Limites - MTM

Unidade 4
Limites
Limites de funções
O conceito de Limite é importante na construção de muitos outros conceitos
no cálculo diferencial e integral, por exemplo, as noções de derivada e de integral
que serão abordados nos capítulos 4 e 5, que são os suportes de toda a construção das
variáveis físicas, além da importância no cálculo de área e volumes.
A Noção de limite
A noção de limite fornece um caminho preciso para distinguir o
comportamento de algumas funções que variam continuamente e o comportamento
de outras funções que podem variar independente do modo como se controla as
variáveis.
É com base nisso, que pretendemos apresentar a você uma noção intuitiva de
limite para que você possa observar o que ocorre com a função f ( x) , intuitivamente,
quando x tende para um número real a ou quando x tende para mais ou menos
infinito. Usaremos limites, por exemplo, para definir retas tangentes e gráficos de
funções. Essa aplicação geométrica nos leva ao importante conceito de derivada de
uma função que investigaremos, com detalhes, no Capitulo 4.
Dada uma função f , você quer saber o que ocorre com os valores f ( x) ,
quando a variável x se aproxima de um ponto a . Para você entender isto melhor,
considere a função f definida pela expressão abaixo:
f ( x) =
(3 x + 2)( x − 1)
.
( x − 1)
A função f está definida para todo x real exceto x = 1 . Assim, se x ≠ 1 , o
numerador e o denominador de f podem ser divididos por ( x − 1) e você obtém
f ( x ) = 3 x + 2, para x ≠ 1 .
Vamos estudar juntos os valores da função f ( x) , quanto x estiver próximo de
1, mas não é igual a 1. Primeiro, vamos considerar valores de x cada vez mais
2
próximo de 1, com x < 1 e observarmos o que está acontecendo com f ( x) , conforme
o quadro abaixo:
0
x <1
f ( x) = 3x + 2 2
0,25 0,5
2,75 3,5
0,75
4,25
0,9
4,70
0,99
4,97
0,999
4,997
0,9999
4,9997
0,99999
4,99997
Agora, vamos considerar que a variável x aproxima-se cada vez mais de 1,
com x > 1 e observar o que está acontecendo com f ( x) :
2 1,75
x >1
f ( x) = 3 x + 2 8 7,25
1,5
6,5
1,25
5,75
1,1
5,30
1,01
5,03
1,001
5,003
1,00001
5,00003
Observamos, em ambas quadros, que quando x se aproxima cada vez mais de
1, a função f ( x) se aproxima cada vez mais de 5, em outras palavras, é possível obter
o valor de f ( x) tão próximo de 5 quando desejarmos, desde que tomemos x
suficientemente próximo de 1. Examine o gráfico de f ( x) abaixo.
Figura 4.1
Para x cada vez mais próximo de 1, f ( x) aproxima-se de 5 e escreve-se a
seguinte expressão:
lim f ( x ) = lim(3 x + 2) = 5.
x →1
x →1
Lê-se: O limite da função f ( x) quando x aproxima-se de 1 é 5, ou ainda, o
limite de f ( x) quando x tende a 1 é 5. Isto significa dizer que o valor da
expressão 3x + 2 cada vez mais aproxima-se de 5 a medida que os valores de
x estão aproximando-se de 1. Quando x →1 , f ( x) → 5.
