Velocidade e Limite - DM

lista de exercı́cios
velocidade e limite
Adilson E. Presoto
O texto base é as Seções 1 a 3 do Capı́tulo 2 de [1]
1. Se uma pedra for jogada para cima no planeta Marte com velocidade de 10 m/s, sua altura (em metros)
t segundos mais tarde é dada por y “ 10t ´ 1, 86t2 .
(a) Encontre a velocidade média entre os intervalos de tempo dados:
iq r1, 2s
ivq r1; 1, 01s
iiq r1; 1, 5s
vq r1; 1, 001s
iiiq r1; 1, 1s
(b) Estime a velocidade instantânea quando t “ 1.
2. Uma bola é atirada no ar na direção vertical para cima com velocidade de 10 m/s.
(a) Determine a sua altura em relação ao solo como uma função do tempo, t em segundos.
(b) Calcule a velocidade média no intervalo de tempo rt0 , t0 ` ∆ts.
(c) Encontre a velocidade instantânea no tempo t0 .
(d) Determine o instante de tempo t em que a bola atinge a altura máxima.
3. Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule
paq lim r3x ` 1s
xÑ1
pcq lim
peq lim rex ` 5s
pf q lim sen p2xq
xÑ2
4x2 ´ 1
xÑ1{2 2x ´ 1
pdq lim
?
3
pbq lim rx2 ` 1s
xÑ7
1`x
xÑ0
xÑln e
4. Os gráficos de f e g são dados. Use-os para calcular cada limite. Caso não exista, explique por quê.
paq lim rf pxq ` gpxqs
pbq lim rf pxq ` gpxqs
pcq lim rf pxqgpxqs
pdq lim
peq lim rx3 f pxqs
pf q lim
xÑ2
xÑ1
xÑ0
xÑ´1
xÑ2
xÑ1
f pxq
gpxq
a
3 ` f pxq
Figura 1: extraı́da da pág. 98 de [1]
5. Calcule os limites abaixo justificando com as Propriedades de Limites cada passagem
t4 ´ 2
´ 3t ` 2
ˆ
˙2
t2 ´ 2
pdq lim 3
tÑ2 t ´ 3t ` 5
paq lim p3x4 ` 2x2 ´ x ` 1q
pbq lim
tÑ´2 2t2
xÑ2
c
pcq lim
xÑ2
2x2 ` 1
3x ´ 2
1
6. Calcule os limites abaixo, se existir.
x2 ´ x ` 6
xÑ2
x´2
?
?
1`t´ 1´t
peq lim
tÑ0
t
paq lim
?
x2 ` x ` 6
xÑ2
x´2
9`h´3
hÑ0
h
?
4´ x
pgq lim
xÑ16 16x ´ x2
pbq lim
pcq lim
2x2 ` 3x ` 1
xÑ´1 x2 ´ 2x ´ 3
pf q lim
px ` hq3 ´ x3
hÑ0
h
ˆ
˙
1
1
phq lim
´
tÑ0
t
1 ` t2
pdq lim
7. Se rpxq é uma função racional, isto é,
rpxq “
ppxq
qpxq
onde ppxq “ an xn ` an´1 xn´1 ` . . . a1 x ` a0 qpxq “ bm xm ` bm´1 xm´1 ` . . . ` b1 x ` b0 são polinômios.
(a) Determine o domı́nio da função rpxq.
(b) Mostre que se a P Dom(r) então lim rpxq “ rpaq.
xÑa
8. Se lim
xÑ0
f pxq
“ 5, encontre os seguintes limites
x2
aq lim f pxq
bq lim
xÑ0
xÑ0
f pxq
x
9. Sejam f pxq e gpxq duas funções definidas em R tais que, para todo x P R, rgpxqs4 `rf pxqs4 “ 4. Calcule
e justifique os seguintes limites
a
3
paq lim x3 gpxq
pbq lim f pxq x2 ´ 9
xÑ0
xÑ3
10. Existe um número real a tal que
3x2 ` ax ` a ` 3
xÑ´2
x2 ` x ´ 2
exista? Caso exista, encontre a e o valor limite.
lim
Referências
[1] stewart, j., Cálculo, Vol. 1, 9a Edição, Pioneira, São Paulo, 2013.
[2] guidorizzi, h.l., Um Curso de Cálculo, Vol.1, 5a Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2001.
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