Matemática B - CEM • Centro de Estudos Matemáticos

UFSC – Parte 2
Prof. BAIANO
UFSC 2012
01.
Se f : é a função definida por f( x ) = sen x , então f(10) >0 .
Resolução:
1 rad ≅ 600
10 rad ≅ 6000
+
+
-
-
INCORRETO
6000
3600
2400
1
UFSC 2012
04.
Na Figura 1, a reta r é tangente à circunferência λ, de centro no ponto O(0,0)
e raio 1. Para α = π/6 rad as coordenadas do ponto P são (2/√3, 0) .
Resolução:
Cos α = 1 / OP
Cos 300 = 1 / OP
√3/2 = 1 / OP
OP = 2/√3
CORRETO
UFSC 2012
08.
O valor numérico da expressão cos36o + cos72o + cos108o + cos144o é
zero.
Resolução:
Cos 360 = - Cos 1440
Cos 720 = - Cos 1080
CORRETO
UFSC 2012
02. O sistema
é possível e indeterminado.
(-3)
Resolução:
0.x + 0.y + 0.z = -3
SISTEMA IMPOSSÍVEL – S.I.
INCORRETO
UFSC 2012
01.
O sistema
é impossível quando a = 1.
Resolução:
0.x + 0.y = 0
SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO – S.P.I.
INCORRETO
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Página 15 –
28.( ) Supondo que uma partícula tem o deslocamento dado pela
equação s(t) = 5.cos(π.t + π/2), em que t está em segundos e s em
metros, então essa função tem período de 2 segundos e seu
conjunto imagem é Im = [- 1, 1]
Resolução:
P = 2π/|m |
P = 2π/| π |
P= 2
Im = [ a – b, a + b]
Im = [ 0 – 5, 0 + 5]
Im = [ -5, 5]
INCORRETO
SENINHO E COSSENINHO
EU NÃO TENHO CULPA, DE FAZER CURSINHO, TÔ ESTUDANDO PRO
VESTIBULAR
TRIGONOMETRIA, BEM DO SEU JEITINHO, VOCÊ VAI VER NÃO PRECISA
NEM ESTUDAR
QUER SABER O QUE EU VOU LHE ENSINAR, SENO E COSSENO VOCÊ
VAI AMAR
OS DOIS, TEM DOMÍNIO MEU DOCINHO, É REAIS VOCÊ VAI GOSTAR
E TEM A IMAGEM UAI, É BOM DEMAIS, NÃO TEM COMO EU ERRAR
VAI DE a – b até a + b É MACETE NÃO PRECISA NEM PROVAR
E TEM O PERÍODO UAI, É BOM DEMAIS, NÃO TEM COMO EU ERRAR
É 2π SOBRE
m , O QUE O m FAZ, O
x ELE VAI MULTIPLICAR
PAR, PAR, TODA FUNÇÃO COSSENO É PAR
IMPÁR, IMPÁR, QUANDO A FUNÇÃO FOR SENO ELA É ÍMPAR
UFSC 2011
Página 15 –
29.( ) A equação sen 2x + cos x = 0, admite 4 soluções no intervalo
[0, 3π]
Resolução:
2.sen x + 1 = 0
sen x = -1/2
sen 2x + cos x = 0
2.sen x.cos x + cos x = 0
2 soluções
cos x.(2.sen x + 1) = 0
cos x = 0
b
3 soluções
INCORRETO
a
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Página 15 –
3π
25.( ) Sabendo que tgx = 5 e que π < x < 2 , então cosx = 26
26
.
Resolução:
Dica: perceba que o intervalo correspondente, pertence ao 3° quadrante, onde os
valores de cosseno são negativos, logo a questão já estaria errada.
Resolvendo a questão, monte um triângulo retângulo, sabendo que tgx=5.
h
5
x
1
h² = 5² +1²
h² = 26
h = 26
26 = 26 = − 26
cos x = CA = 1 .