Consideremos agora a função f definida pela expressão f ( x) =
3x + 1
, para
x −1
x ≠ 1.
Queremos saber o que ocorre com a função f ( x) quando x tende para 1
através de valores de x > 1 e o que ocorre com a função f ( x) quando x tende para 1
3
através de valores de x < 1 . Vejamos o que acontece com f ( x) no quadro abaixo,
quando x tende para 1 através de valores de x > 1 .
x >1
3 x +1
f ( x) =
x −1
3
5
2
7
1,5
11
1,25
19
1,1
43
1,01
403
1,001
4003
1,0001
40003
...
...
Observamos que quando x tende para 1, através de valores de x > 1 ou pela
direita de 1, a função f ( x) cresce indefinidamente ou a função f tende para + ∞ e
pode-se dizer que o limite de f ( x) quando x tende a 1 pela direita é + ∞ ,
x → 1+ , f ( x) → +∞ e anota-se por
lim+ f ( x ) = lim+
x →1
x →1
3 x +1
= +∞.
x −1
Vejamos o que acontece com f ( x) no quadro abaixo, quando x tende para 1
através de valores de x < 1 .
x <1
f ( x) =
3 x +1
x −1
−1 0 0,9 0,99 0,999 0,9999 ...
1 −1 −37 −397 −3997 −39997 ...
Observamos que quando x tende a 1, através de valores de x < 1 ou pela
esquerda de 1, os valores absolutos da função f ( x) crescem e são negativos ou a
função f tende para −∞ e pode-se dizer que o limite de f ( x) quando x tende a 1
pela esquerda é −∞ , x → 1- , f ( x ) → −∞ e anota-se por
lim f ( x ) = lim−
x → 1−
x →1
3 x +1
= −∞ .
x −1
Apresentaremos agora a definição formal de limite de uma função.
Definição. Seja I um intervalo qualquer, a ∈ I e f ( x ) uma função definida no intervalo I,
(exceto eventualmente em a). Diz-se que o limite de f ( x ) quando x tende a a é L , e escrevese lim f ( x) = L, se para todo ε (epslon), ε > 0 , existe um
x→a
f ( x) − L < ε sempre que 0 < x − a < δ .
Gráficamente,
δ (delta), δ > 0 , tal que
4
Figura 4.2
Propriedades dos limites
A seguir daremos algumas propriedades importantes do conceito de limite.
Essas propriedades serão utilizadas freqüentemente no decorre do trabalho.
P1 – Unicidade do limite
Se lim f ( x) = b1 e lim f ( x) = b2 , então b1 = b2 .
x→a
x→a
P2 – Se m e b são constantes quaisquer, então lim (m x + b) = m a + b .
x→a
P3 – Se c é uma constante, então para qualquer número a , lim c = c .
x→a
P4 – lim x = a .
x→a
P5 – O limite da soma ou diferença de duas funções é igual a soma ou diferença dos
limites dessas funções, isto é, se
lim f ( x) = b1 e lim g ( x) = b2 ,
x→a
então
x→a
lim ( f ( x) ± g ( x) ) = b1 ± b2 .
x →a
Observação. Se lim f1 ( x) = b1 , lim f 2 ( x) = b2 , ..., lim f n ( x) = bn ,
x →a
então
x →a
x →a
lim ( f1 ( x) ± f 2 ( x) ± ... ± f n ( x) ) = b1 ± b2 ± ... ± bn .
x →a
5
P6 – O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas
funções, isto é, se
lim f ( x) = b1 e lim g ( x) = b2 ,
x→a
então
x→a
lim ( f ( x) ⋅ g ( x) ) = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) = b1 ⋅ b2 .
x →a
