter AB = BA, isto é,
2 0  3 x 
3 x  2 0 
 
= 
 


0 1  0 3 
0 3  0 1 
• Note que só existe o produto de A por B, nessa ordem, se o
número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.
6

0
• Dadas as matrizes Am × k e Bk × n, o produto P = A × B é
uma matriz do tipo m × n.
ALFA-4 85015048
(associativa)
(distributiva pela esquerda)
(distributiva pela direita)
(A do tipo m × n)
(A do tipo m × n)
Exercícios
de A por B, nessa ordem, como sendo a
p12
A(BC) = (AB)C
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
A ⋅ In = A
Im ⋅ A = A
13
2x   6 x 
= 

3  0 3 
∴x=0
ANGLO VESTIBULARES
 2 3
 4
 X =  
3. Resolva a equação matricial 
 0 1
 2
De A2 × 2 ⋅ Xm × n = B2 × 1, temos m = 2 e n = 1.
x 
Com X =   , temos:
y 
2

0
3  x  4
 ⋅  =  
1  y 2
 2x + 3y 


 0x + 1y 
4
=  
2
Resulta daí o sistema de equações:
2x + 3y = 4
0x + y = 2
ORIENTAÇÃO DE ESTUDO
Livro 1 — Unidade IV
De y = 2 e 2x + 3y = 4, temos x = – 1
Caderno de Exercícios — Unidade III
–1

 2
Logo, X = 
Tarefa Mínima
AULA 37
•
•
•
 0 1

4. Sendo J = 
− 1 0
AULA 38
•
•
•
Calcule
a) J4
b) J87
a) J 2 =
 0

–1
Leia os itens 11 e 13, cap. 1.
Leia os exemplos 9 a 12, cap. 1.
Resolva o exercício 12, série 1.
Leia o item 12, cap. 1.
Leia os exemplos 13 a 15, cap. 1.
Resolva os exercícios 18 e 19, série 1.
Tarefa Complementar
1 0
 
0  –1
J 2 = – I2 ∴ J 4 = I2 =
1   –1
 = 
0  0



1
0
0
1
0

–1 
AULA 37
•



Resolva os exercícios 15 a 17, série 1.
AULA 38
•
Resolva os exercícios 23 a 25, série 1.
b) 87 = 4 ⋅ 21 + 3
Respostas da Tarefa Complementar
J 87 = J 3 = J 2 ⋅ J = – I2 ⋅ J
∴ J 87 = – J =
ALFA-4 85015048



0
1
Aula 32
–1 

0
14
1.
–x – 2
2.
B
3.
2
ANGLO VESTIBULARES