26
h
26 26 26
Como cosseno no 3° quadrante é negativo.
INCORRETO
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Página 15 –
24.( ) Se os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética, então
o valor numérico do cosseno do maior ângulo agudo é 3 .
5
Resolução:
5k
É aquele que está oposto ao
maior cateto.
α 3k
cosα = CA = 3k = 3
h 5k
5
4k
CORRETO
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Página 18 –
x+ y + z =1
16.( ) O sistema linear 3x + 3y + 3z = 3 é possível e indeterminado.
5x + 5y + 5z = 9







x + y + z = 1 .(-5)
3x + 3y + 3z = 3
5x + 5y + 5z = 9







0.X + 0.Y + 0.Z = 4
S.I. S.P.D
S.P.I
INCORRETO
TÁ na HORA , TÁ na HORA
Tá na hora , tá na hora
De sistemas estudar
No S.P.D não vai dar zero
Se for S.P.D
S.P.I. Todos vão dar
Uma solução eu vou achar
No S.I. só o principal,
Mas se for S.P.I
Infainite vai dar
ninguém consegue calcular
E se for o S.I.
S.P.D. , S.P.I.
ÔH , ÔH , ÔH
Ninguém consegue calcular
S.P.D. ,
S.P.I.
3X
3X
ÔH , ÔH , ÔH
Se você for bem tanso você vai se
confundir
Se você for bem tanso você
vai se confundir
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Página 18 –
t
t t
(
AB
)
=
A
B
04. Para duas matrizes A e B de mesma ordem, vale sempre:
Resolução:
( AB) t = At B t
Obs. : (AB)t = B t A t
INCORRETO
UFSC 2008
As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplificadamente, pela
função seno. Suponhamos que, para uma determinada maré, a altura h, medida em
metros, acima do nível médio, seja dada, aproximadamente, pela fórmula h(t) = 8 +
4sen(π.t/12), em que t é o tempo medido em horas. Assinale a(s) proposição(ões)
CORRETA(S).
01. O valor mínimo atingido pela maré baixa é 8 m.
02. O momento do dia em que ocorre a maré baixa é às 12 h.
04. O período de variação da altura da maré é de 24 h.
08. O período do dia em que um navio de 10 m de calado (altura necessária de água
para que o navio flutue livremente) pode permanecer nesta região é entre 2 e 10
horas.
UFSC 2008
04. O período de variação da altura da maré é de 24 h.
Resolução:
Função: h(t) = 8 + 4sen(π.t/12)
2π
P=
| m|
P=
2π
π
12
P = 2 π.
12
π
P = 24
CORRETO
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01. O valor mínimo atingido pela maré baixa é 8 m.
Resolução:
Função: h(t) = 8 + 4sen(π.t/12)
INCORRETO
Valor mínimo: h = 8 + 4.(-1) = 4
02. O momento do dia em que ocorre a maré baixa é às 12 h.
Resolução:
eixo máximo
12
8
eixo médio
4
eixo mínimo
0
6
12
18
24
Período
INCORRETO
UFSC 2008
08. O período do dia em que um navio de 10 m de calado (altura necessária de água
para que o navio flutue livremente) pode permanecer nesta região é entre 2 e 10
horas.
Resolução:
h(t) = 8 + 4.sen(π.t/12 )
5π/6
10 = 8 + 4.sen(π.t/12 )
2 = 4.sen(π.t/12 )
1/2 = sen(π.t/12 )
π.t/12 = π/6
t=2
π.t/12 = 5π/6
t = 10
+
+
-
-
π/6
CORRETO
Gabarito: 12
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0
Considere as matrizes: A = y
1
x 1
-1 0
z 0
-1
,B=
y
1
7 2
1
0 e C = - 6 3 , onde x, y e z
2 z
x
variam no conjunto dos números reais.