x →a
x →a
Observação: P6 é válida para n -funções.
P7 – Se lim f ( x) = b e n é qualquer inteiro, temos lim ( f ( x) ) = b n .
n
x →a
x→a
P8 – Se lim f ( x) = b1 e lim g ( x) = b2 e b2 ≠ 0 , então
x→a
x→a
lim
x→a
f ( x) b
f ( x) lim
= x→a
= 1.
g ( x) lim g ( x) b2
x→a
P9 – Se lim f ( x) = b , então
x→a
lim
x→a
n
f ( x) = n lim f ( x) = n b .
x→a
Neste caso, é necessário que b seja ≥ 0 e n qualquer inteiro positivo, ou
quando b < 0 n seja qualquer inteiro ímpar positivo.
P10 – Se lim f ( x) = b então lim f ( x) = b .
x→a
x→a
Exemplos. Use as propriedades e calcule os limites.
(i) lim ( x 3 − 3 x + 1) .
x →1
3 x 2 + 3x − 15
(ii) lim
.
x→2
x3 + 6
2 x + 5 2 ⋅ 3 + 5 11
(iii)
lim
=
= .
x →3 x − 1
3−1
2
3
x − 27
(iv)
lim
.
x →3
x−3
x −1
(v) lim 2
x →1 x − 4 x + 3
Resolução:
(i)
lim ( x 3 − 3 x + 1) = ( −1) − 3 ( −1) + 1
3
x →1
= −1 + 3 + 1 = 3
6
(ii)
lim
x→2
3 x 2 + 3 x − 15
3 ⋅ 2 2 + 3 ⋅ 2 − 15
=
x3 + 6
23 + 6
12 + 6 − 15
3
=
8+6
14
=
(iii)
(iv)
lim
x →3
2 x + 5 2 ⋅ 3 + 5 11
=
= .
x −1
3 −1
2
Neste caso,
(
)
2
x 3 − 27 ( x − 3) x + 3 x + 9
=
= x2 + 3x + 9
x−3
( x − 3)
x3 − 27
⇒ lim
= lim x 2 + 3x + 9
x →3
x →3
x −3
= 32 + 3 ⋅ 3 + 9
(
)
= 27.
(v)
Neste caso,
( x − 1)
x −1
1
=
=
2
x − 4 x + 3 ( x − 1) ( x − 3) ( x − 3)
⇒ lim
x →1
x −1
1
1
= lim
=− .
x − 4 x + 3 x →1 ( x − 3)
2
2
Exercícios propostos – 1
Calcular os seguintes limites
3
1+ x −1
1)
lim
.
x →7
x
1 + 4 x −1
3)
lim
.
x→2
x
5)
lim
x →0
2)
4)
x+2 − 2
x −1
Respostas. 1)
1
.
7
2)
6)
1− 3
.
2
Limites Laterais
a) Limite á direita
3) 1.
4) 15.
x +1 − 3 − x
x →0
x+2
4
x −1
lim
x→2 x − 1
lim
lim
y →−2
y2 + 1
2 y2 − 7 y + 3
5) 0.
6)
1
.
5
7
( )
Dizemos que b é o limite à direita de f ( x) no ponto x0 e escrevemos b = f x0+ = lim+ f ( x)
x → x0
quando x → x0 para valores maiores que x0 .
Figura 4.3
b) Limite á esquerda
Dizemos que
b
é o limite à esquerda de
( ) = lim f ( x) quando x → x
−
0
b= f x
x → x0_
0
no ponto
para valores menores que x0 .
Figura 4.4
Por exemplo,
1.
f ( x)
2, se x > 1
f ( x) = 
−3, se x < 1
Figura 4.5
Temos
lim− f ( x) = −3
x →1
e
lim f ( x) = 2
x →1+
x0
e escrevemos
8
Observação: lim f ( x) = b existe se e somente se lim_ f ( x) = lim+ f ( x) .
x → x0
2.
x → x0
x → x0
 x, se x ≤ 2
f ( x) = 
 x + 1, se x > 2
Figura 4.6
Neste caso,
lim f ( x) = lim− x = 2
x → 2−
e
x→2
lim f ( x) = lim+ ( x + 1) = 3 .
x → 2+
x→2
Observação: A função não precisa estar definida no ponto x0 para que os limites laterais
existam.
3.
Seja f ( x) =
x
, existe lim f ( x ) ?
x →0
x
Temos
x
= 1, se x > 0
x  x
=
x  x
= −1, se x < 0
 − x
Logo,
lim f ( x) = −1 e lim+ f ( x) = 1 .
x → 0−
x →0
Como
lim f ( x) ≠ lim+ f ( x) ⇒ ∃ lim f ( x) ,
x → 0−
x
ou seja, lim
não existe.
x →0 x
x →0
x →0
9
Exercícios propostos – 2
Verificar se existe os limites seguintes:
x3 − 1
1) Seja f ( x) =
, ∃ lim f ( x) ? Resposta: não existe
x →0
x −1
