= z σ

Universidade de Coimbra
ELECTROMAGNETISMO | 2004/05
Lic. em Fı́sica, Quı́mica, Engenharia Biomédica e Matemática (opção)
Folha 1 : Electrostática
1. A figura representa um fio de comprimento l, carregado com uma densidade de carga λ > 0; o ponto P
está à distância a do fio; a distância de P às extremidades do fio é determinada pelos ângulos θ1 e θ2 .
(a) Calcule o campo eléctrico criado pelo fio no ponto
P. Analise o resultado para o caso particular de o
ponto P estar equidistante das extremidades do
fio.
P
q
q
1
2
a
(b) Generalize para o caso em que l → ∞.
l
(c) Confirme o resultado da alı́nea anterior aplicando
a lei de Gauss.
2. É possı́vel carregar electricamente um pedaço de plástico bombardeando-o, no vazio, com um feixe
de electrões. Os electrões ficam retidos no plástico e geram um campo eléctrico em seu redor. Na
figura está representado um plástico com forma de um disco de raio a e espessura desprezável, que foi
carregado dessa forma. A densidade superficial de carga na superfı́cie é σ.
z
~ ao longo do eixo do
(a) Determine o campo eléctrico E
disco.
~ quando z tende para
(b) Determine o valor limite de E
zero.
a
(c) Obtenha o campo eléctrico criado por um plano infinito
com uma distribuição superficial de carga σ
i. a partir dos resultados anteriores.
ii. usando a lei de Gauss.
s
3. Duas linhas infinitas encontram-se carregadas com densidades de carga λ e −λ (C/m). As linhas
são paralelas ao eixo dos zz e intersectam o plano xy nos pontos de coordenadas x = a, y = 0 e
x = −a, y = 0, respectivamente.
(a) Deduza uma expressão para o campo eléctrico num ponto situado sobre o eixo dos xx, d metros
afastado da origem.
(b) Mostre que, para d >> a, este campo tende para
λa
πε0 d2 .
(c) Calcule o trabalho realizado para transportar uma carga pontual de 2 × 10−8 C, desde infinito
até ao ponto P, de coordenadas (50a, 0, 0), sendo λ = 2, 5 × 10−4 C/m.
4. Considere uma lâmina plana infinita com uma densidade superficial de carga σ. Mostre que a lei
de Gauss é satisfeita no caso particular de uma superfı́cie esférica de raio R, quer esta seja ou não
intersectada pela lâmina.
5. Considere uma esfera de raio R que tem no seu interior uma
cavidade esférica de raio a. A distância entre o centro da esfera e
o centro da cavidade é c. A esfera tem uma distribuição uniforme
de carga de densidade ρ excepto no interior da cavidade, onde não
há cargas. Determine o campo no interior da cavidade. (Sugestão:
utilize o princı́pio da sobreposição).
R
c
a
6. Uma esfera de raio a, colocada no vazio, tem uma distribuição de carga eléctrica representada pela
seguinte densidade de carga
¶
µ
r2
ρ(r) = ρ0 1 − k 2 C/m3 , 0 ≤ r ≤ a ,
a
onde ρ0 e k designam constantes positivas e r é a distância ao centro da esfera.
(a) Calcule o campo eléctrico em todo o espaço.
(b) Verifique que, na região livre de cargas, o potencial eléctrico satisfaz a equação de Laplace.
(c) Determine o valor da constante k, para o qual o campo eléctrico se anula na região r > a e indique,
justificando, qual a carga total da esfera nestas condições.
(d) Faça um esboço do módulo do campo eléctrico, para o valor de k obtido em c).
7. Numa esfera de raio a existe uma distribuição de carga positiva caracterizada por uma densidade
espacial que varia linearmente com a distância r ao centro, de acordo com a expressão ρ = kr C/m3 ,
sendo k uma constante.
(a) Obtenha a expressão do campo eléctrico dentro e fora da esfera.
(b) Calcule o potencial no centro da esfera.
(c) Obtenha a energia electrostática associada à distribuição de cargas.
8. Uma esfera de raio R tem a carga +Q, distribuı́da de acordo com a densidade ρ(r) = A(R − r), para
R ≥ r ≥ 0 . A esfera está no interior de outra esfera, concêntrica com a primeira mas condutora, de
raio R1 = 2R.
(a) Determine A em função de R e Q.
(b) Calcule o campo eléctrico e o potencial em todo o espaço, no caso de a esfera condutora estar
electricamente neutra.
