Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal
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1 Teoria dos Circuitos e Fundamentos de Electrónica Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Teresa Mendes de Almeida [email protected] DEEC Área Científica de Electrónica © T.M.Almeida ACElectrónica IST-DEECAbril de 2008 2 Matéria Grandezas sinusoidais características posição relativa diagrama temporal amplitude complexa diagrama vectorial aplicação aos componentes gerador de tensão e corrente resistência bobine condensador Impedância e Admitância © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica Generalização de Leis e Teoremas Regime forçado sinusoidal Representação complexa Potência Média Resposta em frequência Filtros passivos Lei de Ohm, KVL, KCL Divisores de tensão e corrente Teorema da Sobreposição Eq. Thévenin e Norton Método dos Nós Associação de impedâncias passa-baixo e passa-alto passa-banda e rejeita-banda Exemplos de aplicação TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 3 Grandeza sinusoidal Sinal sinusoidal (tensão ou corrente) caracterizado por 3 parâmetros amplitude → XM [V] ou [A] frequência ω = 2π f [rad / s] [Hz] fase na origem dos tempos → θ [rad] Gráfico temporal angular → ω linear → f representação gráfica em função do tempo escala horizontal tempo → t [s] fase → ωt [rad] Notação (encontrada nos livros) π π i ( t ) = 7 cos (10t + 45º ) → i ( t ) = 7 cos 10t + 45º = 7 cos 10t + = 7 cos (10t + 0, 785 ) 180º 4 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 4 Desfasagem Desfasagem (posição relativa entre 2 sinais) 2 sinais com mesma frequência e escritos da mesma forma (sin() ou cos()) x1 ( t ) = X M 1 cos (ωt + θ1 ) x2 ( t ) = X M 2 cos (ωt + θ 2 ) x1(t) está em avanço relativamente a x2 (t): x2(t) está em avanço relativamente a x1 (t): π x2 ( t ) = cos ωt + 4 x1 ( t ) = cos (ωt ) ∆θ12 = θ1-θ2 ∆θ 21 = θ2-θ1 x1(t) está em avanço -45º x2(t) está em avanço +45º ⇔ x1(t) está em atraso +45º ⇔ x2(t) está em atraso -45º Sinais em © T.M.Almeida fase: ∆θ12 = 0º oposição de fase: ∆θ12 = ± 180º IST-DEEC-ACElectrónica quadratura: TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal ∆θ12 = ± 90º Abril de 2008 5 Regime forçado sinusoidal Num circuito linear, se sinal do gerador é sinusoidal, como vão ser os sinais (tensões ou correntes) no circuito? vai existir transitório quando gerador é ligado extingue-se passado pouco tempo permanece apenas influência do sinal sinusoidal i (t ) = ? v ( t ) = VM cos(ωt + θ v ) Se i(t) for a corrente numa resistência, bobine ou num condensador, como é a sua forma de onda? vR ( t ) = R × iR ( t ) Resistência i ( t ) = I M cos (ωt + θ I ) di ( t ) → sinusoidal Bobine vL ( t ) = L × L Condensador dt © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica iC ( t ) = C × → mesma frequência dvC ( t ) dt IM = ? TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal θI = ? Abril de 2008 6 Regime forçado sinusoidal Como calcular a corrente i(t) do circuito? KVL Lei Ohm relação entre vL(t) e iL(t) −v ( t ) + R × i ( t ) + L di ( t ) =0 dt ⇔ L di ( t ) + R × i ( t ) = VM cos (ωt ) dt resolvendo a equação diferencial obtém-se a solução i (t ) = v ( t ) = VM cos (ωt ) VM 2 R + (ω L ) 2 ωL cos ωt − tan −1 R [ A] para analisar um circuito simples (só 1 malha!) é preciso resolver uma equação diferencial?!... comparar com a