2) Seja f ( x) =
x3 + 8
, ∃ lim f ( x) ? Resposta: não existe
x→ 2
x −2
3) Seja f ( x) =
x
, ∃ lim f ( x) ? Resposta: não existe
x→ 2
x + x2
4) Seja f ( x) =
x2
, existe lim f ( x ) ? Resposta: não existe
x →0
x
Limites Infinitos e Limites no infinito
a) Limites infinitos
(i) lim f ( x) = ∞ ⇔ dado k > 0 arbitrário, existe em correspondência um número n > 0 tal
x →∞
que ∀ x > n ⇒ f ( x) > k .
Figura 4.7
(ii)
lim f ( x) = −∞ ⇔ dado k > 0 arbitrário, existe em correspondência um número
x →−∞
n > 0 tal que ∀ x < n ⇒ f ( x) < k .
10
(iii)
lim f ( x) = ∞ ⇔ dado k > 0 arbitrário, existe em correspondência um número n > 0
x →−∞
tal que ∀ x < n ⇒ f ( x) > k .
Figura 4.8
(iv)
lim f ( x) = −∞ ⇔ dado k > 0 arbitrário, existe em correspondência um número n > 0
x →∞
tal que ∀ x > n ⇒ f ( x) < k .
(v)
lim f ( x) = +∞ ⇔ dado k > 0 arbitrário, existe em correspondência um número δ > 0
x→a
tal que ∀ x temos x − a < δ ⇒ f ( x) > k , isto é, quando x → a , f ( x) assume valor
que superam k > 0 .
Figura 4.10
(vi)
lim f ( x) = −∞ ⇔ dado ε > 0 arbitrário, existe em correspondência um número δ > 0
x→a
tal que ∀ x temos x − a < δ ⇒ f ( x) < k .
Figura 4.11
11
Símbolos de indeterminação – Há varias maneira de identificar uma
indeterminação. As sete situações ou símbolos dados abaixo são
utilizados para identificar uma inderminação.
0
,
0
∞
, ∞ − ∞, 0 ⋅ ∞, 1∞ , ∞0 , ∞ ∞ .
∞
Observação: Seja c uma constante diferente de zero, então:
c c
lim = = ∞ ;
(i)
x →0 x
0
(ii)
lim c ⋅ x = c ⋅ ∞ = ∞ ;
x →∞
(iii)
(iv)
x ∞
= = ∞;
c c
c c
lim = = 0 .
x →∞ x
∞
lim
x →∞
b) Limite no infinito
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, ∞) . Escrevemos
lim f ( x) = L ,
x →∞
quando o número L satisfaz a seguinte condição: para qualquer ε > 0 , existe A > 0 tal que
f ( x) − L < ε sempre que x > A .
Definição: Seja f uma função definida em (−∞, b) . Escrevemos
lim f ( x) = L ,
x →−∞
se L satisfaz a seguinte condição: para qualquer ε > 0 , existe B < 0 tal que f ( x) − L < ε
sempre que x < B .
Observações
a)
As propriedades dos limites dadas inicialmente de P1 a P10 permanecem inalteradas
quando substituímos x → a para x → ∞ ou x → −∞ .
b)
O resultado abaixo é muito importante para calcular limites, isto é, se n é um inteiro
positivo, então:
1
(i)
lim n = 0 ;
x →∞ x
1
(ii)
lim n = 0 .
x →−∞ x
c)
É importante notar que
12
lim+
x→0
1
= +∞
xn
e
lim−
x→0
1 +∞, se n é par
=
x n −∞, se n é ímpar,
onde n é um número inteiro positivo qualquer.
c) Limites importantes
1-
Seja f ( x) = P ( x) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + an , a0 ≠ 0 :
Quando x → c , então
(i)
lim P ( x) = P (c) .
x →c
Por exemplo, lim 3x − 1 = 3 ⋅13 − 1 = 3 − 1 = 2.
3
x →1
Quando x → ±∞ , neste caso calculamos inicialmente para x → +∞ ,
(ii)
 a x n −1
a 
lim P ( x) = lim a0 x n 1 + 1 n + ... + n n 
x →+∞
x →+∞
a0 x
a0 x 