(c) Suponha agora que a esfera condutora é ligada à Terra. Determine:
i. As alterações no campo eléctrico e no potencial na região entre as duas esferas e fora delas.
ii. As alterações nas distribuições de carga. Calcule a densidade superficial de carga na esfera
condutora.
(d) A esfera condutora comporta-se como uma gaiola de Faraday, protegendo um corpo no seu interior
da influência de campos exteriores. Discuta a possibilidade de proteger um corpo exterior da
influência de campos gerados no interior da gaiola.
9. Resolvendo as equações locais do campo, determine o campo eléctrico criado por uma distribuição de
carga esfericamente simétrica, ρ(r) = kr (k constante), localizada na camada esférica com a < r < b.
10. O átomo de hidrogénio é constituı́do por um protão de carga +e (núcleo) e por um electrão de carga
−e. No estado fundamental, o electrão pode ser descrito por uma nuvem electrónica de densidade de
carga
A
ρ(r) = 3 e−2r/a0
a0
onde r é a distância ao núcleo, A é uma constante e a0 é o raio de Bohr (a0 = 0, 529 × 10−10 m).
Determine
Note que a densidade carga do electrão não cai abruptamente para zero para um dado valor de r e por isso
deverá ser tratada como estendendo-se até ∞.
(a) A constante A.
(b) O campo eléctrico criado pelo electrão para r = a0 .
R
(c) O campo eléctrico total (criado pelo electrão e pelo protão) para r = a0 .
³ 2
´
e−αr r2 dr = −e−αr rα + α2r2 + α23
11. O campo criado por um dipolo eléctrico, a uma distância r muito maior do que as dimensões do dipolo,
tem a forma E(r, θ) = rξ3 (2 cos θ êr + sin θ êθ ), com ξ constante, em coordenadas esféricas.
(a) Calcule ∇ · E e ∇ × E.
(b) Obtenha o fluxo através de uma superfı́cie fechada de raio r0 , centrada no dipolo,
que conclui?
H
S
E · dS. O
(c) Calcule o potencial por integração da equação E = −∇V .
12. Um filtro electrostático permite limpar o ar de partı́culas de poeira. Pode ser usado em unidades
industriais para reduzir a poluição do ar ou em aparelhos portáteis de uso doméstico, por pessoas com
problemas respiratórios. Um dado filtro tem um longo fio de densidade linear de carga λ. Considere
uma partı́cula esférica de poeira de raio a e permitividade relativa ²r , à distância r do fio. O campo
~ criado pelo fio induz um momento dipolar p~ na partı́cula de poeira que é dado por
eléctrico E
p~ =
4π²0 a3 (²r − 1) ~
E .
²r + 2
(a) Determine a energia da partı́cula de poeira na presença do campo eléctrico do fio.
(b) Mostre que a partı́cula fica sujeita a uma força radial que a atrai para o fio e determine a expressão
dessa força.
13. Um condensador plano ideal é constituı́do por duas placas condutoras paralelas de área A separadas
por uma distância d muito menor que a dimensão das placas, de tal forma que o efeito de bordos é
desprezável. O meio que separa as placas é um isolador perfeito de permitividade relativa ²r . Uma das
placas tem densidade superficial de carga σ e a outra tem densidade de carga −σ. Determine,
(a) O campo eléctrico em todo os espaço.
(b) A capacidade do condensador.
14. Um condensador plano real é caracterizado pela sua capacidade, pela tensão máxima que pode suportar
e pela resistência de fuga. A tensão máxima está associada à rigidez dieléctrica do meio, i.e., ao valor
do campo eléctrico a partir do qual o meio entre as placas se torna condutor, provocando uma descarga.
A resistência de fuga resulta da condutibilidade não nula do isolante. Na figura está representado o
circuito equivalente a um condensador real, constituı́do por um condensador ideal em paralelo com uma
resistência. Os condensadores de mica por ex., têm tensões máximas e resistências de fuga elevadas, mas
baixas capacidades. Os condensadores electrolı́ticos, pelo contrário, têm tensões máximas e resistência
de fuga baixas, mas capacidades muito elevadas.
Considere um condensador plano com área 0,1 m2 e distância entre as placas de 0,1 mm; o espaço
entre as placas está preenchido por um dieléctrico de permitividade relativa ²r = 5 e condutibilidade
σ = 10−9 S/m. A rigidez dieléctrica do meio é igual a 6 MV/m.
