considerações históricas na mecânica analítica de - HCTE

CONSIDERAÇÕES HISTÓRICAS NA MECÂNICA ANALÍTICA DE LAGRANGE
Agamenon R. E. Oliveira
Escola Politécnica da UFRJ
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Resumo: Em sua Mecânica Analítica, Lagrange (1736-1813) dedica uma parte
considerável de seu trabalho à História da Mecânica. Neste artigo, no ano do
bicentenário de sua morte, apresentaremos suas ideias principais sobre o
desenvolvimento da mecânica e que aparecem em sua obra prima. Essas
considerações históricas apresentam um interesse muito grande para os
historiadores da ciência pelo fato de serem muito pouco exploradas, bem como pelo
mérito em si dessa contribuição. Nela, Lagrange esclarece o desenvolvimento da
mecânica tendo o conceito de força como elemento estruturante e busca encontrar
os princípios fundamentais sobre os quais repousam a ciência mecânica.
Palavras-chave: História da Matemática, História da Mecânica, Mecânica Analítica.
INTRODUÇÂO
Lagrange foi um dos fundadores do cálculo variacional, do qual as equações
Euler-Lagrange foram deduzidas. Ele também desenvolveu o método conhecido
como multiplicadores de Lagrange como uma maneira de encontrar máximos e
mínimos locais de uma função sujeita a restrições. Outra contribuição importante de
Lagrange foi o método para resolver equações diferenciais, conhecido como método
de variação de parâmetros. Além disso, ele aplicou o cálculo diferencial à teoria das
probabilidades e realizou um trabalho notável para resolver equações algébricas.
Em mecânica, Lagrange estudou alguns problemas específicos, como é o
caso do problema dos três corpos, no sentido de calcular as órbitas da terra e da lua
em seu movimento em torno do sol, submetidos a lei da atração gravitacional.
Problemas relacionados como a estabilidade de tal sistema bem como a natureza
das soluções também foram considerados. Outros problemas e que agora estão no
campo da mecânica aplicada são importantes de serem mencionados. Entre eles a
propagação do som e a teoria das cordas vibrantes, problemas de extrema
atualidade para a engenharia.
Sua Mecânica Analítica foi publicada em 1788, coroando uma série de
trabalhos e outras contribuições anteriormente desenvolvidas por d´Alembert (1717-
1783) e Euler (1707-1783). Dessa forma, a mecânica racional torna-se um ramo da
análise, e a mecânica Lagrangeana acaba realizando o sonho dos Cartesianos,
passando a integrar o campo da matemática pura.
NOTA BIOGRÀFICA
Joseph-Louis Lagrange nasceu em Turim, no dia 25 de Janeiro de 1736, com
o
nome
de
Giuseppe
LodovicoLagrangia.
Seu
pai,
Giuseppe
Francesco
LodovicoLagrangia era tesoureiro do Serviço Público de Fortificações em Turim. Sua
mãe, Teresa Grosso, era filha única de um médico da localidade de Cambiano, perto
de Turim. Lagrange era o filho mais velho dos onze filhos, sendo um dos dois que
alcançaram a idade adulta.
Turim tornou-se a capital do reino da Sardenha em 1720, dezesseis anos
antes do nascimento de Lagrange. Sua família tinha ascendência francesa pelo lado
de seu pai. Seu avô era um capitão da cavalaria francesa e tinha deixado a França
para trabalhar para o Duque de Savoia. Por isto, Lagrange sempre se referia a seus
antepassados franceses.
Seu interesse por matemática começou quando ele leu um trabalho de
Edmond Haley, publicado em 1693 e que utilizava a álgebra para resolver problemas
de ótica. Dessa forma, ele foi atraído para os estudos de matemática tendo também
muito contribuído as excelentes aulas de física que ele assistiu de Ludovico Beccaria
(1716-1781), em Turim, estimulando que ele seguisse a carreira de matemática.
Lagrange faleceu em Paris no dia 10 de Abril de 1813, tendo sido enterrado
no mesmo ano no Panteon de Paris. A inscrição em sua tumba diz: Joseph-Louis
Lagrange. Senador. Conde do Império. Grande Oficial da Legião de Honra. Grande
Cruz da Ordem Imperial da Reunião. Membro do Instituto e do Burô de Longitude.
Nascido em Turim em 25 de Janeiro. Morto em Paris em 10 de Abril de 1813.
CONTRIBUIÇÂO À HISTÓRIA DA MECÂNICA
Estática
A Estática é a ciência do equilíbrio das forças. Entendemos, de uma maneira
geral por força ou potência como a causa, qualquer que seja, e que imprime ou
tende a imprimir movimento ao corpo no qual supomos que ela esteja aplicada; e é
também pela quantidade de movimento impresso, ou prestes a imprimir, que a força
ou potência deve ser estimada.
