6º “Desafio Matemático e Estatístico da Economia”

GRUPO DE ESTUDO DE POLÍTICAS MACROECONÔMICAS E
CRESCIMENTO ECONÔMICO DO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS
ECONÔMICAS (DCECO) - UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO
DEL REI (UFSJ)
6º “Desafio Matemático e Estatístico da Economia”
(Inspirado no filme Gênio Indomável do Diretor Gus Van Sant – 1997)
Nome do Vencedor: ANSELMO CARVALHO DE OLIVEIRA
Curso
Período
Turno
Campus
Ciências Econômicas
3º
Noturno
CTAN
Data do desafio: 10/03/2016
Data do resultado: 20/04/2016
RESOLUÇÃO DO 6º DESAFIO
1. PRELIMINARES
Definição (Conjunto compacto). A 
2
é compacto se é fechado e limitado.
Exemplo 1. O círculo unitário A  {( x, y ) 
sem a fronteira A  {( x, y ) 
seja limitado.
2
2
: x 2  y 2  1} é compacto. O círculo unitário
: x 2  y 2  1} não é compacto, pois ele não é fechado, embora
Exemplo 2. O quadrado unitário A  [0,1]  [0,1] é compacto. O círculo sem uma parte da
fronteira A  [0,1)  [0,1] não é compacto, pois ele não é fechado, embora seja limitado.
Exemplo 3. A circunferência unitária A  {( x, y ) 
2
: x 2  y 2  1} é compacta.
Exemplo 4. Considere A  {( x, y )  2 : x  4 y  58, x  0 e y  0} um segmento do plano
cartesiano. Então esse conjunto é compacto.
Teorema (de Weierstrass). Se f ( x, y ) for contínua num conjunto compacto A , então
existirão pontos ( x1 , y1 ) e ( x2 , y2 ) em A tais que f ( x1 , y1 ) é o valor mínimo e f ( x2 , y2 ) é o
valor máximo de f em A .
MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Problema: Maximizar ou Minimizar f ( x, y ) sujeito à seguinte restrição g ( x, y )  0 .
O método dos multiplicadores de Lagrange considera uma função, chamada de Lagrange (ou
Lagrangiana), definida por:
L ( x , y ,  )  f ( x, y )   g ( x, y )
onde  é o multiplicador de Lagrange.
Condição Necessária
L L L
( P)  

0
 x y 
O problema ( P ) pode expressar, de forma equivalente por


 x f ( x, y )   x g ( x, y )  0



 f ( x , y )   g ( x, y )  0
y
 y
 g ( x, y )  0


ou, equivalentemente,
 

 



f ( x, y ),
f ( x, y )     g ( x, y ), g ( x, y ) 

y
y
 x

 x

 g ( x, y )  0

ou,
f ( x, y)   g ( x, y)
(Q) 
 g ( x, y)  0
2. O PROBLEMA E SOLUÇÃO.
Para resolver o seguinte problema usaremos a condição (P).
Problema 1. Se a função Utilidade do consumidor for U (q1 , q2 )  q1q22  10q1 , quais as
quantidades de q1 e q2 que maximizam a sua utilidade, sabendo-se que pq1  2 , pq2  8 e a
renda R é igual a 116. Utilize o multiplicador de Lagrange.
Solução. Note que a restrição é dada por
g (q1 , q2 )  2q1  8q2  116  0
ou, equivalentemente,
g (q1 , q2 )  q1  4q2  58  0
A função de Lagrange é dada por
L(q1 , q2 ,  )  U (q1 , q2 )   g (q1 , q2 )
 q1q22  10q1   (q1  4q2  58)
A condição necessária é,
 L
2
 q  q2  10    0
 1
 q22  10    0
 L

 2q1q2  4  0   2q1q2  4  0

 q2
q  4q  58  0
2
 1
 L

q

4
q

58

0

1
2
 
De (1) e (2), q22  10   
(1)
(2)
(3)
q1q2
. Assim,
2
2q22  20  q1q2
(4)
De (3), q1  58  4q2 . Substituindo esta última equação em (4), temos
2q22  20  (58  4q2 )q2 , ou equivalentemente, 6q22  58q2  20  0  3q22  29q2  10  0 
(3q2  1)(q2  10)  0 . Assim, q2  1 3 ou q2  10 . Como q2  0 , temos que q2  10 .
Substituindo esse valor em (3), obtemos q1  58  4(10)  18 .
O conjunto A  {(q1 , q2 ) 
2
: q1  4q2  58  0, q1  0 e q2  0} é compacto.
q2
(0, 29 2)
(18,10)
A
(58, 0)
q1
Os candidatos a pontos extremais de U são os pontos: (18,10) , (0, 29 2) e (58, 0) . Pelo
Teorema de Weierstrass a função U atinge seus valores máximos e mínimos nesses pontos.
Assim,
U (18,10)  18(102 )  10(18)  1800  180  1620
U (0, 29 2)  0(29 2) 2  10(0)  0
U (58, 0)  58(02 )  10(58)  580
Portanto, as quantidades q1  18 e q2  10 maximizam a função utilidade do consumidor.
PARABÉNS A TODOS QUE TENTARAM RESOLVER ESTE DESAFIO. NOVOS
DESAFIOS SERÃO LANÇADOS A CADA DIA 10 DO MÊS.
PREPAREM-SE, PARTICIPEM E BONS ESTUDOS.
Conheça o Grupo de Estudo e veja as suas atividades. Acesse:
www.ufsj.edu.br/grupo_de_economia
Facebook: Grupo de Estudo de Políticas Macroeconômicas e Crescimento
Econômico (curta e compartilhe – buscamos e estamos fazendo a parceria
com empresas privadas)