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
64
01. Para z=0 existe uma matriz X, cuja soma dos elementos é 7, tal que C . X = - 69
20
02. A matriz A admite inversa se e somente se yz ≠ −1.
1 y
04. A matriz transposta de B é Bt = x 0
08. Se A.B = C, então x + y + z = 5
-1
1 .
UFSC 2008
64
01. Para z=0 existe uma matriz X, cuja soma dos elementos é 7, tal que C . X = - 69
20
Resolução:
7 2
-6 3
2 z
C=
7.x+2.y
64
- 69
20
C . X =
3x2
2x1
-6.x+3.y
=
2.x+0.y
64
- 69
20
-6.(10)+3.(-3) = -69
- 60 – 9 = -69
- 69 = -69
OK!
3x1
7 2
-6 3
2 0
C=
X=
x
y
2.x = 20
7 2
-6 3
2 0
x
y
=
64
- 69
20
x = 10
X=
7.x+2.y = 64
10
-3
7.(10)+2.y = 64
2.y = -6
y = -3
CORRETO
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02. A matriz A admite inversa se e somente se yz ≠ −1.
Resolução:
A=
0
y
1
x 1
-1 0
z 0
Uma matriz admite inversa se, e somente se o
determinante é diferente de zero.
0 x
y -1
1 z
0 x
y -1
1
0
0
1
0
≠0
0 + yz
+0 -0 -0 +1 ≠0
yz ≠ -1
CORRETO
UFSC 2008
1 y
t
04. A matriz transposta de B é B =
x 0
Resolução:
-1
B=
y
1
1
0
x
Bt =
-1
1
-1
1
.
y 1
0 x
Matriz Transposta: Quem é linha vira coluna
e quem é coluna vira linha
INCORRETO
UFSC 2008
08. Se A.B = C, então x + y + z = 5.
Resolução:
A=
0
y
1
x 1
-1 0
z 0
0
y
1
-1
x 1
-1 0
z 0
y
1
3x3
-1
B=
C=
y
1
1
0
x
7 2
-6 3
2 z
1
0
x
3x2
0.(-1)+x.y+1.1
=
7 2
-6 3
2 z
1.(-1)+z.y+0.1
1.1+z.0+0.x
-2y
y
-1+z.y
1
z=1
0.1+x.0+1.x
y.1+(-1).0+0.x
x
y=3
3x2
y.(-1)+(-1).y+0.1
x.y+1
x=2
=
7 2
-6 3
2 z
=
7 2
-6 3
2 z
x+y+z = 6
INCORRETO
Gabarito:
03
UFSC 2007
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01.Se 0≤x<2π, então as raízes da equação cos2x - sen2x = -1 são 0 e π.
04. Quando Eugênio entrou em sua sala de aula, havia o seguinte problema no quadro-negro: “Numa
indústria deseja-se construir uma rampa com inclinação de θ graus para vencer um desnível de 4m. Qual
será o comprimento da rampa?” Mas, o
professor já havia apagado os valores de sen θ e cos θ, restando apenas tg θ =√2/5. Eugênio usou seus
conhecimentos de trigonometria e determinou que o comprimento da rampa é m.
08. A figura a seguir mostra parte do gráfico da função f, de R em R, dada por
FIGURA
f(x) = 2sen(x/4).
16. A figura a seguir representa o desenho de uma casa em construção. A telha que vai ser usada nessa construção
necessita de um ângulo de inclinação de 30° para o telhado. Portanto, a altura x do telhado para se obter a
inclinação desejada é de
4metros.
3
3
x
30o
8m
UFSC 2007 – PÁGINA 13
15.( ) Se 0≤x<2π, então as raízes da equação cos2x - sen2x = -1 são 0 e π.