 a x n−1
a 
= lim a0 x n ⋅ lim 1 + 1 n + ... + n n 
x →∞
x →+∞
a0 x
a0 x 

(
)
( )
= lim ( a x )
= lim a0 x n ⋅ [1 + 0 + 0 + ... + 0]
x →∞
n
x →∞
0
= lim P ( x).
x →∞
Assim, lim a0 x será +∞ ou −∞ , dependendo do sinal do a0 e também de n , inteiro
n
x →∞
seja par ou ímpar.
Agora, analisando quando x → −∞ vem lim a0 x n também será +∞ ou −∞ .
x →−∞
Por exemplo,
(
)
(i)
lim 2 x 2 + x − 1 = lim 2 x 2 = +∞ ;
(ii)
lim 4 x + x + x − 10 = lim 4 x 4 = +∞ ;
(iii)
(iv)
x →∞
4
x →∞
3
x →−∞
x →−∞
(
)
lim − x + x + 7 = lim − x 3 = +∞ ;
3
x →−∞
(
2
)
x →−∞
lim x5 − 3 x 2 + 5 x = lim x 5 = −∞ .
x →−∞
x →−∞
13
d) Limite de uma função racional
Seja f ( x) =
(i)
P ( x)
, Q ( x) ≠ 0 ∀x , onde P ( x) e Q ( x) são polinômios em x .
Q( x)
Quando x → c , então
lim
x →c
P ( x ) P (c )
=
, Q (c ) ≠ 0 ,
Q ( x) Q (c )
P( x)
= ∞.
Q( x)
quando Q (c) = 0 ⇒ lim
x→c
Por exemplo,
x3 + 1 13 + 1 1 + 1 2 1
lim 2
= 2
=
= = .
x →1 x + 3
1 + 3 1+ 3 4 2
(ii)
Quando x → ± ∞ . Analisamos inicialmente, quando x → + ∞ . Temos
lim
x →+∞
a x n + a x n −1 + ... + an
P ( x)
= lim 0 m 1 m −1
Q( x) x →+∞ b0 x + b1 x + ... + bm
 a x n−1
a 
a0 x n 1 + 1 n + ... + n n 
a0 x
a0 x 

= lim
.
m −1
x →∞


b
b
x
b0 x m 1 + 1 m + ... + mm 
b0 x
b0 x 

Como
 a x n −1
a
lim 1 + 1 n + ... + n n
x →∞
a0 x
a0 x


 =1

e
 b x m−1
b 
lim 1 + 1 m + ... + mm  = 1 ,
x →∞
b0 x
b0 x 

então
lim
x →+∞
a xn
a
P ( x)
= lim 0 m = lim 0 x n− m ,
x →∞ b
Q ( x) x →+∞ b0 x
0
isto é, o limite da função racional f ( x) é dado pelo limite da razão dos termos
de maior grau dos polinômios P ( x) e Q ( x) .
Agora, analisando quando x → −∞ temos
P ( x) a0 n − m
lim
= x .
x →−∞ Q ( x )
b0
Por exemplo,
14
(i)
(ii)
(iii)
2x2 + 1
2x2
2 2
=
lim
= lim = .
2
2
x →∞ 5 x − 3
x →∞ 5 x
x →∞ 5
5
2
2
x
x
1
lim
= lim 3 = lim = 0 .
x →−∞ x 3 + 1
x →−∞ x
x →−∞ x
x2 + 1
x2
x
lim
= lim
= lim = ∞ .
x →∞
x
→∞
x
→∞
2x
2x
2
lim
A seguir apresentaremos alguns exemplos de calculo de limite.
Exemplo. Determinar
lim
x →∞
2x − 5
.
x +8
∞
Resolução: Neste caso, temos uma indeterminação do tipo   . Temos
∞
2x − 5
2x − 5
lim
= lim x
x →∞ x + 8
x →∞ x + 8
x
5

