Apostila - Análise Combinatória

Disciplina: Matemática
Prof. Diego Lima
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1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Se um evento (ou fato) ocorre em n etapas consecutivas e independentes, de maneira que o número
de possibilidades na 1ª etapa é k1, na 2ª etapa é k2, na 3ª etapa é k3, ..., na n-ésima etapa é kn, então o
número total de possibilidades de ocorrer o referido evento é o produto:
k1 ⋅ k2 ⋅ k3 ⋅ ... ⋅ kn
Exemplos:
a) Quantos são os números de 4 algarismos que podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, ..., 8 e 9?
b) Quantos são os números de 4 algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, ..., 9?
c) Calcule o total de placas de automóvel, com 3 letras e 4 algarismos, que é possível fabricar com as 26 letras
do alfabeto e com os algarismos de 0 a 9.
d) Uma corrida é disputada por 5 pilotos: Sena, Rubinho, Toni, Massa e Nelsinho, que possuem números 1, 2,
3, 4 e 5, respectivamente. Sabendo que Rubinho nunca vence, quantos são os possíveis pódios?
2. FATORIAL
Sendo n∈» e n > 1 , definimos fatorial de n como o produto dos n números naturais consecutivos de
1 até n e indicamos por n! (lê-se fatorial de n ou n fatorial). De modo geral, podemos escrever:
n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ 1
Exemplos:
a) 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6
b) 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
c) Simplifique:
n! + (n + 1)!
(n + 2)!
d) Resolva a equação 12(n − 1)! = (n + 1)!
e) Resolva a equação
(n + 1)! − n! 2
=
(n + 1)! + n! 3
3. PERMUTAÇÃO SIMPLES
Dados n objetos distintos, uma permutação simples é uma ordenação desses elementos. O número
de permutações simples de n elementos distintos, denotado Pn, é dado por:
Pn = n!
Disciplina: Matemática
Prof. Diego Lima
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Exemplos:
a) Determine o número de anagramas da palavra AMOR.
b) Determine o número de anagramas da palavra VESTIBULAR que começam e terminam por vogal.
c) Quantos números naturais de 4 algarismos distintos podemos escrever, usando os algarismos 1, 3, 5 e 7?
d) Quantos anagramas da palavra PROBLEMAS:
- começam e terminam em vogal?
- começam e terminam em consoante?
- começam com vogal e terminam em consoante?
- contem as letras P, R e O juntas?
- contem as letras P, R e O juntas e nesta ordem?
4. ARRANJO SIMPLES
Dados n objetos distintos, um arranjo simples de n elementos tomados p a p é uma ordenação de p
elementos distintos escolhidos entre os n elementos sendo n e p números naturais com 1 ≤ p ≤ n .
Segue que, o número de arranjo simples de n elementos distintos tomados p a p, denotado An,p é
dado por:
n!
An ,p =
(n − p)!
Exemplos:
a) Calcule:
A6,3 + A5,4
A8,5
.
b) Calcule: An ,2 + An −1,2 = 32
c) Vários amigos combinaram passar o dia no clube. Planejaram ir para a piscina, fazer um churrasco, jogar
vôlei e tênis. Mas, como chegaram tarde, precisaram escolher 3 entre as 4 atividades. De quantas maneiras
diferentes poderiam programar essas atividades?
d) As placas dos automóveis são formadas por três letras seguidas de quatro dígitos. Quantas placas com
letras e números diferentes podem ser formadas? Considerar o alfabeto com 26 letras e números de 0 a 9.
e) Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existem?
5. COMBINAÇÃO SIMPLES
Dados n objetos distintos, uma combinação simples de n elementos tomados p a p é uma seleção de
p elementos distintos escolhidos entre os n elementos não importando a ordem da escolha sendo n e p
números naturais com 1 ≤ p ≤ n .
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Segue que, o número de combinação simples de n elementos distintos tomados p a p, denotado Cn,p é
dado por:
n!
Cn ,p =
p!(n − p)!
Exemplos:
a) Um técnico convocou 9 jogadores para um campeonato de vôlei. Para formar uma equipe inicial deve
escolher 5 jogadores. Quantas opções ele tem?
b) Um grupo de trabalho tem 12 professores do curso de informática e 12 professores do curso de
matemática. Quantas comissões de 8 professores podem ser formadas?
c) Um grupo de trabalho tem 12 professores do curso de informática e 12 professores do curso de
matemática. Quantas comissões de 8 professores podem ser formadas havendo 3 professores de
matemática?
d) De quantos modos é possível dividir 20 pessoas em um grupo de 12 e um grupo de 8 pessoas?
e) De quantos modos é possível dividir 20 pessoas em 2 grupos de 10 pessoas?
6. PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO (COM NEM TODOS OS ELEMENTOS DISTINTOS)
O número de permutações com repetição de n elementos sendo n1 iguais a a1, n2 iguais a a2, ..., nr
iguais a ar e n = n1 + n2 + ... + nr , é dado por:
Pnn1 ,n2 ,...,nr =
n!
n1 ! ⋅ n2 ! ⋅ ... ⋅ nr !
Exemplos:
a) Um time de futebol jogou 15 partidas em um campeonato. Venceu 7 jogos, perdeu 5 e empatou 3. De
quantos modos isto pode ter acontecido?
b) Quantos são os anagramas da palavra MAMBEMBE que começam por vogal?
c) Quantos números pares podemos obter permutando os algarismos do número 83.137.683?
d) Considere as letras da palavra MATEMÁTICA.
- Quantos anagramas é possível formar?
- Quantos começam com M e terminam em A?
- Quantos têm vogais juntas?