ALGUNS-EXERCÍCIOS-RESOLVIDOS

TURMAS: Terceiros, Extensivos e SEMI
MAT. BÁSICA - ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
(Resolução dos exercícios mais desafiadores dos capítulos 01 e 02)
Prof. Lafayette
11.
a a 1 a 1 a 1 

1

1
a1  a 2  a 4  a
1 1 1
1  
2 4 8
a
a

1
8

8 4  2 1
8
1
 a8  8 a
12.
Como estão, os números não estão facilmente comparáveis. Vamos usar a ideia de “dessimplificar” a raiz, ou seja, passar para dentro da raiz números que estão fora. Assim:
a b  a2  b
Daí,
2 3
22  3  4 12
3 2
32  2  4 18
2  4 16
Por isso,
13.
a)
3 2 >2>
2 3
3
24 2 
34
24  43 23 
12
24  12 23 
12
243  12 27
b)
3
16

4
32
12

12
34
164
43
323
2 
2 
4 4
5 3


12
164
12
323
12
216
12
15
 12 21615
2
 12 2
14.
Lembrando, 0, 66666..... 
6 2

9 3
Outra forma seria:
x  0, 66666.....
10 x  6, 6666....
Montando um “sistema” e subtraindo:
10 x  6, 6666....

 x  0, 66666.....
9x  6
6 2
x  
9 3
Assim, a expressão pedida é:
80,666...  90,5 
2
1
83  9 2 
 8
3
2
 9
22  3 
43 1
18.
 25 106  0, 000075   5  3 1,5 
3
:

4
10

  10 
Lembrando:

75
 75 106
1000000
(Um zero no denominador para cada casa após a vírgula)
0, 000075 

Como a maioria dos termos já está dentro de uma raiz cúbica podemos “deslocar” os
termos faltantes para dentro da raiz.

Este tipo de exercício não devemos ter pressa para efetuar os cálculos, pelo contrário:
devemos carregar os termos adiante buscando cancelamentos.
Assim,
 25 106  75 106
3
10

  3 53 1,5 
 :  3 12  
  10 
3
25  75 1012
1012
3 3

10
5 1,5
3
25  75 1012 1012
10 125 1,5
Agora começamos os cortes e simplificações:
25  75 101212
3
(15)
75
15

3
 3 1 1
(5)
10 1,5
10  5 1,5
10  125 1,5
3
20.
Vamos adotar a referência t = 0 no ano de 1990.
Então, para t = 0, temos P = 300.
Assim,
P(t )  k  20,05t
P(0)  k  20  300  k
Em seguida, queremos calcular a população em 2000, ou seja, t = 10.
P(t )  300  20,05t
P(10)  300  20,0510
P(10)  300  20,5
P(10)  300  2  300 1, 41  423
22.
90,333....
Lembremos que 0,3333.... 
3 1

9 3
Obedecendo à regra: um nove no denominador para cada casa do período (parte que se
repete). Para outra forma de fazer isso, veja a solução do exercício 14.
Então,
0,333....
9
1
1
 1 3
9
93
1

3 2
3
9

1
3
Racionalizando o denominador:
1
3

32
3
1
3
3 33

3
3
3
32
25.
2 1
2 1


2 1
2 1
Racionalizando cada um dos denominadores em separado:
2 1 2 1
2 1 2 1




2  1 2 1
2 1 2 1

 
2 1
2
2
2  12

2 1
2
2
2  12
2

2
2  2 2 1
2  2 2 1

2 1
2 1
Agora fique atento a um detalhe: o sinal de “ – “ se aplica a TODA a segunda fração – motivo
pelo qual devemos tratar o segundo termo como se estivesse em parêntesis:


3 2 2  3 2 2 
3 2 2 3 2 2 
4 2
27-b:
Trata-se de um exercício bastante desafiador. Inicialmente devemos notar a sequência que
ocorre no denominador, com números sucessivos. Estendendo-a um pouco temos:
1
1
1
1
1
S 