análise de circuito resistivo semelhante (2 resistências)... Como analisar o circuito sem ser necessário resolver equações diferenciais/integrais? © T.M.Almeida utilizar o conceito de amplitude complexa → resolver equações algébricas IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 7 Amplitude complexa (phasor) Representação complexa correspondente a sinal sinusoidal e jφ = cos (φ ) + j sin (φ ) baseia-se na equação de Euler x ( t ) = X M cos (ωt + θ ) para um sinal sinusoidal real pode obter-se uma equivalência directa XMe j (ωt +θ ) = X M cos (ωt + θ ) + jX M sin (ωt + θ ) ⇒ 1442443 j ωt +θ x ( t ) = Re X M e ( ) x( t ) em regime forçado sinusoidal todos sinais têm mesma frequência (ω) não se considera a informação da frequência apenas se considera a informação da amplitude (XM) e da fase na origem dos tempos (θ) x ( t ) = X M cos (ωt + θ ) © T.M.Almeida ↔ X = X M e jθ = X M ∠θ = X M cos (θ ) + jX M sin (θ ) atenção à forma como é feita descrição do sinal no domínio do tempo! cos( ) XM>0 e se estiver escrito de outra forma? v ( t ) = 2sin ( 200t + π 3) → v ( t ) = 2 cos ( 200t + π 3 − π 2 ) = 2 cos ( 200t − π 6 ) IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal 8 Exemplos de aplicação Determinar a frequência e a desfasagem entre as tensões v1(t) = 12cos(377t-425º) V v2(t) = 18sin(2513t+4,2º) V Converter fasores para domínio do tempo v1(t) = 12sin(100t+60º) V v2(t) = -6cos(1000t+30º) Determinar as amplitudes complexas V1 e V2 Abril de 2008 V1=10∠20º V V2=12 ∠-60º V Calcular fasores e desfasagem entre as várias correntes © T.M.Almeida i1(t)=2sin(377t+45º) A i3(t)=-0,25sin(377t+60º) A IST-DEEC-ACElectrónica i2(t)=0,5cos(377t+10º) A i4(t)=sin(377t) A TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 9 Analisar circuitos com amplitudes complexas Analisar circuitos usando amplitudes complexas transformar sinais do domínio do tempo para amplitudes complexas analisar circuito resolvendo equações algébricas (com números complexos) transformar amplitude complexa do resultado para o domínio do tempo Gerador de Tensão Gerador de Corrente Resistência → generalização da Lei de Ohm v ( t ) = VM cos (ωt + θ v ) IST-DEEC-ACElectrónica i ( t ) = I M cos (ωt + θi ) ↔ I = I M ∠θi θv = θi i ( t ) = I M cos (ωt + θi ) © T.M.Almeida v ( t ) = VM cos (ωt + θ v ) ↔ V = VM ∠θ v R= V = R× I V VM j (θv −θi ) VM e = = IM I IM TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 10 Analisar circuitos com amplitudes complexas Propriedades x ( t ) = X M cos (ωt + θ ) ↔ d x (t ) ↔ dt a1 x1 ( t ) + a2 x2 ( t ) ↔ a1 X 1 + a2 X 2 Bobine tensão está em avanço θv − θi = 90º X = X M ∠θ jω × X V = jω L × I Condensador © T.M.Almeida corrente está em avanço IST-DEEC-ACElectrónica θi − θ v = 90º I = jωC × V TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 11 Exemplos de aplicação A corrente numa resistência de 4Ω Ω é I=12∠ ∠60º A. Se a frequência da corrente é 4kHz, como é a tensão aos terminais da resistência, v(t)? A corrente numa bobine (L=0,05H) é I=4 ∠-30º A. Se a frequência da corrente é 50Hz, como é a tensão aos terminais da bobine , v(t)? Calcular a corrente na bobine (i(t) e I) quando a tensão aos seus terminais é: © T.M.Almeida v1(t)=10cos(314t+45º) V V2=-j5 V f=50Hz IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 12 Impedância e Admitância Impedância – Z quociente entre amplitudes complexas da tensão