MÁXIMOS E MÍNIMOS [Modo de Compatibilidade].

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Encontrar os valores máximos e mínimos
de funções de várias variáveis e saber
onde eles ocorrem é uma aplicação
importante de calculo diferencial e integral
de várias variáveis. Por exemplo, qual é a
maior temperatura de uma chapa de metal
aquecida e onde ela está localizada?
Onde uma dada superfície atinge seu
ponto mais alto sobre uma dada região no
plano xy?
MÁXIMOS E MÍNIMOS

Uma importante aplicação do estudo de
derivadas parciais, é a da otimização de
funções. Otimizar uma função, significa
encontrar seu desempenho máximo ou mínimo.

Como para as funções de uma variável, quando
as derivadas primeiras forem nulas, teremos
pontos extremos que podem ser máximos ou
mínimos.
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Assim, como para as funções de uma
variável, os extremos (máximos e
mínimos)
ocorrem
numa(s)
destas
situações (pontos críticos):
 Primeiras derivadas parciais nulas;
 Primeiras derivadas parciais não definidas


Máximo, mínimo ou ponto de sela?
A verificação se um ponto crítico é máximo
ou mínimo (ou não) envolve ou estudo do
valor da função e dos sinais das primeiras
derivadas nas proximidades do ponto
crítico ou dos sinais das segundas
derivadas no ponto.
Se uma superfície possui um ponto de máximo ou
mínimo relativo, então o plano que passa pelo ponto é
paralelo ao xy e apresenta derivadas na direção x e
na direção y nulas, ou seja:
z
f
f
 x0 , y 0   0 e  x0 , y 0   0
x
y
y0
y
x0
x
Máximo local (não existe um valor de f maior próximo)
Mínimo local (não existe um valor de f menor próximo)
Um máximo local é um pico da montanha e um mínimo local é um vale
Nas funções de duas variáveis, não temos pontos
de inflexão, como em funções de uma variável.
Podemos ter um ponto de sela, quando numa
direção a função atinge um máximo num ponto e
em outra direção, um mínimo no mesmo ponto.
O nome se dá pela semelhança com uma sela de
cavalo: máximo na direção das pernas do cavaleiro
(transversal ao cavalo) e mínimo na direção
longitudinal (dorso) do cavalo.

O teorema diz que, se o discriminante é
positivo em um ponto (a,b), então a
superfície se curva da mesma maneira
em todas as direçoes: para baixo se fxx<0,
dando origem a um máximo local, e para
cima se fxx>0 dando origem a um mínimo
local. Por outro lado, se o discriminante é
negativo em (a,b), então a superfície se
curva para cima em algumas direções e
para baixo em outras direções, assim
temos um ponto de sela.
Quando temos um caso de uma função de duas
variáveis, podemos determinar as mesmas
características observando o sinal do primeiro
elemento da matriz Hessiana e seu determinante.
Se o determinante é negativo, o ponto em questão
é um ponto de sela; se o determinante é positivo,
precisamos checar o sinal do primeiro elemento:
sendo positivo, o ponto é de mínimo; caso
contrário, é de máximo. Se o determinante for zero,
não obtemos informação alguma sobre o ponto.
Não é difícil chegar a essa conclusão partindo da
análise dos autovetores, usando alguns conceitos de
álgebra linear; para simplificar, podemos lembrar
que, caso os autovetores tenham valores diferentes,
a multiplicação de ambos para o cálculo do
determinante resultará em valor negativo; do
contrário, o determinante é positivo – nesse caso,
ou ambos os termos são negativos (ponto de
mínimo) ou positivos (ponto de máximo), o que nos
força checar o sinal do primeiro elemento. Embora
isso seja obtido diretamente em uma matriz
ortogonal (onde o termo misto é nulo), não é difícil
mostrar que é válido para outras.
Multiplicadores de Lagrange

O método dos multiplicadores de
Lagrange pode ser utilizado para auxiliar a
determinar máximos e mínimos de
funções f de várias variáveis sob
determinadas
condições,
o
que
corresponde a analisar os pontos críticos
de f com domínio restrito.
Multiplicador de Lagrange:
O valor máximo M de uma função f(x, y), sobre uma
curva g(x, y) = k, ocorre quando as curvas f(x, y) = M e
g(x, y) = k se tangenciam. Portanto, para procurarmos
os pontos críticos candidatos a ponto de máximo
devemos resolver a equação f = λ g, uma vez que o
vetor gradiente em um ponto é perpendicular a uma
curva de nível passando por esse ponto. Assim, nesse
ponto, os vetores f e g devem ser paralelos.
O parâmetro λ é denominado “multiplicador de
Lagrange”. O mesmo raciocínio se aplica para o estudo
do valor mínimo de uma função f(x, y) sobre uma curva
e g(x, y) = k.