(a) Determine a capacidade do condensador.
(b) Determine a tensão máxima que se pode aplicar
entre as placas.
(c) Determine a resistência de fuga do condensador.
(d) Ignorou-se nas alı́neas anteriores o efeito de bordos, desprezando o campo eléctrico fora da região
entre as placas. Se esse efeito for considerado, a
capacidade será maior, menor ou igual à calculada? Justifique.
S
s
e
d
C
15. Dois condensadores planos, de igual capacidade C, ligados em paralelo, são carregados até ficarem
à tensão V1 e em seguida isolados da fonte. Um dieléctrico, de permitividade eléctrica εr , é então
introduzido num dos condensadores, preenchendo completamente o espaço entre as placas.
Calcule a carga livre transferida de um condensador para o outro e a diferença de potencial final V2
entre as placas dos condensadores em função de C, V1 e εr .
16. Um condensador esférico formado por dois condutores esféricos concêntricos, de raios a = 4 cm e
b = 5 cm, respectivamente, é carregado de modo a estabelecer uma diferença de potencial de 400
V entre as suas armaduras e em seguida é isolado da fonte. O espaço entre os condutores é então
preenchido com querosene vaporizado de permitividade eléctrica εr = 2, 5.
(a) Calcule o valor da diferença de potencial entre as armaduras no condensador contendo querosene.
(b) Determine a carga adquirida pelo condensador e indicar se esta carga é afectada quando se introduz
o dieléctrico.
(c) Determine a razão entre a capacidade final e a inicial.
17. Diga, justificando, qual das alı́neas completa correctamente a frase:
Na fronteira entre dois meios dieléctricos diferentes o campo electrostático é tal que localmente
(a) a componente tangencial é sempre contı́nua.
(b) a componente normal é sempre contı́nua.
(c) a componente tangencial local pode ser descontı́nua.
(d) as 2 componentes são sempre contı́nuas.
(e) a componente normal é sempre descontı́nua.
(f) a componente tangencial é sempre descontı́nua.
R
18. Um cabo coaxial é uma linha de transmissão usada frequentemente para estabelecer ligações entre
circuitos electrónicos, antenas, etc. O cabo, de comprimento L, é constituı́do por um fio metálico
de raio a, coaxial com uma pelı́cula metálica cilı́ndrica de raio b. Entre ambos há um dieléctrico de
permitividade relativa ²r . O cabo constitui um condensador cuja capacidade está distribuı́da ao longo
do seu comprimento. Aplica-se uma diferença potencial V entre os dois condutores.
~ E
~ e P~ em todo o espaço
(a) Calcule os campos D,
(considere que L >> b e despreze efeitos de bordos).
(b) Determine a capacidade do cabo por unidade de
comprimento.
L
(c) Determine a energia electrostática armazenada
no cabo.
a
b
(d) Calcule o trabalho necessário para remover o
dieléctrico, mantendo constante a d.d.p. entre
as armaduras.
(e) Calcule a grandeza da força exercida por unidade
de área sobre a superfı́cie do condutor interior.
Qual a direcção da força? Calcule a força total
exercida por unidade de comprimento do cabo.
19. Um cabo coaxial real tem correntes de fuga, devido à condutibilidade não nula do meio dieléctrico entre
os condutores. As correntes introduzem ruı́do e causam atenuação dos sinais transmitidos pelo cabo.
Considere um cabo coaxial com um condutor interior de raio a = 1 mm e um condutor exterior de raio
b = 4mm. Entre os dois condutores, o meio dielétrico tem uma condutibilidade que varia linearmente
com a distância ao eixo do cabo, r, de acordo com a expressão σ(r) = σb r/b, sendo σb = 10−7 S/m.
Considere um cabo de comprimento ` = 1 m e uma corrente de fuga If .
(a) Determine a densidade de corrente entre o condutor interior e exterior.
(b) Determine o campo eléctrico no dieléctrico e a diferença de potencial entre os dois condutores.
(c) Determine a resistência de fuga entre os dois condutores.
(d) Os neurónios do nosso sistema nervoso central são cabos coaxiais que transmitem impulsos nervosos, mas sem ruı́do, nem atenuação do sinal. Explique porquê.
20. Do ponto de vista eléctrico, a superfı́cie da Terra pode ser considerada um bom condutor. Possui uma
carga total Q0 e uma densidade superficial de carga σ0 . O raio da Terra é aproximadamente 6400 km.
