Probabilidade - CEM • Centro de Estudos Matemáticos

Aula 10 - Erivaldo
Probabilidade
Probabilidade
Experimento determinístico
Dizemos que um experimento é determinístico quando
repetido em condições semelhantes conduz a resultados
idênticos.
Experimento aleatório
Dizemos que um experimento é aleatório quando repetido
sob as mesmas condições produzem resultados geralmente
diferentes.
Probabilidade
Fenômenos aleatórios do nosso cotidiano:
Choverá amanhã?
Qual será a temperatura mínima na próxima semana?
Quais serão os números sorteados na Mega-Sena?
Quantos habitantes terá em Santa Catarina no ano 2100?
“ Estudar Probabilidade é buscar modelos matemáticos
que expliquem os fenômenos aleatórios ”
Probabilidade
Conceitos básicos:
Espaço Amostral
Conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório.
Exemplos:
1) Experimento: Lançar um dado honesto
Espaço Amostral: E = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
2) Experimento: Lançar uma moeda honesta
Espaço Amostral: E = { cara , coroa }
Probabilidade
Evento
Subconjunto do espaço amostral
Exemplos:
1) Aparecer um número par no lançamento de um dado.
Espaço Amostral: E = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Evento: A = { 2 , 4 , 6 }
Probabilidade
Evento
Subconjunto do espaço amostral
Exemplos:
2) Obter-se um número primo no sorteio de um número,
entre os 20 primeiros naturais positivos.
Espaço Amostral: E = { 1 , 2 , . . . ,19 , 20 }
Evento: A = { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 }
Probabilidade
1) Uma urna contém 20 bolinhas numeradas de 1 a 20.
Uma bolinha é escolhida e observado seu número.
Descreva os seguintes eventos:
a) O número obtido é par: A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 }
b) O número obtido é primo: B = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 }
c) O número obtido é maior que 15: C = { 16, 17, 18, 19, 20 }
d) O número obtido é múltiplo de 2 e de 3: D = { 6, 12, 18 }
e) O número obtido é múltiplo de 6 ou de 9: E = { 6, 9, 12, 18 }
Probabilidade
2) Um dado é lançado e observa-se o número da face
superior. Determine a probabilidade desse número ser par.
Resolução Intuitiva:
São seis resultados possíveis e metade deles é par, portanto:
A probabilidade será de: 50%
Probabilidade
2) Um dado é lançado e observa-se o número da face superior.
Determine a probabilidade desse número ser par.
Resolução :
Espaço Amostral: E = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Evento: A = { 2 , 4 , 6 }
n(E) = 6
n(A) = 3
Probabilidade: “a probabilidade é de três para seis”
3
P=
6
1
P = = 0, 5
2
P = 50%
Probabilidade
Definição :
Define-se probabilidade como o quociente do número de
casos favoráveis sobre o número de casos possíveis.
Jerônimo Cardano ( 1501 – 1576)
Número de casos favoráveis
Probabilidade = ____________________________
Número de casos possíveis
Probabilidade
Sendo:
n(E) : número de elementos do espaço amostral.
n(A) : número de elementos do evento A.
A probabilidade de ocorrer o evento A é dada por:
n(A)
P(A) =
n(E)
Probabilidade
3) Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10.
Uma bolinha é escolhida e observado seu número.
Determine a probabilidade de ocorrer:
a) um número maior que 4.
Espaço Amostral: E = { 1 , 2 , 3 , . . . , 10 }
Evento: A = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }
n(E) = 10
n(A) = 6
Probabilidade:
n(A)
P(A) =
n(E)
6
P(A) =
10
3
P(A) = = 0, 6
5
P(A) = 60%
Probabilidade
3) Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10.
Uma bolinha é escolhida e observado seu número.
Determine a probabilidade de ocorrer:
b) um número menor que 5.
Espaço Amostral: E = { 1 , 2 , 3 , . . . , 10 }
Evento: A = { 1 , 2 , 3 , 4 }
n(E) = 10
n(A) = 4
Probabilidade:
n(A)
P(A) =
n(E)
P(A) =
4
10
P(A) =
2
= 0, 4
5
P(A) = 40%
Probabilidade
3) Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10.
Uma bolinha é escolhida e observado seu número.
Determine a probabilidade de ocorrer:
c) um número menor que 11.
Espaço Amostral: E = { 1 , 2 , 3 , . . . , 10 }
Evento: A = { 1 , 2 , 3 , . . . , 10 }
n(A) = 10
Probabilidade:
n(A)
P(A) =
n(E)
P(A) =
n(E) = 10
Evento Certo
10
10
P(A) = 1
P(A) = 100%
Probabilidade
3) Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10.
Uma bolinha é escolhida e observado seu número.
Determine a probabilidade de ocorrer:
d) um número maior que 15.
Espaço Amostral: E = { 1 , 2 , 3 , . . . , 10 }
Evento: A = { } = ∅
n(A) = 0
Probabilidade:
n(A)
P(A) =
n(E)
P(A) =
n(E) = 10
Evento Impossível
0
10
P(A) = 0
P(A) = 0%
Probabilidade
Observações:
Sendo E o espaço amostral de um experimento aleatório e
A um evento deste espaço, então:
i) P(E) = 1
ii) P(∅) = 0
iii) 0 ≤ P(A) ≤ 1
iv) P(A)+ P(A) = 1
Probabilidade
4) (ENEM) O gráfico mostra a velocidade de conexão à internet
utilizada em domicílios no Brasil. Esses dados são resultado da mais
recente pesquisa, de 2009, realizada pelo Comitê Gestor da Internet
(CGI).
Escolhendo-se, aleatoriamente, um domicílio pesquisado, qual a
chance de haver banda larga de conexão de pelo menos 1 Mbps
neste domicílio?
a) 0,45
b) 0,42
c) 0,30
d) 0,22
e) 0,15
Probabilidade
Total de
domicílios:
100
Domicílios
de interesse:
22
Escolhendo-se, aleatoriamente, um domicílio pesquisado, qual
a chance de haver banda larga de conexão de pelo menos
1 Mbps neste domicílio?
Probabilidade
Total de
domicílios:
100
Domicílios
