Integral Indefinida - Prof. Dr. Robson Rodrigues

Cálculo Diferencial e Integral II – Prof. Dr. Robson Rodrigues
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3ª Lista de Exercícios – Integração Indefinida
01. Utilizando as regras básicas de integração, calcule as integrais indefinidas abaixo:
a)
 6dx
g)

l)
x
r)
 t dt
2
b)
c)
(3x 2  2x  1)dx
(
3
m)
x dx
t 1
)dt
t
s)
h)
x
 3e dx
x
 (cos t)dt
1
3
x
5
3
i)
dx
n)
(
t)
d)
dx

x
 du
e)
t2  2
dt
t
1
)dx
j)
o)
x

 (3x
3
 edx
 (2  3 cos t)dt
u)
x 3 dx
 x )dx
p)
 (x
f)
k)
3
 2)dx
 (x  1)(6x  5)dx
 2 sen xdx
 (1  2t)dt
q)
v)
 (senkx)dx   k cos kx + C,
b)
 (cos kx)dx  k sen kx + C, onde k é uma constante não nula.
c)
e
1
onde k é uma constante não nula.
1
kx
dx 
1 kx
e + C, onde k é uma constante não nula.
k
03. Utilizando as fórmulas apresentadas no exercício anterior, calcule as integrais abaixo:
DATA : ___/____/_00
________PROFESSOR : Robson _____
a)

(cos 2x)dx 
b)
 (sen3x)dx 
d)
 5 sen(5x)dx 
e)
 (3  2 cos 2x)dx =
c)
f)
e
II) Velocidade inicial: 20m/s
III) Aceleração constante e igual a 2 m/s2
a) Determine a equação da velocidade em função do tempo.
b) Encontre a equação horária da posição desse corpo no instante t.
dt 
 4e
04. Considere as seguintes informações sobre um corpo em movimento retilíneo:
I) Posição inicial: 4m
5t
2s
6
 (m)dm
02. Verifique, por diferenciação, que as fórmulas integrais abaixo são válidas.
a)
 x dx
ds =
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05. Em vários problemas nos deparamos com equações que envolvem derivadas. Essas equações são
chamadas “Equações Diferenciais”. A solução de uma equação diferencial é uma função cuja derivada
satisfaz a igualdade dada. Resolva as seguintes equações diferenciais:
a)
ds
 2t 3  5t , s(0) = 3
dt
b)
dy
 3e x , y(0) = 1
dx
c)
dv
 5t  2 , v(1) = 3
dt
06. As marcas de frenagem deixadas por um automóvel indicam que o freio foi plenamente aplicado por uma
distância de 160 pés, até parar. Suponha que o carro em questão tenha uma desaceleração constante de 20
pés/s2 sob as condições de frenagem. Qual era a velocidade do carro quando o freio foi aplicado?
07. Joga-se uma bola para cima, de uma altura inicial de 80 pés, com uma velocidade inicial de 64 pés/s.
Deduza a função posição que dê a altura s (em pés) como função do tempo t (em segundos). Em que instante
a bola atinge o solo? Dado g = - 32 pés/s2 (aceleração da gravidade).
08. Aplica-se o freio de um carro quando este está se deslocando exatamente a 88 pés/s. O freio causa uma
desaceleração constante de 40 pés/s2. Que distância o carro ainda percorre até parar totalmente?
Página do De Analysi, de Isaac Newton, composto em 1669 e publicado em 1711.
Nesse artigo Newton apresenta uma regra básica de integração.
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GABARITO PARCIAL
01.
a) 6x + c
b)
t3
+c
3
g) x3 + x2 – x + c
2 9
x +c
9
c)
h)
1
2x 2
m) 3ex + c
r) t + lnt + c
5
2x 2
+c
d) u + c
c
i)
n)
s) sent + c
e)
t2
 2 ln t  c
2
j)
x4
 2x  c
4
2, 5
x c
5
f)
3x 4 x 2

C
4
2
k) 2x3 -
2
x3  2 x  c
3
o) ex + c
t) 2t + 3sent + c
u) t + t2 + c
p) -2cosx + c
v)
11x 2
 5x  c
2
l)
q) 6lnx + c
m2
c
2
03.
a)
1
sen 2x  c
2
1
b)  cos 3x  c
3
c)
1 5t
e c
5
d) – cos5x + c
e) 3x + sen(2x) + c f) 2e2s + c
04.
a) v = 2t + 20
b) S = t2 + 20t + 4
05.
a) s =
t 4 5t 2

3
2
2
b) y = 3ex – 2
c) v =
5t 2
5
 2t 
2
2
06. 80 pés/s
07.
a) S = -16t2 + 64t + 80
b) no solo S = 0, assim t = 5 s
08. Considerando como velocidade inicial v = 88 pés/s temos: v = 88 - 40t e S = -20t2 + 88t
Quando o carro parou temos v = 0  88 – 40t = 0  t = 2,2 s  S = 96,8 pés.