Aula 16 Probabilidade

Aula 16 - Erivaldo
Probabilidade
Probabilidade
Experimento aleatório
Experimento em que não pode-se afirmar com certeza o
resultado final, mas sabe-se todos os seus possíveis resultados.
Exemplos:
1) Lançar um dado o observar o número que está na face
voltada para cima.
2) Sortear um número, entre os 20 primeiros naturais positivos.
Probabilidade
Espaço Amostral
Conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório.
Exemplos:
1) Experimento: Lançar um dado honesto
Espaço Amostral: E = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
2) Experimento: Lançar uma moeda honesta
Espaço Amostral: E = { cara , coroa }
Probabilidade
Evento
Subconjunto do espaço amostral
Exemplos:
1) Aparecer um número par no lançamento de um dado.
Espaço Amostral: E = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Evento: A = { 2 , 4 , 6 }
Probabilidade
Evento
Subconjunto do espaço amostral
Exemplos:
2) Obter-se um número primo no sorteio de um número,
entre os 20 primeiros naturais positivos.
Espaço Amostral: E = { 1 , 2 , . . . ,19 , 20 }
Evento: A = { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 }
Problema 01
Uma urna contém 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Uma
bolinha é escolhida e observado seu número. Descreva os
seguintes eventos:
a) O número obtido é par: A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 }
b) O número obtido é primo: B = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 }
c) O número obtido é maior que 15: C = { 16, 17, 18, 19, 20 }
d) O número obtido é múltiplo de 2 e de 3: D = { 6, 12, 18 }
e) O número obtido é múltiplo de 6 ou de 9: E = { 6, 9, 12, 18 }
Problema 02
Um dado é lançado e observa-se o número da face superior.
Determine a probabilidade desse número ser par.
Resolução Intuitiva:
São seis resultados e metade deles é par, portanto:
A probabilidade será de: 50%
Problema 02
Um dado é lançado e observa-se o número da face superior.
Determine a probabilidade desse número ser par.
Resolução :
Espaço Amostral: E = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Evento: A = { 2 , 4 , 6 }
n(E) = 6
n(A) = 3
Probabilidade: “a probabilidade é de três para seis”
P(A) =
n(A)
n(E)
3
P(A) =
6
1
P(A) = = 0, 5
2
P(A) = 50%
Probabilidade
Definição :
Sendo:
n(E) : número de elementos do espaço amostral.
n(A) : número de elementos do evento A.
A probabilidade de ocorrer o evento A é dada por:
n(A)
P(A) =
n(E)
Problema 03
Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma
bolinha é escolhida e observado seu número. Determine a
probabilidade de ocorrer:
a) um número maior que 4.
b) um número menor que 5.
c) um número menor que 11.
d) um número maior que 15.
Problema 03
Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma
bolinha é escolhida e observado seu número. Determine a
probabilidade de ocorrer:
a) um número maior que 4.
Espaço Amostral: E = { 1 , 2 , 3 , . . . , 10 }
Evento: A = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }
n(E) = 10
n(A) = 6
Probabilidade:
P(A) =
n(A)
n(E)
6
P(A) =
10
3
P(A) = = 0, 6
5
P(A) = 60%
Problema 03
Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma
bolinha é escolhida e observado seu número. Determine a
probabilidade de ocorrer:
b) um número menor que 5.
Espaço Amostral: E = { 1 , 2 , 3 , . . . , 10 }
Evento: A = { 1 , 2 , 3 , 4 }
n(E) = 10
n(A) = 4
Probabilidade:
P(A) =
n(A)
n(E)
4
P(A) =
10
2
P(A) = = 0, 4
5
P(A) = 40%
Problema 03
Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma
bolinha é escolhida e observado seu número. Determine a
probabilidade de ocorrer:
c) um número menor que 11.
Espaço Amostral: E = { 1 , 2 , 3 , . . . , 10 }
Evento: A = { 1 , 2 , 3 , . . . , 10 }
n(A) = 10
Probabilidade:
P(A) =
n(A)
n(E)
10
P(A) =
10
n(E) = 10
Evento Certo
P(A) = 1
P(A) = 100%
Problema 03
Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma
bolinha é escolhida e observado seu número. Determine a
probabilidade de ocorrer:
d) um número maior que 15.
Espaço Amostral: E = { 1 , 2 , 3 , . . . , 10 }
Evento: A = { } = ∅
n(A) = 0
Probabilidade:
P(A) =
n(A)
n(E)
0
P(A) =
10
n(E) = 10
Evento Impossível
P(A) = 0
P(A) = 0%
Probabilidade
Observações:
Sendo E o espaço amostral de um experimento aleatório e
A um evento deste espaço, então:
i) P(E) = 1
ii) P(∅) = 0
iii) 0 ≤ P(A) ≤ 1
iv) P(A) + P(A) = 1
Problema 04
(UELONDRINA) Uma senhora tem quatro filhos: Carlos, que
tem
6 filhos,
André que tem
5,
Norma
que
tem
4
e
José
que
tem
5. Essa senhora quer dar um objeto a um de seus netos
e resolveu fazê–lo por sorteio. Atribuiu um número distinto
a cada neto, escreveu cada número em um pedaço de
papel, colocou os papéis numa urna e retirou um deles ao
acaso. A probabilidade de que o neto sorteado seja filho de
Carlos é:
a) 30%
b) 32%
c) 45%
d) 50%
e) 60%
Problema 04
Uma senhora tem quatro filhos: Carlos, que tem 6
filhos, André que tem 5, Norma que tem 4 e José que
tem 5. A probabilidade de que o neto sorteado seja filho de
Carlos é:
a) 30%
b) 32%
c) 45%
d) 50%
e) 60%
Resolução
São, no total, 20 netos, dos quais 6 são filhos de Carlos. Assim:
6
Probabilidade: P(fC) =
20
P(A) = 30%
Problema 05
Em um grupo de 80 jovens, 16 praticam futebol, natação e
voleibol; 24 praticam futebol e natação; 30 praticam futebol e
voleibol; 22 praticam natação e voleibol; 16 praticam outros
esportes. A probabilidade de escolher, ao acaso, um jovem desse
grupo que pratique apenas um dos três esportes citados é de x%.
