O Plano • A determinação de um plano pode ser dada por meio de um ponto do plano e um vetor perpendicular a ele. Esse vetor é chamado de vetor normal ao plano. Seja P0 x0 , y0 , z0 e P( x, y, z ) pontos do plano; Seja o vetor n (a, b, c) o vetor normal a este plano; P0 e P formam um vetor do plano e como n é ortogonal ao plano. Equação Geral do Plano A equação geral do plano é da seguinte forma: ax by cz d 0 Observações: a) Qualquer vetor kn, n 0 e k , kn é também normal ao plano. b) Pontos do plano podem ser obtidos atribuindo-se valores arbitrários para duas variáveis e encontrando-se o valor da terceira. 1) Obtenha a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2, 1,3) e tem n (3, 2, 4) como vetor normal. x 5 3t 2) A reta r : y 4 2t é ortogonal ao plano que passa pelo ponto A(1,3,2) . z 1 t Determine a equação geral de . Determine a equação geral do plano representado na figura a seguir: Escreva uma equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1,3) e é paralelo ao plano : 3x 4 y 2 z 5 0 . Equação Vetorial A x0 , y0 , z0 u a1 , b1 , c1 e v a2 , b2 , c2 ; u e v / / P ( x, y , z ) AP, u e v são coplanares P P A hu tv, h e t P A hu tv ( x, y, z ) x0 , y0 , z0 h a1 , b1 , c1 t a2 , b2 , c2 Equação vetorial do plano ( x, y, z ) x0 a1h a2t , y0 b1h b2t , z0 c1h c2t x x0 a1h a2t : y y0 b1h b2t z z c hc t 0 1 2 Equações paramétricas do plano 5) Seja o plano que passa pelo ponto A(2, 2, 1) e é paralelo aos vetores u (2, 3,1) e v 1,5, 3 . Obtenha uma equação vetorial e um sistema de equações paramétricas de . 6) Dado o plano determinado pelos pontos A(1, 1, 2), B(2,1, 3) e C (1, 2, 6) obtenha um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de . x 2 y z 3 2) 3x y z 1 2 x 4 y 2 z 6 2 x 4 y 10 z 6 3) 3 x 6 y 15 z 11 1 2 4 x 5 4) 2 - 1 2 y 8 3 - 3 - 1 z 7 Exercícios Sugeridos • Vetores e Geometria Analítica - Págs.: 141 a 149 (1 a 23)