Resolução:
cos2 x – sen2 x = -1
π/2
(1-sen2 x) – sen2 x = -1
1 - 2sen2 x = -1
2sen2 x = 2
sen2 x = 1
sen x = ±1
OBS: A questão poderia ser resolvida usando a fórmula do
arco duplo do cosseno: cos 2x = cos2 x – sen2 x
3π/2
INCORRETO
UFSC 2007 – Página 14
17.( ) Quando Eugênio entrou em sua sala de aula, havia o seguinte problema no
quadro-negro: “Numa indústria deseja-se construir uma rampa com inclinação de θ
graus para vencer um desnível de 4m. Qual será o comprimento da rampa?” Mas, o
professor já havia apagado os valores de sen θ e cos θ, restando apenas tg θ =√2/5.
Eugênio usou seus conhecimentos de trigonometria e determinou que o
comprimento da rampa é 10√2 m.
Resolução:
cat.op.
S
O comprimento da
tg
θ
=
O
cat.adj.
rampa é a hipotenusa do
y
H
C
triângulo. A hipotenusa é
4
A
2 4
sempre o maior lado.
=
H
θ
5 x
Como um dos catetos já
T
O
x
mede 10√2 a hipotenusa
A
20
não pode ser 10√2.
x=
2
2
tgθ =
5
x = 10 2
INCORRETO
UFSC 2007 – Página 14
08. A figura a seguir mostra parte do gráfico da função f, de R em R, dada por
f(x) = 2sen(x/4).
FIGURA
Resolução:
f(x) = 2.sen(x/4)
Eixos máximo e mínimo:
y
2
Seninho começa do “meinho”
Maior valor do seno(1):
f(x) = 2.1 = 2
8π
x
Menor valor do seno(-1)
f(x) = 2.(-1) = -2
P=
2π 2π
=
= 8π
| m| 1
4
-2
CORRETO
UFSC 2007 – página 14
16.( ) A figura a seguir representa o desenho de uma casa em construção. A telha
que vai ser usada nessa construção necessita de um ângulo de inclinação de 30°
para o telhado. Portanto, a altura x do telhado para se obter a inclinação desejada é
4de3
3 metros.
x
Resolução:
30o
S
O
H
C
A
H
T
O
A
cat.op.
tg30 =
cat.adj.
o
4
4
3 x
=
3 4
x=
4 3
3
8m
CORRETO
UFSC 2006
1) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Se K = (kij) é uma matriz quadrada de ordem 2 dada por Kij = 22i+j para i<j e Kij =
i² + 1 para i ≥ j, então K é uma matriz inversível.
Resolução:
a11 a12
A=
a21 a22
2 16
=
5 5
det A = 10 – 80 = - 70 ≠ 0
Logo, A é inversível.
CORRETO
UFSC 2006
02. Se A e B são matrizes tais que A.B é a matriz nula, então A é a matriz nula ou B é
a matriz nula.
Resolução:
A.B = O
|A.B|= | O |
|A |. | B|= | O |
|A |=0 ou | B|= | O |
INCORRETO
UFSC 2006
04. Sejam as matrizes M e P, respectivamente, de ordens 5x7 e 7x5. Se R = M.P,
então a matriz R² tem 625 elementos.
Resolução:
M5 x 7 . P7 x 5 = R5x 5
R2 = R5 x 5 .R5 x 5
elementos.
terá como resultado uma matriz 5 × 5, portanto com 25
INCORRETO
UFSC 2006
08. Chamamos “traço de L” e anotamos tr(L) a soma dos elementos da diagonal
principal de uma matriz quadrada L; então tr(L) = tr(Lt).
Resolução:
Quando calculamos a transposta de uma matriz quadrada, a diagonal principal não
se altera.
Observe o exemplo:
a b
d e
g h
c
f
i
tr(L) = a + e + i
a
b
c
d
e
f
g
h
i
tr(Lt) = a + e + i
CORRETO
UFSC 2006 – página 13
9) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
12.( ) Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a
3m de uma parede plana evertical. Neste instante, o sol projeta a sombra do
poste na parede e esta sombra tem 17m de altura. Se a altura do poste é de
20m, então a inclinação dos raios solares, em relação ao plano horizontal, é
de 45º.
