A energia eletromagnética no Sistema Internacional de unidades

A energia eletromagnética no Sistema Internacional de unidades
Em uma postagem anterior, A conservação de energia em eletromagnetismo, apresentei a conservação de energia
no eletromagnetismo, estabelecendo o teorema de Poynting. No entanto, naquela ocasião, tudo foi feito no
sistema CGS de unidades. Na presente postagem vamos refazer a demonstração do mesmo teorema, mas no
sistema MKS e fazendo menção às energias potenciais armazenadas nos campos E e B estáticos.
No caso estático, a energia eletrostática armazenada no campo elétrico é dada por
ˆ
1
d3 r D · E,
Ue =
2 V
onde V é o volume do espaço onde há campo eletrostático, e a energia magnetostática armazenada no campo
magnético é dada por
ˆ
1
d3 r B · H,
Um =
2 V
onde V é o volume do espaço onde há campo magnetostático. Estamos considerando meios homogêneos, lineares
e isotrópicos. Nesta postagem apresentamos a dedução da equação que dá o balanço da energia no caso geral,
não estático, e veremos que as expressões acima ainda podem ser consideradas como as energias potenciais
armazenadas nos campos, mas não necessariamente devem ser conservadas em um volume V .
A força de Lorentz para uma carga puntiforme q é dada por
qE + qv × B,
F =
onde v é o vetor velocidade da partícula carregada. Inúmeros experimentos têm intensificado a crença generalizada de que essa força vale também para o caso não estático e, portanto, podemos considerá-la para determinar o
balanço energético entre uma distribuição de matéria carregada e os campos E e B. Se a matéria é caracterizada
pelas densidades ρ e J, então a força sobre um elemento de volume d3 r de matéria é dada por
= d3 r (ρE + ρv × B)
dF
e, como
J
= ρv,
segue que
dF =
d3 r (ρE + J × B) .
Neste ponto é importante enfatizarmos que v, no caso contínuo, é o campo de velocidades da matéria, isto é,
no ponto r e instante t, temos v = v (r, t).
O trabalho que a força elétrica faz sobre a carga dq = ρd3 r por unidade de tempo é a potência mecânica
transferida dos campos para a matéria e é dada por
v · dF
= ρv · Ed3 r
= J · Ed3 r.
Notemos que a força magnética não executa trabalho sobre a matéria. Da lei de Ampère & Maxwell segue que
a densidade de corrente pode ser expressa em termos dos campos:
J
=
∇×H−
∂D
.
∂t
Assim,
J·E =
=
∂D
·E
∇×H−
∂t
∂D
E · (∇ × H) − E ·
.
∂t
1
Considerando que
D
= εE,
podemos escrever
E·
∂D
∂t
=
1 ∂ (D · E)
.
2
∂t
Também, usando a convenção de Einstein, obtemos
E · (∇ × H)
=
Ei (∇ × H)i
=
Ei εijk ∂j Hk
=
εijk ∂j (Ei Hk ) − Hk εijk ∂j Ei
=
−εjik ∂j (Ei Hk ) + Hk εkji ∂j Ei
=
−∇ · (E × H) + H · (∇ × E)
∂B
,
−∇ · (E × H) − H ·
∂t
=
onde usamos a lei da indução de Faraday,
∇×E =
−
∂B
.
∂t
Considerando que
B = µH,
podemos escrever:
H·
∂B
∂t
=
1 ∂ (B · H)
.
2
∂t
Com esses resultados, obtemos
∂D
∂t
1 ∂ (B · H) 1 ∂ (D · E)
= −∇ · (E × H) −
−
2
∂t
2
∂t
1 ∂ (B · H + D · E)
= −∇ · (E × H) −
.
2
∂t
A taxa de variação da energia cinética da matéria carregada é dada por
ˆ
dEc
=
d3 r J · E
dt
ˆV
1 ∂ (B · H + D · E)
=
d3 r −∇ · (E × H) −
2
∂t
V
ˆ
ˆ
∂ (B · H + D · E)
1
d3 r
= −
d3 r ∇ · (E × H) −
2
∂t
V
ˆ
˛V
d 1
= −
da n̂ · (E × H) −
d3 r (B · H + D · E)
dt 2 V
S(V )
˛
d
= −
da n̂ · S −
(Ue + Um ) ,
dt
S(V )
J · E = E · (∇ × H) − E ·
onde S (V ) é a superfície fechada que constitui a fronteira da região V e definimos o vetor de Poynting como
S
= E × H.
Logo, o balanço de energia dentro do volume V é dado por:
d (Ec + Ue + Um )
dt
˛
= −
da n̂ · S.
S(V )
Em outras palavras, essa equação mostra que, em uma região V do espaço, a energia cinética da matéria somada
com a energia total armazenada nos campos será conservada se e somente se o fluxo do vetor de Poynting sobre
a fronteira da região for nulo. Essa equação é também conhecida como o teorema de Poynting.
2
Bibliografia
[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira
edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).
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