No movimento circular uniforme a velocidade tem módulo constante

Movimento circular uniforme
No movimento circular uniforme a velocidade tem módulo constante,
porém sua direcção muda continuamente
Exemplos:
As pessoas girando com o movimento da Terra
Movimento de satélites artificiais
Pontos de um disco num gira discos
Pontos de um disco rígido de computador
Ponteiros de um relógio
1
Movimento circular uniforme  MCU
y

ey

r


ex
Para descrever o MCU utilizamos as coordenadas polares
x
r
e 
y
Vector posição


r
r sin e

y

ex
r cos 
x



r  r cos  e x  r sin  e y
onde

r r
2
O arco sobre a trajectória que subentende um ângulo
y
r

é:
s  r
S

x
ds
r

d
s
O arco descrito em d é dado por
ds  r d
x
3
No movimento circular uniforme 
O vector velocidade é sempre tangente à
trajectória da partícula e é perpendicular
ao raio da trajectória

v

ac
r
B

v

ac
A
Demonstraremos que
• A aceleração centrípeta aponta para o centro do círculo
• A aceleração centrípeta é responsável pela mudança da direcção da velocidade
4
No movimento circular uniforme a velocidade angular é constante


t
A unidade da velocidade angular é
rad s 1
O movimento circular é um movimento periódico
O tempo de uma volta completa é o período T

o tempo que demora para descrever um ângulo de
A velocidade angular é

2
T
ou
2
  2f onde f é a frequência
A unidade da frequência no SI é o hertz (Hz)
5
y



r  r cos  e x  r sin  e y
A velocidade da partícula

v
é a
derivada em ordem ao tempo de

r

 dr 
d   
d
v
   r sin 
e

r
cos

 x 
dt 
dt 
dt

mas

ey


ex

e y

d

dt




v    r sin  e x  r cos  e y 
O módulo da velocidade é

r

v
x
  v  r sin 
v vy  x

vx
v y  r cos 



v  v    r sin  e x  r cos  e y   r
porque
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
v 2   2  r sin     2 (r cos ) 2   r sin    r cos    r (sin   cos  )
 v  r
Relaciona a velocidade angular

velocidade linear
v
6
O valor absoluto da velocidade linear não varia mas a direcção varia
Como
v  r , 
é constante.
O movimento circular uniforme é acelerado e a única função da aceleração é mudar a
direcção da velocidade
A aceleração é




v    r sin  e x  r cos  e y 

 dv d


a
  r sin  e x r cos  e y 
dt dt

d   
d   
    r cos 
 e x   r sin 
 ey 
dt
dt


 


   r 
2



(r  r cos  e x  r sin  e y )
Observe que a direcção da aceleração tem
sentido inverso ao do vector posição 
Está dirigida para o centro da circunferência e
por esse motivo chama-se aceleração
centrípeta
É a aceleração centrípeta que faz variar o
vector velocidade
7
O módulo da aceleração centrípeta é

v

ac


2
ac    r
B

v

ac
A
ac   2 r
como
v  r
2
v
ac 
r
8
Observe a animação abaixo. O carro se move com velocidade linear constante.
Em qual das curvas a aceleração centrípeta é maior?
v2
ac 1 
r
v2
ac2 
2r
9
Exemplo 13. Um pião roda uniformemente com frequência de 16 Hz. Qual é a
aceleração centrípeta de um ponto na superfície do pião em r = 3 cm ?
A velocidade angular é:
  (2 rad)(16 Hz) 
  2 f
  (2  3.14 rad)(16 Hz)  100 .48 rad s -1 ~ 101 rad s -1
A aceleração centrípeta será
ac   r  (101 rad s ) (3 10 m)  306 .0 m s
2
-1 2
2
-2
10
Exemplos de MCU
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No movimento circular uniforme (MCU)
Vector posição



r  r cos  e x  r sin  e y
Vector velocidade



v    r sin  e x  r cos  e y 
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Movimento circular uniformemente variado
No movimento circular uniformemente variado, a velocidade linear
Como
v  r , a velocidade angular 
também não é constante.


d   
d   
    r cos 
 e x  r sin 
 ey 
dt 
dt  






  r    r sin  e x  r cos  e y
onde

at

não é constante.

 dv d


a

  r sin  e x  r cos  e y  
dt dt
A aceleração é
2

v
d
dt


 d
  r sin  e x  r cos  e y 

dt

é a aceleração angular
  
a  ac  at

v
at

ac
é a aceleração tangencial
 e tem a mesma direcção
do vector velocidade v

at  r
13

at

a
Módulo da aceleração total

ac

a  a  ac2  at2
Quando a aceleração angular é constante podemos obter
  const
  0  t
1 2
   0   0 t  t
2
14
Exemplo 14. Um ponto na trajetória de uma partícula é dada pelas equações (em
unidades SI):
x(t) = 0.2 t2 + 5.0 t + 0.5
y(t) = -1.0 t2 + 10.0 t + 2.0
a) Calcular
 

r  r (6)  r (3)
em t = 3 s :
x(3) =17 m e y(3) =23 m
em t = 6 s :
x(6) =38 m e y(6) =26 m
 





r  r (6)  r (3)  (38 m ex  26 m e y )  (17 m ex  23 m e y ) 


(21 ex  3e y ) m
b) Sabendo que a velocidade da partícula é vx  0.4 t  5.0 m/s e v y  2.0 t  10 m/s
calcule a aceleração da partícula.
dvx
d
O módulo da aceleração e ângulo

( 0.4 t  5.0)  0.4 m/s 2
dt
dt

2
2
2
a

a

a

a

4
.
2

2
.
0
m/s
dv y
x
y
d
2
 2.0 t  10    2.0 m/s
ay

dt
dt
a
 2.0
o
ax 



a  (0.4 ex  2.0 e y ) m/s2
tg  
y
ax

0.4
  5.0     79
15