É com estas considerações sobre a força que Lagrange abre seu trabalho de
história da mecânica, na primeira parte dedicada a estática. Segundo ele o objetivo
desta disciplina é fornecer as leis que regem o equilíbrio, e que resulta da destruição
de várias forças que se opõem e se anulam reciprocamente. Essas leis estão
fundadas em princípios gerais os quais podem se reduzir a três: o do equilíbrio da
alavanca, o da composição de movimentos e, finalmente, o princípio das
velocidades virtuais. É, portanto, no contexto do desenvolvimento histórico desses
três princípios que Lagrange vai fazer uma reconstituição da história da mecânica.
Lagrange afirma que Arquimedes (287-212 a.C.) é o único entre os antigos
que nos deixou uma teoria sobre a mecânica, em seus dois livros de
AEquiponderantibus, sendo o autor do princípio da alavanca. Alguns modernos,
como Stevin (1548-1620) na Estática, e Galileu (1564-1642) em seus Diálogos
(Discorsi) sobre o movimento, tornaram a demonstração de Arquimedes mais
simples. Exceto Huygens (1629-1695), não há nenhum outro que mereça o
reconhecimento dos geômetras. Sua demonstração das leis do equilíbrio utiliza um
plano carregado com vários pesos iguais, e apoiado sobre uma linha reta; mas esta
demonstração, engenhosa e isenta de dificuldades, está sujeita, não parece também
isenta de objeções. Lagrange sugere que se leia a Opera Varia de Huygens.
O segundo princípio fundamental do equilíbrio mencionado por Lagrange é o
da composição de movimentos. Ele é fundado sobre a suposição que se duas forças
agem sobre um corpo segundo direções diferentes, essas forças equivalem a uma
única, capaz de imprimir ao corpo o mesmo movimento que lhe dará as duas agindo
independentemente. A direção seguida pelo corpo é como sabemos, a da diagonal
do paralelogramo. Este princípio serve para irmos eliminando forças usando esta
regra de composição até ficarmos com uma força única. É o que podemos ver,
inclusive nos livros de estática e particularmente na nova mecânica de Varignon
(1654-1722), onde uma teoria das máquinas é deduzida unicamente do princípio em
consideração.
Quanto a invenção do princípio, Lagrange considera que se deva atribuir a
Galileu. Segundo ele na segunda proposição da quarta jornada de seu Discorsi no
qual ele demonstra que um corpo movido com duas velocidades uniformes, uma
horizontal e outra vertical, deve adquirir uma velocidade representada pela
hipotenusa do triângulo onde os lados representam essas duas velocidades; no
entanto, segundo Lagrange, Galileu não reconheceu toda importância deste teorema
na teoria do equilíbrio.
Chegamos
então
ao
terceiro
princípio,
o
das
velocidades
virtuais.
Obviamente, entendendo por velocidade virtual aquela que o corpo em equilíbrio
está disposto a receber, no caso em que o equilíbrio venha a ser rompido, isto é, a
velocidade que o corpo adquirirá realmente no primeiro instante de seu movimento.
O princípio consiste em que as forças estão em equilíbrio quando elas estão na
razão inversa de suas velocidades virtuais, estimadas segundo as direções dessas
forças. Lagrange também atribui este princípio a Galileu, que em sua obra prima o
propõe como uma propriedade geral do equilíbrio das máquinas. Lagrange ainda
considera que se deve a Galileu o conceito de momento e faz uma afirmação
curiosa, que podemos ainda descobrir na ciência do equilíbrio princípios mais gerais,
mas que todos serão formas diferentes de olhar o princípio das velocidades virtuais.
Dinâmica
Lagrange considera que a dinâmica é a ciência das forças aceleratrizes ou
retardatrizes e dos movimentos variados que elas podem produzir. Ainda segundo
ele esta ciência se deve inteiramente aos modernos sendo Galileu aquele que
lançou seus primeiros fundamentos. Antes dele não se consideravam as forças que
agiam sobre os corpos senão no estado de equilíbrio; e qualquer um não pode
atribuir a aceleração dos corpos pesados e ao movimento curvilíneo dos projéteis
senão a ação constante da gravidade e ninguém tinha ainda conseguido determinar
a lei desses fenômenos diários, devido a uma causa tão simples. Além disso,
Huygens parecia estar destinado a aperfeiçoar a maior parte das descobertas de
Galileu, agregando a teoria da aceleração dos corpos graves, a do movimento do
pêndulo e das forças centrífugas, e preparou ainda o caminho para a grande
descoberta da gravitação universal. No entanto, a mecânica tornou-se uma ciência
nova nas mãos de Newton (1642-1727), e os Princípios Matemáticos que
apareceram em 1687, marcam a época desta revolução.
