MECˆANICA CL´ASSICA I

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MECÂNICA CLÁSSICA I
3a. folha de problemas de 2007/2008
(1) Escreva as equações de Lagrange para uma partı́cula sujeita à acção de um campo conservativo em
coordenadas cartesianas.
(2) Escreva as equações de Lagrange para uma partı́cula sujeita à acção de um campo conservativo em
coordenadas polares (num espaço a 2 dimensões).
(3) Escreva e resolva as equações de Lagrange para a máquina de Atwood.
(4) Escreva e resolva as equações de Lagrange para a máquina de Atwood, considerando que a roldana
tem massa.
(5) Escreva e resolva as equações de Lagrange para um disco (ou esfera, ou anel, ou cilindro) homogénio
de massa m, raio r e momento de inércia I = kmr 2 (em que k é uma constante - raio de giração), que
rola sem escorregar num plano inclinado que faz um ângulo θ com a horizontal segundo a direcção
de máxima inclinação.
(6) Considere os seguintes sistemas (em todos os sistemas envolvendo pêndulos excepto na alı́nea a), o
movimento do pêndulo é constrangido a efectuar-se num plano vertical):
(a) um pêndulo esférico;
(b) um pêndulo elástico plano;
(c) um pêndulo duplo plano;
(d) um pêndulo plano cujo ponto de suporte se move com movimento rectilı́neo uniforme vertical
descendente;
(e) um pêndulo plano cujo ponto de suporte se move com movimento circular uniforme num plano
vertical (plano esse que é também o plano do movimento do pêndulo);
(f) um pêndulo plano cujo ponto de suporte se move com movimento harmónico simples segundo
uma direcção horizontal. Supõe-se que o plano vertical em que se move o pêndulo também
contém a recta onde se move o ponto de suporte;
(g) um pêndulo plano cujo ponto de suporte se move com movimento harmónico simples segundo
uma direcção vertical;
(h) um pêndulo plano de massa m2 com o ponto de suporte ligado a uma partı́cula de massa m1 ,
que se move sem atrito sobre uma recta horizontal. Supõe-se que o movimento de ambas as
partı́culas se efectua no mesmo plano vertical;
(i) um pêndulo plano de massa m2 com o ponto de suporte ligado a uma partı́cula de massa
m1 , que se move sem atrito sobre uma recta horizontal ligada a uma mola elástica cuja outra
extremidade está fixa. Supõe-se que o movimento de ambas as partı́culas se efectua no mesmo
plano vertical;
(j) uma anilha que se move sem atrito sobre um arame com a forma de uma recta horizontal e que
roda com uma velocidade angular constante em torno de um eixo vertical;
(k) uma anilha ligada a uma mola elástica com a outra extremidade fixa, que se move sem atrito
sobre um arame com a forma de uma recta horizontal, o qual roda com velocidade angular
constante em torno de um eixo vertical;
(l) uma anilha sujeita ao campo gravı́tico, que se move sem atrito sobre um arame com a forma de
uma recta inclinada que faz um ângulo α com a vertical, o qual roda com velocidade angular
constante ~
ω em torno de um eixo vertical.
Para cada alı́nea,
A - classifique as suas ligações.
B - Quantos graus de liberdade tem o sistema?
C - Escolha as suas coordenadas generalizadas e escreva as expressões para a energia cinética e para
a energia potencial em função destas coordenadas.
D - Escreva as equações de Lagrange para esse sistema.
E - A função h é a energia do sistema?
F - A função h mantém-se constante? E a energia?
1
1
m1
2
m2
6.a)
6.b)
6.c)
v
m
m
m
6.d)
6.e)
6.f)
m1
m1
m
m2
6.h)
z
z
6.i)
x
6.g)
m2
y
ω
y
y
z
x
α
ω
x
6.j)
6.k)
6.l)