Resolução :
3
20
450
3
17
CORRETO
UFSC 2006 – Página 13
13.( ) Se sen(a) = 1/3, então
sen (25π + a) – sen (88π - a) = 2/3
Resolução:
+ + - sen a – (- sen a) = 2/3
0 ≠ 2/3
- -
INCORRETO
14.( ) Os gráficos das funções f(x) = sen(4x) e g (x) = -2x/3 + π /4 têm
exatamente 3 pontos em comum, para x no intervalo (0, π /2).
1
π/4=0,75
- 0,25
-1
g(π/2) = -2 . (π ) + π/4
3 2
g(π/2) = - 1+ 0,75 = - 0,25
π/
2
CORRETO
UFSC 2006 – Página 13
11.( ) Para ser verdadeira a desigualdade tg(x).sec(x) < 0, x deve estar
localizado no segundo ou no quarto quadrante.
Resolução :
senx
1
.
<o
cos x cos x
senx
<0
2
cos x
+ +
- -
Sen x < 0, logo x é um ângulo do 30 ou 40
INCORRETO
UFSC 2005 – Página 18
9) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do sistema
Resolução:
Única solução S.P.D →
ΔP ≠ 0
1 2
∆P =
3 6
 X + 2Y = 9

3 X + 6Y = 27
1 2 9
= =
3 6 27
1 1 1
= =
3 3 3
ΔP = 6 – 6 = 0
INCORRETO
S.P.D
S.P.I
S.I.
UFSC 2005
02. A matriz A = (aij)1x3, tal que aij = i – 3j é A = [-2 -5 -8].
Resolução:
A = (aij) 1x3
A = (a11 a12 a13)
Sendo aij = i – 3j, tem-se:
a11 = (1) – 3 × (1) → a11 = - 2
a12 = (1) - 3 × (2) → a12 = - 5
A13 = (1) – 3 × (3) → a13 = - 8
Portanto A = [- 2
-5
- 8]
CORRETO
UFSC 2005
1 1
04. A soma dos elementos da inversa da matriz
é igual a 2.
0 1
Resolução:
1 1
0 1
A-1 =
|A | = 1
1 −1
0 1
1 + 0 – 1+1 = 1
INCORRETO
UFSC 2005
08. Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se At = -A, sendo At a transposta
da matriz A. Nessas condições pode-se afirmar que a matriz
0 0 1
0 0 0
1 0 0
é anti-simétrica.
Resolução:
0 0 1
At 0 0 0
1 0 0
0
− At 0
0 −1
0 0
−1 0
0
Como At ≠ - A → Não é anti-simétrica
Como At = A → Matriz simétrica
INCORRETO
UFSC 2005
16. Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas a seguir, para que P.Q – R
seja uma matriz nula, o valor de x deve ser 2.
3
1
2
3x 5
6 −1 1
0 1 x
19
6
Resolução:
3
A= 1
2
B=
3x 5
6 −1 1
C=
0 1 x
As matrizes dadas possuem as seguintes ordens
19
D=
6
A 3x1 B 1X2 C 2X3 D 2X1
Para fazer P.Q – R, devemos tomar na ordem as matrizes :
P (2X3) . Q (3x1) - R (2X1)
P =C Q = A R = D
UFSC 2005
Para fazer P.Q – R :
6 −1 1
x
0 1 x
(18 − 1 + 2)
19
(0 + 2 + 2 x )
6
0
2x − 4
2x – 4 = 0
x =2
=
3
1 2
19 0
=
6 0
0
=
0
0
0
CORRETO
UFSC 2005
32. A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A = 5B. Nestas condições
pode-se afirmar que det(A) = 5det(B), sendo que det(A) e det(B) designam,
respectivamente, os determinantes das matrizes A e B.
