Folha2 - Departamento de Física da Universidade de Coimbra

Departamento de Fı́sica da Universidade de Coimbra
Fı́sica Geral II - Lic. em Quı́mica, Quı́mica Industrial e Geologia - 2009/2010
Folha 2: Aplicações da lei de Gauss, sistemas de condutores e dieléctricos
Problema 1
Uma carga pontual Q está no centro de uma casca esférica condutora de raio interno R1 e raio externo R2 .
a) Considere que a casca esférica está descarregada e isolada. Determine:
i) a distribuição de carga na casca esférica;
ii) o campo eléctrico em todo o espaço:
iii) o potencial eléctrico em todo o espaço.
b) Responda às questões da alı́nea a), para o caso de a superfı́cie externa da casca esférica estar ligada à
Terra.
Problema 2
Do ponto de vista eléctrico, a superfı́cie da Terra pode ser considerada um bom condutor, com uma densidade
média de carga superficial σ0 . O campo eléctrico junto à superfı́cie aponta para a Terra e tem aproximadamente
o valor de 150 V/m.
a) Calcule o valor da carga total da Terra; admitindo que a carga está uniformemente distribuı́da sobre a
superfı́cie, determine a densidade superficial de carga, σ0 (RTerra ≃ 6400 km).
b) A intensidade do campo eléctrico diminui com a altitude, sendo de cerca de 100 V/m a uma altitude de
100 m acima do solo. Calcule o valor médio da carga por metro cúbico na camada atmosférica compreendida entre a superfı́cie da Terra e a altitude de 100 m.
Problema 3
Considere dois condutores cilı́ndricos coaxiais muito longos: o condutor interior de raio a tem uma densidade
linear de carga λ1 (C/m) e o exterior, de raio b, uma densidade linear de carga λ2 (C/m). O comprimento ℓ dos
condutores é muito maior do que as dimensões dos respectivos raios (ℓ ≫ b > a).
a) Determine a relação entre λ1 e λ2 para que o campo eléctrico seja nulo para r > b.
b) Nas condições anteriores, o sistema constitui um condensador cilı́ndrico. Determine a capacidade deste
condensador.
Problema 4
O modelo de Thomson para o átomo de hidrogénio considerava uma esfera de raio R com a carga total +e,
uniformemente distribuı́da no volume, e um electrão (carga −e) posicionado no centro da esfera.
a) Verifique que o electrão está em equilı́brio no centro da esfera e se for ligeiramente afastado dessa posição
passará a oscilar em torno dela. Determine a frequência das oscilações.
b) Determine o valor de R para o qual o electrão oscilaria com frequência f = 2, 47 × 1015 Hz (frequência da
luz correspondente a uma das linhas do espectro do hidrogénio).
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Problema 5
Considere uma esfera condutora de raio R = 5 cm que está carregada com a carga Q = 2 µC.
a) Usando a lei de Gauss e justificando cuidadosamente, calcule o campo eléctrico em todos os pontos do
espaço.
b) Calcule a energia que é necessário fornecer a uma carga de 3 µC para a trazer de um ponto à distância de
10 cm do centro da esfera para a superfı́cie desta. Justifique o facto de essa energia ser positiva.
c) Qual a densidade superficial de carga que deve existir sobre uma segunda esfera, concêntrica com a anterior
e de raio R′ = 8 cm, para que o campo eléctrico seja nulo na região r > 8 cm?
Problema 6
Uma esfera isoladora de raio R = 10 cm está uniformemente carregada com densidade de carga constante
ρ = 6µC/m3 .
a) Determine a expressão do campo eléctrico criado em todo o espaço, aplicando a lei de Gauss e justificando
o seu raciocı́nio cuidadosamente.
b) Determine a expressão do potencial eléctrico no ponto r = 20 cm.
c) Calcule a mı́nima velocidade que tem que ser comunicada a uma partı́cula pontual de massa m = 10−3 kg
e carga q = 2 µC, lançada do infinito, de modo a atingir a superfı́cie da esfera.