O valor de x é...
Futebol, Natação e Vôlei
16
Resolução:
Futebol e Natação
Futebol e Vôlei
24
30
Natação e Vôlei
22
Outros esportes
16
Total
80
Problema 05
F, N e V
FeN
16
24
FeV
30
NeV
22
Outros
16
Total
80
Total = 80
F
N
8
a
14
16
c
16
b
6
V
a + b + c + 8 + 16 + 14 + 6 + 16 = 80
Problema 05
a + b + c + 8 + 16 + 14 + 6 + 16 = 80
a + b + c = 20
A probabilidade de escolher, ao acaso, um jovem desse grupo
que pratique apenas um dos três esportes citados é de x%.
O valor de x é...
Total de jovens: 80
Jovens que praticam apenas um esporte: 20
20
P(A) = 25%
Probabilidade: P(A) =
80
x = 25
Problema 06
Um dado verde e outro violeta serão lançados sobre uma
mesa, observando-se os números contidos nas faces voltadas
para cima.
Determine:
a) A probabilidade de que a soma dos números seja 6.
b) A probabilidade do número encontrado no dado verde
seja menor do que o obtido no violeta.
Problema 06
Um dado verde e outro violeta serão lançados sobre uma
mesa, observando-se os números contidos nas faces voltadas
para cima.
Resolução :
Espaço Amostral:
36 pares
1
2
3
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1)
3
4
5
6
4
5
6
(4,5)
(6,6)
Problema 06
Determine:
a) A probabilidade de que a soma dos números seja 6.
Resolução :
Espaço Amostral: 36 pares
Evento (soma 6) : {(1,5) ; (5,1) ; (2,4) ; (4,2) ; (3,3)}
Probabilidade: P(A) = 5
36
Problema 06
Determine:
b) A probabilidade do número encontrado no dado verde
seja menor do que o obtido no violeta.
Resolução :
Espaço Amostral:
36 pares
Probabilidade:
15 5
P=
=
36 12
1
2
3
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1)
3
4
5
6
4
5
6
(4,5)
(6,6)
Problema 07
(VUNESP) Dois jogadores A e B vão lançar um par de dados.
Eles combinam que, se a soma dos números dos dados
for 5, A ganha e se essa for 8, B é quem ganha. Os dados
são lançados. Sabe–se que A não ganhou. Qual a
probabilidade de B ter ganho?
a)10/36
b) 5/32
c) 5/36
d) 5/35
Resolução:
Espaço Amostral : 36 pares
Para A ganhar: (1,4) ; (4,1) ; (2,3) ; (3,2)
Para B ganhar: (2,6) ; (6,2) ; (3,5) ; (5,3) ; (4,4)
Problema 07
Sabe–se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter
ganho?
a)10/36
b) 5/32
c) 5/36
d) 5/35
Resolução:
Espaço Amostral : 36 pares
Para A ganhar: (1,4) ; (4,1) ; (2,3) ; (3,2)
Para B ganhar: (2,6) ; (6,2) ; (3,5) ; (5,3) ; (4,4)
Se A não ganhou, então o Espaço Amostral é de: 32 pares
5
P(B / A) =
32
Problema 08
No lançamento de um dado honesto, qual aprobabilidade
de sair um número ímpar, sabendo que o resultado é um
número primo.
Resolução:
Problema 09
Uma loja de equipamentos automotivos realizou pesquisa
durante um mês para avaliar o perfil dos seus clientes em
relação ao sexo e a faixa etária (jovem ou adulto) , e obteve os
seguintes resultados :
- 80% do total é do sexo masculino ;
- 40% do total são jovens ;
- 50% do total de mulheres é adulta ;
Com base nos dados acima determine a probabilidade de ,
num sorteio realizado entre os clientes pesquisados,
obtermos:
a) um cliente adulto;
b) um cliente jovem e do sexo masculino ;
c) um cliente jovem sabendo que é do sexo masculino.
Problema 09
Resolução:
- 80% do total é do sexo masculino ;
Dados: - 40% do total são jovens ;
- 50% do total de mulheres é adulta ;
Homem Mulher Total
Jovem
30
10
40
Adulto
50
10
60
Total
80
20
100
Problema 09
Homem Mulher Total
Jovem
30
10
40
Adulto
50
10
60
Total
80
20
100
b) um cliente jovem e do
sexo masculino.
30
= 30%
P(H) =
100
a) um cliente adulto.
60
P(A) =
= 60%
100
c) um cliente jovem sabendo
que é do sexo masculino.
3
30
P(J / H) =
=
8
80
Problema 09
Homem Mulher Total
Jovem
30
10
40
Adulto
50
10
60
Total
80
20
100
1
10
P(A / M) =
= = 50%
20 2
5
50
P(H / A) =
= = 83, 3%
6
60
Problema 10
Três cavalos A,B e C disputam uma corrida. É duas vezes
mais provável que A vença do que B e duas vezes mais
provável que B vença do que C.
Quais são as suas respectivas probabilidades de vencer?
Resolução:
Probabilidades: P(C) = x
P(A) + P(B) + P(C) = 1
Portanto:
P(C) = 1/7
P(B) = 2x
x + 2x + 4x = 1
P(B) = 2/7
P(A) = 4x
x = 1/7
P(A) = 4/7
Aula 16 - Erivaldo
FIM