Prova # 01 - Rio, 10/04/201

UFRJ - CCMN - IM - Departamento de Métodos Estatı́sticos
Cálculo Avançado para Estatı́stica - Prova # 01 - Rio, 10/04/2015 - Padrão de Resposta
1. (2,0 pts) Seja f : X → Y . Prove que
(a) Se X é infinito e f é injetiva, então Y é infinito.
Como X é infinito, sabemos que existe um subconjunto X 0 de X que é infinito enumerável.
Seja X 0 = {x1 , x2 , ..., xn , ...} ⊂ X. Como f é injetiva, então para cada xi ∈ X 0 , existe um e
somente um yi ∈ Y tal que yi = f (xi ). Portanto, existe um subconjunto infinito enumerável
de Y , a saber, Y 0 = {f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn ), ...} ⊂ Y . Logo, Y é infinito.
(b) Se Y é infinito e f é sobrejetiva, então X é infinito.
Como Y é infinito, sabemos que existe um subconjunto Y 0 de Y que é infinito enumerável.
Seja Y 0 = {y1 , y2 , ..., yn , ...} ⊂ Y . Como f é sobrejetiva, então para cada yi ∈ Y 0 , existe
pelo menos um x ∈ X tal que f (x) = yi . Defina os conjuntos não-vazios
Xi = {x ∈ X|f (x) = yi }, i = 1, 2, 3, ..., ou seja, f (Xi ) = {yi }, i ∈ N. Observe que existe
uma coleção infinita enumerável de subconjuntos de X que são dois a dois disjuntos já que
f é uma função. Logo ∪∞
i=1 Xi ⊂ X. Portanto, X é infinito.
2. (3,0 pts) Prove ou forneça um contra-exemplo.
(a) Sejam A e B subconjuntos de R com A fechado e B aberto. Então A \ B é um conjunto
fechado.
Verdadeira. De fato, basta observar que R \ (A \ B) = B ∪ (R \ A) que é a união de dois
conjuntos abertos e, portanto, é um conjunto aberto, devido à propriedade de que a união
de qualquer famı́lia de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Logo A \ B é um conjunto
fechado.
(b) Sejam A e B subconjuntos de R, então A ∩ B = A ∩ B.
Falsa. Contra-exemplo: Sejam A = (0, 1) e B = (1, 2). Então, A∩B = ∅ tal que A ∩ B = ∅.
No entanto, A = [0, 1] e B = [1, 2] tal que A ∩ B = {1}.
(c) Se (Cλ ), λ ∈ L é uma famı́lia de subconjuntos compactos de R, então ∪λ∈L Cλ é um
conjunto compacto.
Falsa. Contra-exemplo: Seja Cn = [0, n], para n ∈ N. Observe que os conjuntos Cn ,
para cada n ∈ N são conjuntos compactos, pois são fechados e limitados. No entanto,
∪∞
n=1 Cn = [0, ∞) que não é compacto, pois não é limitado.
3. (1,5 pts) Seja A = n−1
;
n
∈
N
.
n
(a) O conjunto A é aberto? Não, pois toda bola centrada em um de seus elementos, contém
pontos que não pertencem ao conjunto A, ou seja, A não possui pontos interiores.
(b) O conjunto A é fechado? Não, pois 1 é ponto de acumulação de A (podemos tomar
elementos de A tão próximos de 1, quanto quisermos), mas 1 ∈
/ A.
−
(c) Determine o fecho de A, A. A = A ∪ A0 = A ∪ {1}.
(d) Determine o interior de A, ◦ A. ◦ A = ∅.
(e) Determine o derivado de A, A0 . A0 = {1}.
(f) Determine o conjunto de pontos isolados de A, A \ A0 . A \ A0 = A.
(g) Qual é a classificação de A quanto a sua cardinalidade? A é infinito enumerável, pois
existe uma bijeçaõ de A em N.
4. (1,5 pts) Sejam (xn ) e (y n ), n ∈ N, duas sequências em Rp que convergem para a ∈ Rp e defina
(
xn ,
se n for par
2
a sequência (z n ) da seguinte forma z n =
y n+1 , se n for ı́mpar . Mostre que a sequência
2
(z n ) também converge para a.
Queremos mostrar que para todo > 0, existe um N0 = N0 () ∈ N tal que se n ≥ N0 , então
||z n − a|| < . Sabemos que (xn ) e (y n ) convergem para a e a sequência (z n ) é dada por
(y1 , x1 , y2 , x2 , ..., yn , xn , ...). Logo, dado > 0, existem naturais N1 e N2 tais que
se n ≥ N1 , então ||xn − a|| < e se n ≥ N2 , então ||y n − a|| < .
Seja N3 = sup{2N1 , 2N2 − 1} ∈ N. Assim, se tomarmos n ≥ N3 , teremos
(
)
||x n − a||,
se n for par
2
||z n − a|| =
< ,
||y n+1 − a||, se n for ı́mpar
2
pois n ≥ N3 implica que
n
≥ N1
2
n+1
≥ N2
2
.
5. (2,0 pts) Sejam (an ) uma sequência em R que converge para zero e (y n ) uma sequência limitada
em Rp . Defina em Rp a sequência dada por (xn ) tal que xn = an y n , ∀ n ∈ N. A sequência
(xn ) converge? Se sim, qual é o seu limite?
Sim. O limite é 0. De fato, como (y n ) é limitada, existe M > 0, tal que ||y n || ≤ M , ∀ n ∈ N.
Como (an ) converge para zero, dado > 0, existe N0 ∈ N tal que se n ≥ N0 , então |xn | <
.
M
Logo, se n ≥ N0 , então ||xn − 0|| = ||an y n || = |an |||y n || <
M = , ou seja, (xn ) converge
M
p
para 0 em R .