 .... 
1
2 1
3 2
4 3
100  99
Vamos racionalizar termo-a-termo e observar o que ocorre:
1
2 1

 2 1
2  1 2 1
1
3 2

 3 2
3 2 3 2
1
4 3

 4 3
4 3 4 3
Analogamente podemos esperar:
1
 5 4,e
5 4
1
 100  99
100  99
(Não pule esta etapa! É necessário fazer as racionalizações de uma por uma e entender o
padrão.)
Substituindo na soma S,
1
1
1
1
1
S 


 .... 
1
2 1
3 2
4 3
100  99
1
S1
2 1
3 2
2 1 3 
4 3
2  4 3  5 
100  99
4  ....  100  99
S  100  10
A sequência de cancelamentos pode ser assim entendida: o segundo termo de cada fração
cancela com o primeiro termo da fração anterior. Por isso, só o sqrt(100) não cancela com
ninguém.
30.
3
7
  7
13   7

13 
5  2 13
5  3 13
5 3
5 3
105  9 65  14 65  78

 
2
7 5
 3 13

2

183  23 65 183  23 65

49  5  9 13
128
31.
Nesta racionalização de denominadores usaremos o produto notável  a  b  a  b   a2  b2
Como há três raízes no denominador, vamos agrupar duas delas como um único número,
representando o “b” da fórmula. Assim,
30

5 3 2
5

30
3

2 5 
5


2
3 2
3
fator de racionalização
150  90  60
2
5 

3 2

2

150  90  60
5

2
3 2 6 2
2


5 6  3 10  2 15

53 2 6  2
5 6  3 10  2 15 2 6


2 6
2 6
60  6 60  4 90

24
60  12 15  12 10
24
Simplificando numerador e denominador por 12, e distribuindo o sinal negativo:
5  15  10
2
32.
2
 
  23
3
2 3 


 1
  1
2
 23
33
2






3
3
33 2
33 2


1
1
 3 36 
 3 36 
 1
1  
1
 3
 3 2  3 2  3
  36 
3
3

2


2
3


Efetuando o m.m.c:
 3 32  3 2 2  
1
 3


 36 
 3 22  3 32   3 3  3 2 


Observe a diferença de dois quadrados na parte superior:







3

3
3  3 2  3 36
3

3

  3 36 
3
3
3  2 
1

36
1
3

33 2  

  
3 2 3 2
2  3
 

3 3 2
1
3  3 2  33  2 3
40.
Segue exatamente o mesmo padrão do ex. 27-b, resolvido acima!
46.
Trata-se de um conhecido truque de vestibulares. Vamos partir da soma, dada pelo exercício:
x y 4
Elevando ambos os lados ao quadrado:
 x  y
2
 42
x 2  2 xy  y 2  16
5
x  2  5  y 2  16
2
x2  y 2  6
47. Parecido com o anterior. Veja:
 x 2  y 2  65  x 2  y 2  65


 xy  28
2 xy  56
Somando:
x 2  2 xy  y 2  65  56
 x  y
2
 121
 x  y
2
 121
x  y  11
56. Devemos lembrar da fatoração
a2  b2   a  b  a  b 
E aplicá-la ao caso abaixo:
 579.865   579.863
2
2

 579.865  579.863 579.865  579.863 
 579.865  579.863 579.865  579.863 
1.159.728  2 
2.319.456
57. Chamemos àquilo que procuramos de x, assim,
x  a bc
Elevando ao quadrado:
x2   a  b  c 
2
x 2  a 2  b2  c 2  2ab  2ac  2bc
Que, aliás, é um belo produto notável, caso você ainda não o conheça:
a  b  c
2
 a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc
Observemos agora a expressão encontrada:
x 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc
d2
S
x  6  108
2
2
x 2  144  x  12
Assim, a + b + c = 12.
60.
Observe isso:
1155 = 1156 – 1
1157 = 1156 + 1
Forçando o aparecimento de um produto notável:
E 2  1  1155 1157
E 2  1  1156  11156  1
E 2  1  11562  12
E 2  11562  1156
Portanto, E  1156  34