Materiais Eléctricos e Termodinâmica (MEEC)

Materiais Eléctricos e Termodinâmica (MEEC)- 2009/2010
Folha 2 - Lei de Gauss e Condensadores
1. Uma carga eléctrica total igual a 3, 50 nC está distribuı́da uniformemente sobre a superfı́cie de uma
esfera metálica com raio igual a 24,0 cm. (a) Calcule o campo eléctrico fora da esfera.
(b) Considerando zero o potencial a uma distância infinita da esfera, calcule o valor do potencial
para as seguintes distâncias ao centro da esfera: (i) 48,0 cm; (ii) 24,0 cm; (iii) 12,0 cm.
R: (i) 65,6 V; (ii) 131,3 V; (iii) 131,3 V
2. Uma esfera condutora sólida de raio a possui carga q. Ela está no interior de uma esfera condutora
oca concêntrica com raio interno b e raio externo c. A esfera condutora oca não possui nenhuma
carga lı́quida. (a) Deduza uma expressão para o módulo do campo eléctrico em função da distância
r ao centro para as regiões r < a, a < r < b, b < r < c e r > c. (b) Faça um gráfico do módulo do
campo eléctrico em função da distância r de r = 0 até r = 2c. (c) Qual é a carga sobre a superfı́cie
interna da esfera oca? (d) Qual é a carga sobre a superfı́cie externa da esfera oca? (e) Represente
as cargas da pequena esfera usando quatro sinais de adição. Faça um esboço das linhas de campo
do sistema no interior de um volume esférico de raio igual a 2c. (e) Calcule o potencial para os
seguintes valores de r: (i) r = c; (ii) r = b; (iii) r = a e r = 0.
R: (c) −q; (d) +q; (i) V (c) = kq/c; (ii) V (b) = kq/c; (iii) V (a) = kq(1/c − 1/b + 1/a), V (0) = V (a)
3. Uma esfera condutora sólida de raio R com carga Q está no interior de uma casca esférica muito fina
isoladora e concêntrica com raio 2 R e que possui também uma carga Q. A carga Q está distribuı́da
uniformemente sobre a casca esférica isoladora. (a) Determine o módulo, a direcção e o sentido do
campo eléctrico em cada uma das regiões 0 < r < R, R < r < 2R e r > 2R. (b) Faça um gráfico
do módulo do campo eléctrico em função da distância r.
4. Uma esfera oca condutora com raio interno a e raio externo b possui uma carga pontual positiva
Q localizada em seu centro. A carga total sobre a esfera oca é igual a −3 Q e está isolada de suas
vizinhanças. (a) Deduza uma expressão para o módulo do campo eléctrico em função da distância
r ao centro para as regiões r < a, a < r < b, e r > b. (b) Qual é a densidade de carga superficial
sobre a superfı́cie interna da esfera oca condutora? (c) Qual é a densidade de carga superficial sobre
a superfı́cie externa da esfera oca? (d) Faça um desenho indicando as linhas de campo eléctrico e
a localização de todas as cargas, (e) Faça um gráfico do módulo do campo eléctrico em função da
distância r.
R: (b) σ = −Q/(4πa2 ); (c) σ = −2Q/(4πb2 )
5. Um cabo coaxial longo é constituı́do por um cilindro interno condutor de raio a e por um cilindro
externo coaxial com raio interno b e raio externo c. O cilindro externo está apoiado em suportes
isoladores e tem carga total nula. O cilindro interno possui uma carga por unidade de comprimento
uniforme λ. Determine o campo eléctrico: (a) em qualquer ponto entre os dois cilindros, a uma
distância r do eixo; (b) em qualquer ponto no exterior do cilindro. (c) Faça um gráfico do módulo
do campo eléctrico em função da distância r ao eixo do cabo, desde r = 0 até r = 2c. (d) Calcule a
carga por unidade de comprimento da superfı́cie interna e da superfı́cie externa do cilindro externo.
2λ
R: (a) E = k 2λ
r ; (b) E = k r ; (d) λint = −λ, e λext = λ
σ + +σ
++
++
+ +
+ +
+ +
6. Uma única placa condutora isolada (ver figura) possui uma carga por unidade de área σ na sua
superfı́cie. Considerando a distribuição de cargas sobre a placa condutora como dois planos carregados (um de cada lado da placa), cada um deles com uma carga por unidade de área σ, mostre
que E = 0 no interior da placa e E = σ/²0 fora da placa.
7. Duas grandes placas metálicas planas e paralelas possuem cargas opostas e de mesmo módulo e a
distância entre elas é de 38,0 mm. O campo eléctrico entre elas é uniforme e possui módulo igual
a 480 N/C. (a) Qual é a diferença de potencial entre as placas? (b) Qual é a densidade superficial
de carga a sobre a placa positiva?
R: (a) V = 18, 2 V; (b) σ = 4, 24 × 10−9 C/m2
8. O flash electónico de uma máquina fotográfica contém um condensador que armazena a energia
usada no flash. Numa dessas unidades, um flash dura 1/675 s com uma potência luminosa média
igual a 2, 70 × 105 W. (a) Se a conversão de energia eléctrica em luz possui a eficiência de 95%
(a energia restante transforma-se em energia térmica), qual a energia que pode ser amazenada no
condensador para obter estes flash? (b) A diferença de potencial entre as placas de um condensador
é igual a 125 V quando a energia armazenada é igual ao valor calculado em (a). Qual é o valor da
capacidade?
R: (a) E0 = 421 J; (b) C = 0, 054 F
9. No teclado de um computador, cada tecla contém uma pequena placa metálica que funciona como
uma das placas metálicas de um condensador com ar. Quando comprimimos a tecla, a distância
entre as placas diminui e a capacidade aumenta. Um circuito electrónico detecta a variação da
capacidade e portanto detecta também o movimento da tecla comprimida. Num teclado particular,
a área de cada placa metálica é igual a 42, 0 mm2 e a distância entre as placas é igual a 0, 700 mm
antes da tecla ser comprimida. Se o circuito electrónico pode detectar uma variação de capacidade
de 0, 250 pF, qual é a distância mı́nima em que a tecla deve ser comprimida para que o circuito
electrónico possa detectar a compressão da tecla.
R: 0,224 mm
10. Na figura (lado esquerdo), C1 = C5 = 8, 4 µF e C2 = C3 = C4 = 4, 2µF. A diferença de potencial
aplicada é Vab = 220 V. (a) Qual a capacidade equivalente do circuito entre os pontos a e b? (b)
Qual a carga de cada condensador e a diferença de potencial através de cada condensador.
R: (a) Ceq = 2, 52 µF; (b) Q1 = Q5 = 5, 54 × 10−4 C, V1 = V5 = 66 V, Q2 = 3, 70 × 10−4 , V2 = 88
V, Q3 = Q4 = 1, 85 × 10−4 C, V3 = V4 = 44 V
C1
C2
C1
C3
a
d
a
C2
C5
b
b
S
C4
C1
C2
c
11. Os condensadores indicados no lado direito da figura anterior, de capacidades C1 = 3, 00µF e C2 =
6, 00µF, estão inicialmente descarregados e são ligados como indica o diagrama com o interruptor
S aberto. A diferença de potencial aplicada é Vab = +210 V. (a) Qual é a diferença de potencial
Vcd ? (b) Qual é a diferença de potencial através de cada condensador depois do interruptor estar
fechado? (c) Qual a quantidade de carga que flui através do interruptor quando ele está fechado?
R: (a) 70 V; (b) 105 V; (c) 315 µC