de interesse:
22
Probabilidade:
22
P=
100
P = 0,22
Gabarito: d
Probabilidade
5) Em um grupo de 80 jovens, 16 praticam futebol, natação e
voleibol; 24 praticam futebol e natação; 30 praticam futebol e
voleibol; 22 praticam natação e voleibol; 16 praticam outros
esportes. A probabilidade de escolher, ao acaso, um jovem desse
grupo que pratique apenas um dos três esportes citados é de x%.
O valor de x é...
Futebol, Natação e Vôlei
16
Resolução:
Futebol e Natação
Futebol e Vôlei
24
30
Natação e Vôlei
22
Outros esportes
16
Total
80
Probabilidade
F, N e V
FeN
16
24
FeV
30
NeV
22
Outros
16
Total
80
Total = 80
F
N
8
a
14
16
c
16
b
6
V
a + b + c + 8 + 16 + 14 + 6 + 16 = 80
Probabilidade
a + b + c + 8 + 16 + 14 + 6 + 16 = 80
a + b + c = 20
A probabilidade de escolher, ao acaso, um jovem desse grupo
que pratique apenas um dos três esportes citados é de x%.
O valor de x é...
Total de jovens: 80
Jovens que praticam apenas um esporte: 20
20
P(A) = 25%
Probabilidade: P(A) =
80
x = 25
Probabilidade
6) (FUVEST) Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre
dois artrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao acaso,
da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta,
camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato,
escorpião e gafanhoto.
Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes
escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam insetos?
a) 49/144
b) 14/33
c)
7/22
d) 5/22
d) 15/144
Probabilidade
Artrópodes: (12 )
aranha , besouro , barata , lagosta , camarão , formiga , ácaro ,
caranguejo , abelha , carrapato , escorpião e gafanhoto.
Insetos: ( 5 )
besouro , barata , formiga , abelha , gafanhoto.
Não Insetos: ( 7 )
aranha , lagosta , camarão , ácaro , caranguejo , carrapato ,
escorpião
Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes
escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam insetos?
a) 49/144
b) 14/33
c)
7/22
d) 5/22
d) 15/144
Probabilidade
Artrópodes: (12 )
Não Insetos: ( 7 )
Total de casos:
Casos de interesse:
“escolher dois artrópodes”
“escolher dois não insetos”
2
12!
C12
= ______
2! .10!
7!
C 27 = ______
2! .5!
2
C12
= 66
C 27 = 21
Probabilidade: “dois não insetos”
21
P=
66
7
P=
22
Gabarito: c
Probabilidade
7) Um dado verde e outro violeta serão lançados sobre uma
mesa, observando-se os números contidos nas faces voltadas
para cima.
Determine:
a) A probabilidade de que a soma dos números seja 6.
b) A probabilidade do número encontrado no dado verde
seja menor do que o obtido no violeta.
Probabilidade
7) Um dado verde e outro violeta serão lançados sobre uma
mesa, observando-se os números contidos nas faces voltadas
para cima.
Resolução :
Espaço Amostral:
36 pares
1
2
3
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1)
3
4
5
6
4
5
6
(4,5)
(6,6)
Probabilidade
Determine:
a) A probabilidade de que a soma dos números seja 6.
Resolução :
Espaço Amostral: 36 pares
Evento (soma 6) : {(1,5) ; (5,1) ; (2,4) ; (4,2) ; (3,3)}
Probabilidade: P(A) = 5
36
Probabilidade
Determine:
b) A probabilidade do número encontrado no dado verde
seja menor do que o obtido no violeta.
Resolução :
Espaço Amostral:
36 pares
Probabilidade:
15 5
P=
=
36 12
1
2
3
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1)
3
4
5
6
4
5
6
(4,5)
(6,6)
Probabilidade
8) No lançamento de um dado honesto, qual aprobabilidade
de sair um número ímpar, sabendo que o resultado é um
número primo.
Resolução:
Probabilidade
9) (VUNESP) Dois jogadores A e B vão lançar um par de
dados. Eles combinam que, se a soma dos números dos
dados for 5, A ganha e se essa for 8, B é quem ganha. Os
dados são lançados. Sabe–se que A não ganhou. Qual a
probabilidade de B ter ganho?
a)10/36
b) 5/32
c) 5/36
d) 5/35
Resolução:
Espaço Amostral : 36 pares
Para A ganhar: (1,4) ; (4,1) ; (2,3) ; (3,2)
Para B ganhar: (2,6) ; (6,2) ; (3,5) ; (5,3) ; (4,4)
Probabilidade
Sabe–se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter
ganho?
a)10/36
b) 5/32
c) 5/36
d) 5/35
Resolução:
Espaço Amostral : 36 pares
Para A ganhar: (1,4) ; (4,1) ; (2,3) ; (3,2)
Para B ganhar: (2,6) ; (6,2) ; (3,5) ; (5,3) ; (4,4)
Se A não ganhou, então o Espaço Amostral é de: 32 pares
5
P(B / A) =
32
Probabilidade
10) (Espm) Numa empresa, 60% são homens, dos quais,
10% são fumantes. Sabe-se que 5% das mulheres são fumantes.
Escolhendo-se ao acaso um dos fumantes dessa empresa, a
probabilidade de ser uma mulher é igual a:
a) 25%
b) 15%
c) 10%
d) 30%
e) 20%
Resolução:
2
P(M / F) =
Homem Mulher Total
8
Fumante
a611
a212
a813
1
P(M / F) =
Não Fumante
a54
a
a
38
92
21
22
23
4
a60
a32
a33
100
Total
40
31
P(M / F) = 25%
Probabilidade
11) Três cavalos A,B e C disputam uma corrida. É duas vezes
mais provável que A vença do que B e duas vezes mais
provável que B vença do que C.
Quais são as suas respectivas probabilidades de vencer?
Resolução:
Probabilidades: P(C) = x
P(A) + P(B) + P(C) = 1
Portanto:
P(C) = 1/7
P(B) = 2x
x + 2x + 4x = 1
P(B) = 2/7
P(A) = 4x
x = 1/7
P(A) = 4/7
Probabilidade
12)(UERJ) Três modelos de aparelhos de ar-condicionado, I, II e
III, de diferentes potências, são produzidos por um
determinado fabricante. Uma consulta sobre intenção de troca
de modelo foi realizada com 1000 usuários desses produtos.
Observe a matriz A, na qual cada elemento representa o
número daqueles que pretendem trocar do modelo i para o
modelo j.
 50 150 200 
 0 100 300 