Resolução:
Aplicando determinante aos dois lados da igualdade A = 5B, vem que:
det(A) = det(5B) det(A) = 5.5 × det(B) det(A) = 25 × det (B).
INCORRETO
UFSC 2004
6) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) CORRETA(S).
01. A matriz
1 2 3 0
4 2 5 1
5 4 8 1
3 1 2 0
não possui inversa.
Resolução:
Como |A-1| = 1/ |A| para afirmar que uma matriz não possui inversa, basta mostrar
que o seu determinante é nulo.
Observando que a terceira linha da matriz é a soma da primeira com a segunda,
que nos garante que o seu determinante é nulo. (combinação linear)
CORRETO
02. Se um sistema de equações é indeterminado, então não se pode encontrar
solução para ele.
Resolução:
X = 0/0
0.x + 0.y + 0.z = 0
Se um sistema de equações é indeterminado, então ele possui infinitas soluções.
INCORRETO
UFSC 2004
04. Uma pequena indústria produz três tipos de produto que indicamos por x, y, z.
As unidades vendidas de cada produto e o faturamento bruto da empresa em
três meses consecutivos são os dados na tabela abaixo. Então, os preços dos
produtos x, y e z só podem ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00, R$
3.000,00.
Resolução:
A tabela pode ser representada por um sistema linear
Como o texto diz que os valores só podem ser os mencionados, teríamos uma
única solução, tornando o sistema S.P.D, logo ΔP ≠ 0, verificando :
1.x + 5. y + 3.z = 35000

4.x + 1. y + 2.z = 15000
5.x + 6. y + 5.z = 50000

1
5
3
∆P = 4
5
1
6
2
5
Como a terceira linha é a soma da primeira com a segunda (combinação linear) o
determinante será nulo, não podendo possuir uma única solução e como a
coluna dos termos independentes também possui combinação linear todas os
determinantes calculados dariam zero tornando o sistema S.P.I, logo com infinitas
INCORRETO
soluções.
UFSC 2004
08. A solução da equação
Resolução:
16 + 12x + 2 -12 – 2x -16 = 0
10x = 10
x=1
CORRETO
2 4 1
= 0 é x = 1.
2 4 x
3 1 2
UFSC 2004
3) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões)
CORRETA(S).
9π/2 4π/2
π/2
01. O valor de sen 9π/2 é 1.
2
Resolução:
Sen 9π/2 = sen π/2 = 1
CORRETO
02. O gráfico da função g(x) = In x² é simétrico em relação ao eixo das
ordenadas.
Resolução:
Simetria em relação ao eixo das ordenadas indica que a função é par,
ou seja, g(x) = g(-x): g(x) = ln x2 e g(-x) = ln (-x)2 = ln x2
CORRETO
UFSC 2004
04. Para todo arco x para o qual as expressões cos x/(1 + tg x) e
cos x) podem ser calculadas, elas fornecem o mesmo valor.
1/(sen x +
Resolução:
cos x
cos x = cos x
=
cos x + senx
(1 + tgx ) (1 + senx )
cos x
cos x
cos 2 x
=
cos x + senx
2
cos x
1
≠
cos x + senx senx + cos x
INCORRETO
UFSC 2004
08. Para todo arco x vale sen x² + cos x² = 1 e |sen x| + |cos x| ≥ 1 e pode ocorrer
senx + cosx = 0.
Resolução :
sen x² + cos x² = 1
(relação fundamental)
|sen x| + |cos x| ≥ 1
|sen x|2 + 2. |sen x|.|cos x| + |cos x|2 ≥ 12
2.|sen x|.|cos x| ≥ 0
|sen x.cos x| ≥ 0
1
COSX
|SENX – COS X|<1<SENX + COS X
Senx + Cosx > 1
senx + cosx = 0
sen 1350 + cos 1350 = 0
SENX
CORRETO
UFSC 2004
16. A imagem da função y = 3.cos x é o intervalo [-3,3].
Resolução :
Y = a + b.cos(m.x + n)
Im = [ a – b, a + b ]
Im = [ 0 – 3, 0 + 3 ]
Im = [- 3, 3 ]
CORRETO
UFSC 2003
08) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) CORRETA(S).