e da corrente definida como anteriormente foi definida a resistência [Ω] Z= V I Z = R + jX R – componente resistiva (resistência) X – componente reactiva (reactância) X>0 reactância do tipo indutivo X<0 reactância do tipo capacitivo X=0 → Z=R impedância é óhmica pura R=0 → Z=jX impedância é reactiva pura Z= VM ∠θ v VM = ∠ (θ v − θi ) I M ∠θi I M Admitância – Y © T.M.Almeida inverso da impedância G – condutância B – susceptância IST-DEEC-ACElectrónica Y= 1 Z Y = G + jB G + jB = 1 R − jX = 2 R + jX R + X 2 TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 13 Generalização de Leis e Teoremas Lei de Ohm pode ser generalizada Resistência Bobine Condensador ZR = R ZL = jωL ZC = 1/(jωC) = - j/(ωC) V = Z×I Generalização das Leis e Teoremas leis e teoremas usados na análise de circuitos resistivos lineares com fontes DC podem ser generalizados Ie = I s ∑k Vk = 0 Leis de Kirchhoff (KCL e KVL) e s Divisores de tensão e corrente Método dos Nós ZTh VTh = VOC Equivalente de Thévenin ZTh I N = I SC Equivalente de Norton Teorema da Sobreposição … ∑ © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica ∑ TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 14 Exemplo de aplicação Como calcular a corrente i(t) do circuito? v ( t ) = VM cos (ωt ) calcular a amplitude complexa do gerador de tensão passar a informação para domínio da frequência v ( t ) = VM cos (ωt ) → V = VM ∠0º = VM KVL no sentido horário −V + Z R I + Z L I = 0 ⇔ I = ⇔ VM I= R 2 + (ω L ) 2 V ZR + ZL ⇔ I= VM R + jω L ωL ∠ − tan −1 R passar resultado para o domínio do tempo i (t ) = © T.M.Almeida I =? VM R 2 + (ω L ) IST-DEEC-ACElectrónica 2 ωL cos ωt − tan −1 R TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal ⇔ Resolução de equação algébrica em vez de equação diferencial Abril de 2008 15 Associação de Impedâncias Impedâncias associam-se como as resistências Associação em série impedâncias em série somam-se Z S = Z1 + Z 2 + L + Z N Associação em paralelo 1 1 1 1 = + +L+ Z P Z1 Z 2 ZN admitâncias em paralelo somam-se YP = Y1 + Y2 + L + YN Exemplos f = 50 Hz Z R = R = 25 Ω Z L = jω L = 6, 28 Ω 1 = − j 63, 66 Ω jωC Z S = Z R + Z L + ZC ZC = Z S = 25 − j 57,38 Ω © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica Z eq = Z1 + Z 2 // ( Z 3 + Z 4 ) TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 16 Exemplos de aplicação Calcular a impedância/admitância equivalente f=50Hz f=400Hz f=50Hz © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 17 Exemplos de aplicação Calcular i(t), vR(t) e vC(t) vs(t)=2cos(100t) V Calcular quanto vale L para que corrente esteja em fase com o sinal do gerador de tensão Calcular iC(t), iR(t) e vo(t) f=50Hz IS=1A Calcular i(t), iC(t) e vR(t) Verificar KCL no nó superior © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 18 Potência Média Potência instantânea p (t ) = v (t ) × i (t ) = 1 V I p ( t ) dt = M M cos (θ v − θi ) ∫ TT 2 v ( t ) = VM cos (ωt + θ v ) dissipa energia + P= VM I M cos (θ v − θi ) 2 P = Vef I ef cos (θ v − θ i ) Resistência VM I M cos (θ v − θi ) + cos ( 2ωt + θ v + θi ) 2 Potência média (potência activa) P= i ( t ) = I M cos (ωt + θi ) θv = θi ⇒ PR = I V − V2 VM I M = Vef I ef = R I ef2 = ef 2 R Bobine ou Condensador © T.M.Almeida θ v − θi = ±90º ⇒ PC = PL = 0 potência média é nula em parte do período armazena energia e no restante tempo liberta energia não há dissipação de energia IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 Exemplos de aplicação Calcular vo(t) e VO Calcular v(t) e V Calcular vo(t) Qual a potência dissipada nas resistências? © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Variação da impedância com a frequência 19 Abril de 2008 20 Resistência – a impedância não varia com a frequência ZR = R∠0º=R Bobine e Condensador – a impedância varia com a frequência ZL = jωL ZL = ωL∠90º ZC = 1/(jωC) ZC = 1/(ωC) ∠-90º © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 21 Variação da impedância com a frequência Como varia Zeq em função da frequência? Z eq = Z R + Z L + Z C 1 Z eq = R + j ω L − ωC Z eq 1 − ω 2 LC = R + ωC 1 ωmin = LC 2 2 1 − ω 2 LC ∠ ( Z eq ) = − tan ω RC −1 Os parâmetros do circuito reactivo variam com a frequência do sinal sinusoidal do gerador A resposta do circuito vai depender da frequência do sinal É preciso estudar a resposta em frequência do circuito © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 22 Resposta em frequência ZR Vs Z R + ( ZC + Z L ) Vo ZR = Vs Z R + ( Z C + Z L ) Exemplo Vo = Escalas logarítmicas Vo = Vs 1 Vo = Vs 10-1 10-2 10-3 ω1 ω2 (rad/s) 1 1 − ω 2 LC 1+ ω RC R 1 R + j ωL − ωC 2 vs (t ) = 10 cos (ω1t + 0º ) V vo (t ) = 10 cos (ω1t + 0º ) V vs (t ) = 10 cos (ω2t + 0º ) V V ∠ o Vs 2 −1 1 − ω LC = tan ω RC π vo (t ) = 7 cos ω2t − 50º V 180º ω1 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica ω2 (rad/s) TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 23 Filtros Passa-baixo e Passa-alto Usar a dependência da frequência para filtrar sinais de acordo com um determinado critério Filtro passa-baixo Filtro passa-alto deixa passar sinais de baixa frequência atenua (elimina) sinais de alta frequência deixa passar sinais de alta frequência atenua (elimina) sinais de baixa frequência Medição do módulo em dB dB © T.M.Almeida dB = deciBel 1/10 Bel Vo Vi = 20 log dB 0.01 0.1 1 2 1 2 1 −40 −20 −6 −3 0 2 3 Vo Vi ω0 – frequência de corte a -3dB 2 10 100 6 20 40 −3dB ⇔ 1 ≈ 0, 707 2 (½ potência) IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 24 Filtros Passa-baixo e Passa-alto Filtro Passa-baixo ZR = R ZC = 1 jωC -20dB/déc τ = RC Vo ZC 1 1 = = = V1 Z R + Z C 1 + jω RC 1 + jωτ Filtro Passa-alto +20dB/déc Vo ZR jω RC jωτ = = = V1 Z R + Z C 1 + jω RC 1 + jωτ © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica Vo Vi = 20 log dB Vo Vi TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008 Filtros Passa-banda e Rejeita-banda Filtro Passa-banda deixa passar uma banda de frequências ω0 – frequência central ωLO, ωHI – limites da banda de passagem (ωHI -ωLO) Vo ZR = = V1 Z R + ( Z L + Z C ) 25 R 1 R + j ωL − ωC Filtro Rejeita-banda rejeita uma banda de frequência (ωHI -ωLO) Vo Z L + ZC = V1 Z R + ( Z L + Z C ) © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica 1 j ωL − ωC = 1 R + j ωL − ωC TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Exemplos de aplicação Abril de 2008 26 Qual a impedância equivalente de Thévenin vista pelo gerador de entrada? Qual a resposta em frequência (módulo e fase)? Qual o tipo de filtragem realizada pelo circuito? Ajuda para simplificar os cálculos © T.M.Almeida quando circuitos são mais complexos considerar variável s = jω → ZL=sL ZC=1/(sC) fazer cálculos com variável s no fim substituir s por jω IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal Abril de 2008