2−  2−0
x
= lim 
=
= 2.
x →∞ 
8  1+ 0
1 + 
 x
Exemplo. Calcular
lim
x →−∞
2 x3 − 3x + 5
.
4 x5 − 2
Resolução:
2 x3 − 3x + 5
2 x − 3x + 5
x5
lim
=
lim
x →−∞
x →−∞
4 x5 − 2
4 x5 − 2
x5
2 3 5
− 4+ 5
2
x
x = 0 − 0 + 0 = 0.
= lim x
x →∞
2
4−0
4− 5
x
3
Exemplo. Determinar
x 2 + 3x + 1
(i)
lim 2
.
x → 2+ x + x − 6
x2 + 3x + 1
(ii)
lim− 2
.
x→ 2 x + x − 6
x 2 + 3x + 1
lim 2
.
(iii)
x→2 x + x − 6
15
Resolução:
(i)
x 2 + 3x + 1
x 2 + 3x + 1
= lim+
lim+ 2
, quando x → 2 + ⇒ x − 2 → 0 +
x→ 2 x + x − 6
x → 2 ( x − 2 )( x + 3 )
=
(ii)
lim−
x→ 2
x 2 + 3x + 1
x 2 + 3x + 1
=
lim
, quando x → 2 − ⇒ x − 2 → 0 −
2
+
2
x
→
x + x−6
( x − 2 )( x + 3)
=
(iii)
4 + 6 + 1 11
= + = ∞.
0+ ⋅ 5
0
4 + 6 + 1 11
= − = − ∞.
0− ⋅ 5
0
Conforme (i) e (ii), podemos concluir que
x 2 + 3x + 1
lim 2
não existe.
x→2 x + x − 6
Observação. Muitas vezes, calculamos o limite de uma maneira formal, escrevemos que
lim
x→2
x 2 + 3x + 1
=∞,
x2 + x − 6
sem nos preocuparmos com o sinal, o que devemos cuidar, ou seja estamos considerando uma
coisa que não existe.
Exemplo. Determinar
lim
x →−∞
2x + 5
2 x2 − 5
.
Resolução: Como no exemplo anterior, dividimos numerador e denominador por x .
Neste caso, temos x → − ∞ , os valores de x podem ser considerados negativos.
Então, para o denominador, tomamos x = − x 2 .
Sabemos que
 x, se x > 0
x =
.
− x, se x < 0
Neste caso, também
 x 2 , se x > 0
.
x=
− x 2 , se x < 0
Então, temos
16
2x + 5
lim
2x − 5
x →−∞
2
lim 2 +
x →−∞
=
5
x

5 
lim  − 2 − 2 
x →−∞
x 

2+0
2
=
=
=− 2
− 2−0 − 2
Exercícios propostos – 3
Determinar os seguintes limites:
2 x3 + 5
1)
lim 2
.
2)
x →∞ 5 x + 7 x + 4
(
)
3)
lim 3x 5 − 4 x3 + 1 .
5)
lim
7)
lim
9)
lim
x →∞
x →1
4)
−5 x + 2
.
x−7
6)
5 − x3
.
x →∞ 8 x + 2
x →∞
8)
4 x3 + x 2 + 3x − 1
−3 ( x − 2 ) ( x + 4 )
2
1 