Problema 7
Uma esfera não condutora, de raio 10 cm, tem carga uniformemente distribuı́da no seu volume. A intensidade
do campo eléctrico num ponto a 5 cm do centro é E = 2000 N/C e o campo é dirigido radialmente para fora.
a) Determine a densidade volumétrica de carga existente na esfera.
b) Calcule o campo eléctrico num ponto a 20 cm do centro da esfera.
c) Obtenha a expressão do potencial eléctrico em todos os pontos do espaço.
Problema 8
Um plano infinito está carregado com uma densidade superficial de carga σ = 1, 77 nC/m2 .
a) Usando a lei de Gauss e justificando cuidadosamente, calcule o campo eléctrico em todos os pontos do
espaço.
b) Considere uma partı́cula de pequenas dimensões, com carga Q = −2 µC e massa m = 50 g, largada com
velocidade nula de um ponto à distância de 5 cm do plano. Determine a velocidade com que embaterá
contra o plano.
Problema 9
Considere um fio infinito carregado com uma densidade de carga por unidade de comprimento λ.
a) Determine a expressão do campo eléctrico a uma distância r do fio, aplicando a lei de Gauss e justificando
o seu raciocı́nio cuidadosamente.
b) Considerando λ = −10 µC/m, determine a energia que é necessário fornecer para mover uma carga pontual
q = 2 µC de um ponto a 2 cm de distância para um ponto a 6 cm de distância do fio. Justifique o facto
de essa energia ser positiva.
c) Considere agora que a carga q passa a ter um movimento circular uniforme, descrevendo trajectórias de
raio r = 6 cm em torno do fio. Determine a velocidade e o perı́odo do movimento. A massa da carga é
m = 3, 6 g.
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Problema 10
Uma esfera carregada A, de 2 cm de raio, liga-se através de um fio muito longo a outra esfera B, de raio igual a
3 cm, que está descarregada. Depois de desligar as esferas, a energia armazenada na esfera B é 0,4 J. Determine
o valor da carga de A antes de se ter estabelecido a ligação entre as esferas.
Problema 11
Um condensador plano é formado por duas placas condutoras, de área A, paralelas entre si e separadas por uma
distância d, muito pequena em comparação com as dimensões das placas. As placas têm densidades superficiais
de carga simétricas ± σ (C/m2 ), respectivamente.
a) Determine o campo eléctrico criado por esta distribuição de cargas em todo o espaço.
b) Determine a diferença de potencial entre as placas.
c) Obtenha a expressão da capacidade do condensador.
Problema 12
Um condensador plano é formado por duas placas paralelas, de área A = 4 m2 , à distância d = 4 mm uma
da outra. A região entre as placas está totalmente preenchida por um dieléctrico de permitividade eléctrica
εr = 3, 4. Para carregar o condensador liga-se a uma bateria que fornece uma tensão de 100 V. O condensador
é de seguida desligado e isolado.
a) Determine a capacidade do condensador, a carga que tem armazenada e o campo eléctrico existente entre
as placas.
b) Determine a energia armazenada no condensador.
c) Considere agora que se retirou cuidadosamente o dieléctrico da região entre as placas. Determine, nestas
condições, os novos valores das grandezas fı́sicas pedidas nas alı́neas anteriores. Comente os resultados
obtidos.
Problema 13
Um condensador formado por dois condutores esféricos concêntricos, de raios a = 4 cm e b = 5 cm, respectivamente, é carregado, de modo a estabelecer uma diferença de potencial de 400 V entre as armaduras. Mantendo o
condensador ligado à fonte, preenche-se a região entre os condutores com querosene vaporizado de permitividade
eléctrica εr = 2, 5.
a) Calcule a carga adquirida pelo condensador e a energia nele armazenada antes de introduzir o dieléctrico.
b) Determine a energia do condensador quando está preenchido com o dieléctrico. Comente os resultados.
Qual a razão entre a capacidade final (com dieléctrico) e a inicial (sem dieléctrico)?
Problema 14
Considere dois condensadores de capacidades C1 e C2 , respectivamente. Mostre que:
a) ao ligar estes condensadores em paralelo, a capacidade equivalente C do sistema é C = C1 + C2 ;
b) ao ligar estes condensadores em série, a capacidade equivalente C do sistema é obtida da expressão
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C = C1 + C2 .
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