Cap. 24

24
O VETOR DE POYNTING
24.1 – Transmissão de energia em uma onda plana
Considere uma onda eletromagnética plana se propagando na direção perpendicular a esta página
(figura 24.1). Podemos considerar que esta onda é um arranjo de “células-de-campo”. Cada célula
tendo largura e comprimento unitários, podemos escrever para a tensão V:
V  E  1  E (V )
(24.1)
I  H  1  H (A )
(24.2)
Analogamente para a corrente I:
Pela teoria de circuitos, a potência transmitida em uma célula é dada por:
P  VI  EH ( W )
(24.3)
Essa é a energia transmitida por unidade de área, indicada de forma vetorial por:
  
P  E H
(24.4)
A equação (24.4) representa o vetor de Poynting (John Henry Poynting, 1852-1914), cuja dedução
matemática mais detalhada será feita na seção a seguir.
E
V = E1
I = H1
Figura 24.1 – Onda eletromagnética plana se propagando perpendicularmente ao papel.
24.2 – O Vetor de Poynting
Sejam as equações de Maxwell em rotacional:


B
 E  
t
(24.5)

 
D
H J 
t
(24.6)


Multiplicando escalarmente (24.5) por H e (24.6) por E , vem respectivamente:



 B
H  E   H 
t
(24.7)


  


D

E    H  E  J 

t 

(24.8)
Subtraindo (24.8) de (24.7):



 

 B    D 

H E  E  H  H
 E  J 

t
t 

(24.9)
A partir de uma propriedade do cálculo vetorial, podemos escrever que:

 

 
H  E  E   H    E H


(24.10)
Portanto:


 
 B    D
  E H   H
 E  J E 
t
t


(24.11)
A equação (24.11) pode ser reescrita como:


 
 H
 E
  E  H   E2  H 
 E 
t
t


(24.12)
Onde foram utilizadas as relações:


J  E


B  H


D  E
Considerando que:


 H
 H
  
 2
HH  H
 H

H
t
t
t
t
 
 
(24.13)
e:


 E
 E
  
 2
E E  E 
 E

E
t
t
t
t
 
 
(24.14)
A equação (24.12) fica:
 
 1
  1

  E  H   E 2   H2    E 2 
t  2
 t  2



(24.15)
Integrando (24.15) em um volume v:
 

  E  H dv   E 2dv 
v
v
t
 


1
1

2
2
 2 H dv  t  2 E dv
v
(24.16)
v
Aplicando ao primeiro membro da equação (24.16) o teorema da divergência, e invertendo os sinais:




1
1
 E  H  ds   E dv  t  2 H dv  t  2 E dv
s

2
v

2
v
2
(24.17)
v
 
A equação (24.17) recebe o nome de Teorema de Poynting. O produto vetorial E  H é o vetor de
Poynting. O primeiro membro da equação (24.17) é o fluxo total de energia que entra em uma
superfície fechada S. No segundo membro, o primeiro termo representa a potencia dissipada por
efeito Joule (perdas), o segundo termo representa a variação de energia armazenada no campo
magnético e o terceiro termo representa a variação da energia armazenada no campo elétrico.
Exemplo 24.1
Um condutor cilíndrico de raio a metros é percorrido por uma corrente contínua i ampères num meio
de condutividade  S/m. Conferir o teorema de Poynting para um volume correspondente a  metros
de fio.
Solução
E
H
i
EH
a

Figura 24.2 – fluxo de energia em um condutor com corrente i
No caso, os campos elétrico e magnético são
estáticos e a equação (24.17) se reduz a:




 E  H  ds   E dv
s
E
2
v



J
i

 a2 

 2
 E  H  ds    EHds   
s
s
0 0
i
i
ad d
a 2  2a
Magnitude do campo magnético:
H
i
2a
Magnitude do campo elétrico:
 

   E  H  ds 
 
s

i2
  a2
  Ri2
que é a energia dissipada por efeito Joule num
resistor de geometria cilíndrica.
24.3 – Valor médio do vetor de Poynting
O fluxo do vetor de Poynting sobre uma área representa a potência instantânea atravessando essa
área. O valor médio do vetor de Poynting é obtido integrando-se o vetor de Poynting em um período,
e dividindo por um período (definição clássica do valor médio de uma função periódica ). Ele também
pode ser obtido numa notação complexa como:
Pm 
1
E H cos  W / m2
2
(24.18)


Onde  é o ângulo de defasagem entre E e H .
Exemplo 24.2
No espaço livre E( z, t )  50 cos(t   z) V/m. Calcule a potência média que atravessa uma área
circular de 2,5 m de raio, pertencente a um plano z = cte.
Solução
H
E
50

cost  z 
 120
H  0,133 cost   z 


Não existe defasagem entre E e H . Portanto:
Pm 
1
 50  0,133  3,325 W / m 2
2
Ptotal  3,325    2,5 2  65,1 W