Mecânica Clássica 1 (segundo semestre de 2008) Prof. Dr

Mecânica Clássica 1 (segundo semestre de 2008)
Prof. Dr. Aguinaldo Medici Severino [Departamento de Física – UFSM]
http://www.ufsm.br/severino/mecanica1
[1] Obtenha, explicando detalhadamente teu procedimento, a segunda forma da equação de
Euler. Utilize esta forma da equação de Euler para demonstrar que a menor distância entre
dois pontos em um plano é uma reta.
[2] Mostre que a menor distância entre dois pontos de um espaço tridimensional é uma linha
reta.
[3] Determine a razão entre a altura H e o diâmetro 2R de um cilindro circular reto de volume
fixo V que minimiza a superfície A.
[4] Determine qual é o menor segmento de arco que passa pelos pontos (x,y,x)=(0,0,0) e
(x,y,z)=(1,1,1) na superfície definida por z(x) = x3/2.
[5] Uma partícula de massa M é forçada a se movimentar por ação da gravidade em uma
superfície ideal, sem atrito, definida pela equação z = x.y. As coordenadas x e y definem um
plano e a coordenada z define a direção vertical. Determine a trajetória da partícula
considerando que no instante inicial as coordenadas da partícula são (x, y,z) = (1,-1,-1).
[6] Seja o mais claro possível em suas respostas às duas questões abaixo:
(a) Descreva detalhadamente o que você entende por "Princípio de Hamilton".
(b) Considere um sistema com dois graus de liberdade, q1 e q2. Escreva a lagrangiana e as
equações de Lagrange deste sistema. Obtenha a segunda lei de Newton a partir da
equação de Lagrange. Caso q2 seja uma coordenada cíclica o que você pode dizer sobre
este sistema?
[7] Uma partícula de massa M se movimenta na superfície de um hemisfério liso de raio A. No
instante inicial a partícula se encontra no ponto de equilíbrio instável do hemisfério.
(a) Quais são os graus de liberdade deste sistema? Quais são as coordenadas generalizadas
adequadas para resolver este problema? Existe vínculo entre elas?
(b) Escreva a lagrangeana do sistema.
(c) Obtenha as equações de Lagrange do sistema.
(d) Obtenha a força de vínculo do sistema.
(e) Determine o ângulo em que a partícula perde o contato com o hemisfério. A energia deste
sistema é uma constante de movimento? Há alguma quantidade que se conserve neste
problema?
[8] Um cilindro reto de massa M e de raio R é preso a um fio ideal. O fio é totalmente enrolado
no cilindro e a extremidade livre é presa a um anteparo fixo, como faz-se em um iô-iô.
Considere que o momento de inércia do cilindro é I = (1/2).M.R2. Considere o instante que o
cilindro é deixado livre para cair na vertical a partir do repouso, desenrolando
progressivamente o fio e descreva:
(a) Quantos são os graus de liberdade e quais são as coordenadas generalizadas
necessárias para descrever o movimento do cilindro? Existe vínculo entre estas
coordenadas? Neste caso como pode ser escrita a equação de vínculo?
(b) Escreva a lagrangiana do sistema.
(c) Utilize a técnica de multiplicadores de Lagrange para obter as forças generalizadas e a
força de vínculo deste sistema. A quê grandeza física corresponde esta força de vínculo?
(d) A partir das equações de Lagrange obtenha as equações de movimento.
(e) Obtenha a hamiltoniana deste sistema;
(f) Obtenha as equações de Hamilton. A hamiltoniana se conserva, ou seja, ela é uma
constante de movimento?
[9] Considere como ilustrado abaixo um pêndulo formado por uma mola de comprimento de
repouso L e constante de força K presa a uma partícula de massa M. O pêndulo pode se
movimentar somente em um plano vertical, por ação da força da gravidade.
(a) Quantos são os graus de liberdade e quais são as coordenadas generalizadas necessárias
para descrever o movimento da partícula? Existe algum vínculo neste sistema?
(b) Escreva a lagrangiana do sistema.
(c) Obtenha as equações de Lagrange. Alguma grandeza se conserva?
(d) Escreva a hamiltoniana do sistema e obtenha as equações de Hamilton.
[10] Uma partícula de massa M se move sobre a superfície interna de um hemisfério de raio R
como se vê na ilustração abaixo. A partícula está sujeita a força da gravidade.
(a) Quantos são os graus de liberdade e quais são as coordenadas generalizadas necessárias
para descrever o movimento da partícula? Existe algum vínculo neste sistema? Como
pode ser escrita a equação de vínculo? Qual grandeza física corresponde esta força de
vínculo?
(b) Escreva a lagrangiana do sistema e obtenha as equações de Lagrange.
(c) Obtenha a hamiltoniana deste sistema.
(d) Obtenha as equações de Hamilton. A hamiltoniana se conserva, ou seja, ela é uma
constante de movimento? Alguma outra grandeza se conserva?
[11] Considere um pêndulo esférico como o ilustrado abaixo.
(a) Quais são as coordenadas generalizadas do problema. Quantos são os graus de liberdade
do sistema. Existe algum vínculo entre as coordenadas do sistema.
(b) Escreva a lagrangiana do sistema. Obtenha as equação de Lagrange do sistema.
(c) Escreva a hamiltoniana do sistema. Obtenha as equações de Hamilton do sistema.
(d) Existe alguma coordenada cíclica. Quais são as grandezas que se conservam neste
problema.
[12] Mostre como obter a hamiltoniana a partir da lagrangeana de um sistema.
[13] Considere um pêndulo simples composto por uma partícula de massa M presa a um
anteparo por uma barra de comprimento fixo L e de massa desprezível. O anteparo onde o
pêndulo está fixo se move harmonicamente na direção vertical de forma que y(t) = y0.sen ω.t.
(a) Quais são os graus de liberdade deste sistema? Quais são as coordenadas generalizadas
adequadas para resolver este problema? Existe vínculo entre elas?
(b) Escreva a lagrangiana do sistema;
(c) Obtenha a equação de Lagrange do sistema;
(d) Proponha um procedimento para resolver a equação de Lagrange e obter a equação de
movimento do pêndulo;
(e) A energia do sistema é uma constante de movimento? Há alguma quantidade que seja
conservada neste problema?
[14] Considere uma partícula que se move em um potencial esfericamente simétrico dado por
U(r)=-k/r. Obtenha a lagrangiana do sistema em coordenadas esféricas e escreva as equações
de Lagrange do movimento. Obtenha a hamiltoniana do sistema em coordenadas esféricas e
escreva as equações de Hamilton do movimento.
[15] Utilizando a técnica dos multiplicadores de Lagrange, analise o caso do rolamento de um
cilindro sobre outro cilindro fixo.
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