(a) Numa situação de boas condições meteorológicas, existe um campo eléctrico E0 à superfı́cie da
Terra de valor igual a 150 V/m aproximadamente. Obtenha o valor da densidade superficial e a
carga total na superfı́cie da Terra.
(b) De acordo com o exposto na alı́nea anterior existe uma diferença de potencial de cerca de 250 V
entre o nı́vel do solo e o da cabeça de uma pessoa. Porque não sentimos um efeito semelhante
ao que sentiriamos se nos ligassemos a uma fonte de tensão de 250V? (Sugestão: uma pessoa
comporta-se como um condutor ligado à terra).
(c) Faça um esboço das superficies equipotenciais do campo eléctrico atmosférico na vizinhança de
uma pessoa. O que sucede quando a pessoa passa de uma posição vertical para horizontal?
(d) A intensidade do campo eléctrico diminui com a distância ao solo, sendo de cerca de 100V/m a
uma altura de 100 m. Calcule o valor médio da carga por m3 na camada atmosférica compreendida
entre a superfı́cie da Terra e a altitude de 100 m.
21. Os ossos do nosso esqueleto têm um comportamento piezoeléctrico, i.e. convertem uma pressão
mecânica sobre o osso numa diferença de potencial eléctrica. O esforço muscular cria uma tensão
no osso que origina uma diferença de potencial que, por sua vez, promove o depósito de cálcio, fortalecendo o osso. As pessoas com um braço partido não podem fazer exercı́cio, mas pode-se aplicar
externamente uma diferença de potencial adequada. O objectivo é criar um campo eléctrico dentro do
osso que promova o depósito de cálcio, facilitando a recuperação da fractura.
Suponha que se aplicam 50 V num braço com 75 mm de diâmetro
através de duas placas de condensador de 25 cm2 de área, envoltas
em material isolador de espessura di = 1, 5 mm (ver figura). O
E
e
diâmetro do osso é de 25 mm e a permitividades relativas são
²ri = 1, 5 para o material isolador, ²ro = 2 para o osso e ²rt = 4
para o tecido muscular. Supondo que o campo criado pelas placas
e
é aproximadamente uniforme,
+
+
+
+
+
d
r
o
d
(b) Faça uma estimativa da capacidade do condensador.
+
i
r
s
m
_
s
o
o
t
_
+
t
o
d
(a) Determine o campo eléctrico dentro do osso.
+
ú
_
s
_
c
u
_
l
_
o
_
~ é dado pelas seguintes expressões
22. Um campo de vectores E
~ = k r êr
E
3
~ = k a êr
E
r2
~ = 0
E
para
para
para
0<r<a
a<r<b
r>b
~ pode representar um campo eléctrico e, em caso afirmativo, determine a distribuição
(a) Verifique se E
de cargas que cria este campo.
(b) Calcule a energia electrostática armazenada nesta distribuição de cargas.
23. No microfone electrostático ilustrado na figura, uma onda de pressão sonora
desloca um diafragma numa direcção perpendicular à sua superfı́cie. O
diafragma é formado por uma fina membrana metálica sobreposta a um
dieléctrico flexı́vel de espessura a e permitividade ². A superfı́cie inferior
do dieléctrico foi bombardeada com iões que ficaram retidos na superfı́cie,
criando uma densidade superficial de carga uniforme σs . A superfı́cie inferior
está a uma distância variável, x(t), de uma grelha metálica fixa. A função
x(t) traduz a variação de pressão associada à onda sonora. A membrana
metálica superior está ligada directamente à terra (VM = 0) enquanto que
a grelha inferior está ligada à terra por uma pequena resistência (Vg =
0).Considere que o campo eléctrico é uniforme no dieléctrico e no ar.
o
m
e
m
b
n
r
d
a
n
e
a
x
+
(
t
+
+
+
+
+
a
s
a
o
m
e
+
+
e
l
h
a
t
r
á
l
+
a
r
o
a
i
c
a
1
+
)
g
n
m
e
t
+
+
+
+
+
+
á
r
l
i
c
a
f
i
x
a
~ 1 , e no ar, E
~ 0 , bem como o potencial V na superfı́cie
(a) Determine o campo eléctrico no dieléctrico, E
inferior do dieléctrico.
(b) Determine a carga na face superior da grelha de área A.
(c) Determine a corrente que circula na resistência se x(t) = x0 + b sin(ωt), com x0 >> b.
+