Com a invenção do cálculo infinitesimal os geômetras se encontraram em
condições de reduzir à equações analíticas as leis do movimento dos corpos; e a
pesquisa das forças e dos movimentos que resultam, torna-se o objeto principal de
seus trabalhos.
Novamente, tal como acontecia com relação a estática, Lagrange atribui um
papel excepcional ao trabalho de Galileu. Ele percebeu o princípio da composição
dos movimentos e deduziu as leis do movimento dos projéteis compondo o
movimento oblíquo com o efeito da impulsão comunicada aos corpos com a queda
perpendicular devido a ação da gravidade. Contudo Galileu começou supondo a
existência de um movimento uniformemente acelerado, no qual as velocidades
crescem com o tempo, e assim deduziu geometricamente as principais propriedades
desta espécie de movimento e, sobretudo a lei do crescimento dos espaços em
razão dos quadrados dos tempos; em seguida é assegurado pela experiência que
esta lei tem lugar efetivamente no movimento dos corpos que tombam sobre planos
inclinados quaisquer.
Lagrange descreve o processo no qual Huygens descobriu as leis das forças
centrífugas dos corpos movidos em círculos com velocidades constantes e que ele
comparou essas forças entre elas e com a força do peso na superfície da terra como
se vê pelas demonstrações que deixou de seus teoremas sobre a força centrífuga,
publicado em 1673, no fim do Tratado do Horólogio Oscilatório.Entretanto, Huygens
não foi muito longe tendo sido reservado a Newton estender esta teoria a curvas
quaisquer e de completar a ciência dos movimentos variados e das forças
aceleratrizes que podem lhes engendrar. Neste contexto é importante considerar
que Newton empregou somente o método das séries o que deve ser distinguido do
método diferencial. Os geômetras que vieram após Newton, quase todos trataram de
estender e generalizar os teoremas e de traduzi-los em termos de expressões
diferenciais. Curiosamente Lagrange não menciona o trabalho de Euler, que em
1752 expressou a segunda lei de Newton na forma diferencial como a conhecemos
atualmente.
Lagrange também descreve o trabalho de Descartes incluindo a tentativa de
obter a lei do choque entre os corpos apontando o erro por ele cometido que foi de
considerar sempre a conservação da quantidade de movimento absoluto. Lagrange
acrescenta que foi Wallis (1616-1703) o primeiro que teve a ideia de como
funcionam as leis da comunicação do movimento no choque de corpos duros ou
elásticos, como é possível ler nas PhilosophicalTransactions, de 1669 e na terceira
parte de seu Tratado De Motu, impresso em 1671.
Lagrange descreve então como Huygens chegou a seu princípio, o qual
fornece uma equação entre a altura vertical donde o centro de gravidade de um
sistema que desce em um tempo qualquer e as diferentes alturas verticais as quais
os corpos que compõem o sistema podem atingir com as velocidades que eles
adquiriram, e que pelo teorema de Galileu estão na razão do quadrado de suas
velocidades. Esta teoria de Huygens está exposta em seu Tratado do Relógio
Oscilatório, que, como sabemos, aparece em 1673, também acompanhada de
muitas aplicações. Em 1681, apareceram algumas objeções a esta teoria, que
Huygens deixa sem resposta a não ser uma vaga referência.
Foi Jacques Bernoulli (1654-1705) quem examinou a fundo esta teoria
proposta por Huygens e tentou relacioná-la aos primeiros princípios da dinâmica.
Lagrange também relaciona o Marquês de l´Hôpital (1661-1704) como um dos
matemáticos a estudar este princípio em um escrito publicado no jornal de Roterdam
em 1690.
Outra contribuição importante de Lagrange em suas considerações históricas
sobre a mecânica diz respeito ao princípio de d´Alembert (1717-1783). Em seu
Tratado de Dinâmica, publicado em 1743, d´Alembert propõe um método direto e
geral para resolver, ou pelo menos obter as equações de todos os problemas de
Dinâmica. Este método reduz todas as leis do movimento dos corpos as do
equilíbrio, e relaciona assim a Dinãmica a Estática. De uma maneira geral, o
princípio de d´Alembert se propõe a encontrar a solução para o movimento de vários
corpos que tendem a se mover com velocidades e direções desconhecidas após
serem perturbados, o que dá no mesmo, imprimir condições iniciais ao sistema. O
princípio estabelece que podemos olhar os movimentos subsequentes como sendo
compostos daqueles que os corpos têm realmente e outros que que são destruídos
nas interações mútuas. Donde se segue que esses últimos devem ser tais que os
corpos animados com eles somente podem estar em equilíbrio.