lim  x3 + x + 2  .
x →∞
x 

4
3
3x − 2 x + 7 x + 5
lim 3
.
x →∞ x + 3 x 2 − 5 x 4 + 8 x + 4
x2 + 3
lim
.
x →∞ x + 2
lim
x →∞
2 x 4 + 3x 2 + 2 x + 1
.
4 x − x 4 + 2 x3 − 7 x 6 + 1
.
Resposta.
1) ∞ .
2) Zero.
3) ∞ .
6) ∞
7) −∞ .
8) Zero.
3
4) − .
5
4
9) −
3
5)
Continuidade de uma função
Definição. Uma função f é contínua em um ponto a ∈ D ( f ) se
(i)
(ii)
existe lim f ( x ) .
x→a
lim f ( x ) = f ( a ) .
x →a
Condições de continuidade
−1
.
2
17
(i)
f ( a ) existe para a ∈ D ( f ) ;
(ii)
∃ lim f ( x ) , isto é, lim+ f ( x ) = lim f ( x ) ;
(iii)
lim f ( x ) = f ( a ) .
x→a
x →a −
x→ a
x →a
Conseqüências
(i)
Um ponto " a " em que f ( x ) é chamado ponto de continuidade de f ( x ) ;
(ii)
A função f ( x ) é contínua em um intervalo [ a, b] se é contínua em todos os
pontos do intervalo;
Um ponto que não satisfaz a condição de continuidade chama-se ponto de
descontinuidade.
f
,
Se f e g são duas funções contínuas em a , então f + g , f − g , f ⋅ g ,
g
g ( a ) ≠ 0 também são contínuas em a .
Uma função polinomial é contínua em todos os pontos de seu domínio.
Uma função racional é contínua em todos os pontos de seu domínio.
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Exemplos. Examinar a continuidade das funções abaixo indicados nos pontos e analisar o
gráfico.
x
(i)
g ( x) =
no ponto x = 0 .
x
 x − 1, se x ≤ 3
f ( x) = 
(ii)
no ponto x = 3 .
4, se x > 3
Resolução: (i) Observe que 0 ∉ D ( f )
lim+
x→0
Logo,
x
x
= lim+
x →0
x
−x
x
= 1 e lim− = lim−
= −1
x→0 x
x →0
x
x
∃ lim f ( x ) .
x →0
Figura 4.12
18
Logo, f ( x ) é descontínua no ponto x = 0 .
(ii)
A
função
f ( x)
é
descontínua
no
ponto
x = 3,
pois,
lim f ( x ) = lim− ( x − 1) = 3 − 1 = 2 e lim+ f ( x ) = lim+ 4 = 4 , logo não existe lim f ( x) .
x → 3−
x →3
x →3
x →3
x →3
Observe que f (3) = 3 − 1 = 2 , mas isto não é suficiente para a continuidade de f ( x) .
Seria necessário que se tivesse lim f ( x) = f (3) o que jamais poderia ocorrer visto que
x →3
não existe lim f ( x) . Veja o gráfico de f ( x) abaixo.
x →3
y
4
2
-1
0
3
x
-2
Figura 4.13
Definição Uma função f é contínua no conjunto X se f é contínua em todos os pontos de
X.
Por exemplo, a função f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 ,
é continua em todos os pontos x ∈ R .
Exercícios propostos – 4
1)
Seja a função f ( x) definida por
 x + 3, se x ≥ 1
f ( x) = 
3 − k , se x < 1
Determinar o valor da constante k tal que a função f ( x) seja contínua no
ponto x = 1 .
2)
Seja
 x 2 + 1, se x > 2

f ( x ) = 5,
se x = 2
7 x − 9, se x < 2

Verificar se f ( x) é contínua em x = 2 .
19
3)
Verificar se a função f definida por
 x 2 − x, se x < −3

f ( x) =  x 3 + 2, se x > −3
 4,
se x = −3

é contínua no ponto x = −3 .
4)
Seja
 x − 1, se x < 3

f ( x) = 5,
se x = 3
8 − x, se x > 3

Verifique se f ( x) é contínua em x = 3 .
5)
Determinar o valor de k de modo que a função f ( x) definida por
4x
se x ≠ 0
e ,
f ( x) =  3
k − 7, se x = 0
seja contínua em x = 0 .
RESPOSTAS:
1)
k = −1 .
2)
Sim, f ( x) é contínua em x = 2 .
3)
A função dada não é contínua em x = −3 .
4)
A função f ( x) não é contínua em x = 3 .
5)
A função f ( x) será contínua em x = 0 usando k = 2 .