01. O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48.
Resolução:
Se A é quadrada de ordem 12 (A 12x12 ), então ela terá 12 x 12 = 144
elementos.
INCORRETO
02. Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem.
Resolução:
O produto de duas matrizes, A e B, será possível quando o número de colunas de
A for igual ao número de linhas de B.
INCORRETO
UFSC 2003
X
04. A soma das raízes da equação 4
X
X
X
X = 0 é 8.
4
4
X
Resolução:
x³ + 4x² + 16x – 4x² – 4x² – 4x² = 0
x³ – 8x² + 16x = 0
x(x² – 8x + 16) = 0
x=0
ou
x² – 8x + 16 = 0
0+4+4=8
CORRETO
UFSC 2003
08. Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes inversas.
S.P.D
S.P.I
S.I.
Resolução:
A matriz quadrada pode não ter inversa (det A = 0) e, se
possuir inversa, ela será única. A . A-1 = I
INCORRETO
16. O sistema
Resolução:
S.P.I
ΔP = O
ΔP =
3x − 2 y = 0

x + y = 0
3 −2
1 1
é indeterminado.
ΔP = 3 + 2
ΔP = 5
3 −2 0
=
=
1 1
0
ΔP ≠ O
→ S.P.D
INCORRETO
UFSC 2003
Questão 02 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Sen x ≤ x para todo x Є [ 0,π/2 ]
Resolução:
01. Representando y = sen x no plano cartesiano
Representando y = x no plano cartesiano
temos sen x ≤ x, para x Є [ 0,π/2 ]
π/
2
1
CORRETO
π/
2
-1
π
2π
UFSC 2003
02. Sen x + cos x ≥ 1 para todo x Є [ 0,π/2 ]
Resolução:
02.
Sen x + cos x ≥ 1
(Sen x + cos x)2 ≥ (1)2
Sen2x + 2.senx.cosx + cos2x ≥ 1
1
2.senx.cosx ≥ 0
SENX
Sen2x ≥ 0, como x Є [ 0,π/2 ]
COSX
+ +
- -
CORRETO
|SENX – COS X|<1<SENX + COS X
Senx + Cosx > 1
UFSC 2003
04. Para qualquer arco x pertencente à interseção dos domínios das funções
trigonométricas vale a igualdade cosec2x/cotg2x = sec2x.
Resolução:
1
2
2
1
cos ec x
2
sen
x
=
sec
x
=
=
2
2
cos x cos 2 x
cot g x
2
sen x
CORRETO
UFSC 2003
08. Os gráficos das funções f1(x) = sen x e f2(x) = 5sen x se interceptam
numa infinidade de pontos.
Resolução:
f1(x) = sen x
f2(x) = 5.sen x
Construindo os gráficos das duas funções podemos observar que se
interceptam em infinitos pontos:
5
1
π
2π
3π
-1
CORRETO
-5
UFSC 2003
16. Os gráficos das funções g1(x) = cosx e g2(x) = 3 + cosx não possuem
ponto em comum.
Resolução:
g1(x) = cosx
g2(x) = 3 + cosx
Construindo os gráficos das duas funções podemos observar que nunca
se interceptam :
4
3
2
1
π
-1
2π
3π
CORRETO
UFSC 2003
32. Os gráficos das funções h1(x) = sen x e h2(x) = sen (x+1) se interceptam
numa infinidade de pontos.
Resolução:
h1(x) = sen x
h2(x) = sen (x+1)
Construindo os gráficos das duas funções podemos observar que se
interceptam em infinitos pontos:
1
π
-1
2π
3π
CORRETO
FIQUEM
COM DEUS