Tal é o princípio e devido as suas múltiplas aplicações obteve ampla
aceitação entre os geômetras, apesar de não fornecer imediatamente as equações
necessárias para a solução dos diferentes problemas de Dinâmica, ensinando, no
entanto a deduzi-las das condições de equilíbrio. Dessa forma combinando o
princípio de d´Alembert com os outros princípios ordinários da mecânica como o da
alavanca, ou da composição das forças, podemos encontrar as equações de cada
problema com a ajuda de algumas construções mais ou menos complicadas. O
maior problema na sua aplicação é a determinação das forças que devem ser
destruídas. Além disso, as soluções que resultam são quase sempre muito longas
quando comparadas com outras obtidas de princípios mais simples. Finalizando
seus comentários sobre o princípio de d´Alembert, Lagrange ressalta que um
caminho interessante para se resolver os mais variados problemas de dinâmica
consiste em combinar-se o princípio das velocidades virtuais com o de d´Alembert.
De forma metodologicamente semelhante ao que foi feito na parte dedicada a
estática, Lagrange também estrutura sua apresentação tendo como eixo principal os
princípios fundamentais da dinâmica. Dessa forma, ele cita os quatro princípios que
formam a base conceitual da dinâmica: o princípio da conservação das forças vivas,
o princípio da conservação do centro de gravidade, o princípio da conservação dos
momentos do movimento de rotação, também por ele denominado de princípio das
áreas e, finalmente, o princípio da mínima quantidade de ação. Devido sua
importância para a obra de Lagrange nos deteremos no quarto princípio até o fim de
nosso artigo.
O chamado princípio da mínima ação, por analogia ao princípio enunciado por
Maupertuis (1698-1759), foi comentado e utilizado por vários autores. Seu
enunciado, de uma forma analítica consiste em que no movimento dos corpos a
soma dos produtos das massas pelas velocidades e pelos espaços percorridos, é
um mínimo. Como observa Lagrange, ele foi deduzido das leis da reflexão e da
refração da luz. A maneira mais geral e rigorosa de se visualizar este princípio foi
feita por Euler no fim de seu Tratado das Isoperimétricas, impresso em Lausanne
em 1744, observando que nas trajetórias descritas pelas forças centrais, a integral
da velocidade multiplicada pelo elemento da curva, passa sempre por um máximo
ou um mínimo. Ele acentua:esta propriedade que Euler não reconheceu senão no
movimento dos corpos isolados, eu a estendi ao movimento dos corpos que agem
uns sobre os outros de uma maneira qualquer e é o resultado deste novo princípio
geral, que a soma dos produtos das massas pelas integrais das velocidades
multiplicadas pelos elementos dos espaços percorridos é constantemente um
máximo ou um mínimo.
Lagrange assim finaliza seus comentários sobre o princípio da mínima ação:
Este princípio combinado com o da conservação das forças vivas, e desenvolvido
seguindo as regras do cálculo das variações, fornecem diretamente todas as
equações necessárias para a solução de cada problema e de lá nasce um método
igualmente simples e geral para tratar as questões que dizem respeito ao movimento
dos corpos; mas este método não é ele mesmo senão um corolário daquele que faz
o objeto da segunda Parte desta obra, e que tem ao mesmo tempo a vantagem de
ser tirado dos Princípios da Mecânica.
CONCLUSÔES
Um dos objetivos mais perseguidos pelos cientistas é encontrar uma lei ou
princípio, o mais simples possível, ou algum princípio fundamental que possa
explicar o maior número possível de fenômenos naturais. Lagrange, através de sua
análise histórica da mecânica também procedeu assim. Como outro exemplo
podemos citar d´Alembert. Em seu Discurso Preliminar no Tratado de Dinâmica,
podemos ler: Se o princípio da força de inércia, do movimento composto e do
equilíbrio, são essencialmente diferentes um do outro, e se, por outro lado, esses
três princípios são suficientes para a mecânica, podemos reduzir esta ciência ao
menor número de princípios possíveis, e admitir que com eles podemos estabelecer
todas as leis do movimento para qualquer corpo em qualquer circunstância, como
fizemos neste trabalho.
Além desses aspectos metodológicos que
são
comuns em
outros
matemáticos, Lagrange esclarece em seu trabalho, alguns desenvolvimentos que
não estão completamente claros na literatura tradicional. Como exemplo podemos
citar a correta interpretação do princípio de d´Alembert, preservando seu propósito
original. Os livros-texto tradicionais têm reduzido este princípio a uma forma de
transformar um problema de dinâmica em outro equivalente de estática quando em
sua formulação original somente na direção onde os movimentos são destruídos é
que o equilíbrio ocorre.
Finalmente, a importância atribuída por Lagrange aos aspectos históricos da
ciência, ao dedicar uma parte considerável de seu trabalho às questões históricas,
somente confirma que o desenvolvimento interno da ciência não é independente de
seu desenvolvimento histórico.
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