II – Movimento Circular

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE DANIEL FARIA – BALTAR
Física - 12º Ano
Ficha Informativa II - Mecânica da partícula
Ano Lectivo
2012/2013
Nome: ________________________________________ N.º ____ Turma _____
Questões-tipo
II – Movimento Circular
A. Partindo das expressões:
x= 2 cos t
y= 2 sin t
1.
e
y = sin(ωt)
x(t) = R cos(ωt)
onde R é o raio do movimento e ω é a velocidade angular.
(S.I.)
Indicar o raio e a velocidade angular deste movimento.
R=2m
ω = 1 rad.s-1
2.
Estas equações são as equações paramétricas do movimento
circular e estão escritas na forma:
O raio é o valor que aparece antes do sin e cos
e a velocidade angular antes do tempo.
(S.I.)
Calcular a posição para t = π/2.
x= 2 cos π/2
y= 2 sin π/2 (S.I.)
Substituir a incógnita t das expressões pelo
valor indicado.
3. Escrever a expressão do vector posição.
Um movimento circular uniforme pode ser descrito por:
r(t) = 2 cos(t) ex + 2 sin(t) ey
r(t) = R (cos(ωt) ex + sin(ωt) ey)
onde r é o vetor posição de um MCU (que é necessariamente
bidimensional) com origem em r(t) = 0, w é a velocidade
angular, ex e ey são versores de base do seu espaço.
4.
Calcular a velocidade ou expressão do vector velocidade.
v(t) = 2 x 1 (‐ sin(t) ex + cos(t) ey )
5.
É a derivada do vector deslocamento:
v(t) = Rω (‐ sin(ωt) ex + cos(ωt) ey )
Calcular o módulo da velocidade.
|v|= (‐ 2 sin (t))2 + (2 cos (t))2
Uma vez que : sin 2 (t) + cos2 (t) = 1
Então, |v| = 2 m.s‐1
|v|= R2ω2 (‐ sin(ωt)2 + cos(ωt)2 )
|v| = Rω
Assim para calcular o módulo da velocidade basta multiplicar
o velocidade angular pelo raio (neste caso 2 x 1).
1
6.
Calcular a aceleração ou expressão do vector aceleração.
Obtém‐se derivando a expressão da velocidade.
a(t) = Rω² (‐cos(ωt) ex ‐ sin(ωt) ey)
a(t) = 2 x 1² (‐cos(t) ex ‐ sin(t) ey)
7.
Escrever a equação de trajectória.
Elevando ambos os membros das equações paramétricas ao quadrado:
(x/2)2 = cos2 (t)
(y/2)2 = sin2 (t)
Uma vez que : sin 2 (t) + cos 2 (t) = 1
Então: (x/2)2 + (y/2)2 = 1
É a equação de y em
função de x, ou vice‐versa,
pelo que t deve ser
retirado das equações.
8. Escrever a aceleração em função das suas componentes normal e tangencial.
Já vimos em 5. que |v| = 2 m.s‐1
at = d|v |/dt
Como a derivada de uma constante é zero a aceleração tangencial é nula.
a = an
a = dv /dt
Em 6. calculou‐se a aceleração segundo x e y. Agora temos de calcular o
seu módulo para escrevermos a aceleração em função de en
a(t) = 2 (‐cos(t) ex ‐ sin(t) ey)
|a|= (‐ 2 cos (t))2 + (‐ 2 cos (t))2
a = 2 en m.s‐2
A aceleração tangencial é nula,
pelo que este é um movimento
circular uniforme.
Este vetor aponta para o centro
do
movimento
(é
dito
centrípeto) e tem módulo Rω²,
uma vez que |a| = Rω².
9. Qual a velocidade de um corpo que descreve um movimento semelhante mas
com o dobro do raio.
v = ωR pelo que v1 = ωR1 e v2 = ωR2 R2 = 2 R1 pelo que v2 = 2 v1
Assim, a velocidade será dupla, dado que o raio é o dobro e a velocidade angular se mantém.
10. Escrever a expressão da força resultante em função da velocidade.
Pela segunda lei de Newton, basta multiplicar a aceleração pela massa para obter a força.
F=mxa
Uma vez que: a = Rω² e v = ωR, podemos escrever ω =v /R e consequentemente a = v²/R
Logo, a força é centrípeta (aponta do corpo para o centro do movimento) e tem valor: F = mv²/R.
B. Partindo de outras expressões.
1. Fornecendo a expressão do ângulo em função do tempo o procedimento é semelhante ao
movimento curvilíneo. É necessário ter em conta que, para o movimento circular uniforme, a
expressão do ângulo em função do tempo é dada na forma:
θ (t) = θ0 +ωt
2. Se o movimento for circular não uniforme considerar as seguintes expressões:
θ (t) = θ0 +ω0t + ½ αt2
ω (t) = ω0 + αt
α = dω / dt
Sendo ω a velocidade angular e α a aceleração angular.
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