0 200 
 0
Escolhendo-se aleatoriamente um dos
usuários consultados, a probabilidade
de que ele não pretenda trocar seu
modelo de ar-condicionado é igual a:
Probabilidade
Resolução:
Uma consulta sobre intenção de troca de modelo foi
realizada com 1000 usuários desses produtos. Observe a
matriz A, na qual cada elemento representa o número
daqueles que pretendem trocar do modelo i para o modelo j.
 50 150 200
 0 100 300

0 200
 0




 a11 a12

 a21 a22
 a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
a13 = 200
200 usuários querem mudar do modelo 1 para modelo 3.
a22 = 100
100 usuários pretendem continuar com o modelo 2.
Probabilidade
Uma consulta sobre intenção de troca de modelo foi
realizada com 1000 usuários desses produtos.
 50 150 200 
 0 100 300 


0 200 
 0
 a11 a12

 a21 a22
 a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
Escolhendo-se aleatoriamente um dos usuários consultados,
a probabilidade de que ele não pretenda trocar seu modelo
de ar-condicionado é igual a:
Probabilidade: P =
350
50 +100 + 200
⇒ P =
= 35%
1000
1000
Probabilidade
13) (UFRGS) O resultado de uma partida de futebol foi 3x2.
A probabilidade de que o time vencedor tenha marcado os
dois primeiros gols é:
Resolução:
Sejam os times A e B, onde A seja o vencedor.
Evolução do placar final: AAABB , ABABA , BBAAA , BABAA , . . .
Total de maneiras de obtermos o placar de 3x2:
AAABB
3,2
5
P
= 5! ⇒ P53,2 = 10
3!.2!
Probabilidade
O resultado de uma partida de futebol foi 3x2.
A probabilidade de que o time vencedor tenha marcado os
dois primeiros gols é:
Resolução:
Total de maneiras de obtermos o placar de 3x2: 10
A ____
A ____
B ____
A ____
B
Casos de interesse: ____
fixo fixo
3!
2
P3 =
⇒ P32 = 3
2!
3
Probabilidade: P =
⇒ P = 30%
10
Aula 10 - Erivaldo
FIM