O eletromagnetismo Clássico

O eletromagnetismo
Clássico
Esta aula é o fechamento do que hoje conhecemos
como o eletromagnetismo clássico. Encerraremos
esta disciplina apresentando um resumo do
panorama da teoria eletromagnética do início do
Século XX. Os temas discutidos serão
As leis de Maxwell.
● O vetor de Poynting
●
Com isso teremos tratados os 27 itens do programa e
mais o tema sobre o transporte de energia
eletromagnética a partir de ondas.
As equações que “sabemos”
Até o momento temos quatro equações que descrevem o
campo elétrico e magnético e as mesmas podem ser
descritas em duas representações, a integral e a
diferencial.
Forma integral
Forma diferencial
q
⃗
∮S E⋅n^ d S= ϵ
ρ
⃗
⃗
∇⋅E = ϵ
Lei de Gauss
(Equação de
Poison)
∮S ⃗B⋅^n d S=0
⃗ ⃗
∇⋅
B=?
Sem nome ou
Gauss
Magnetismo
0
∮C B⃗⋅d ⃗l =μ 0 IC
∮C ⃗E⋅d ⃗l =−∫S
⃗
∂B
⋅^n dS
∂t
0
⃗ ⃗
∇×
B =?
⃗ E
⃗ =?
∇×
Lei de Ampère
Lei de Faraday
Ainda sobre o que sabemos
Devemos lembrar do equivalente da lei de Newton que é a
equação de Lorentz
⃗ =q( ⃗
⃗)
F
E + ⃗v × B
Que possui também a forma para densidade de força
⃗f =ρ E
⃗ + ⃗J × ⃗
B
Em um dielétrico não teremos densidade de cargas livres, mas
teremos uma densidade de carga de polarização dada por:
⃗ ⃗
ρ p=− ∇⋅
P
O deslocamento destas cargas representa uma corrente de
polarização, de densidade dada por:
−∂ P
⃗
J p=
∂t
Que satisfaz a equação de continuidade
−∂ρ P
⃗
∇⋅J⃗p=
∂t
Como a carga de polarização também produz um campo
elétrico, a equação de Poisson, dentro de um dielétrico, fica
ρ+ρ p
⃗
⃗=
∇⋅E
ϵ
0
Que equivale a definição do vetor deslocamento elétrico D,
dado por
⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗
∇⋅(ϵ
0 E + P )= ∇⋅D
Você consegue perceber que está
faltando algo nas equações?
Temos uma corrente que surge, não sabemos pela atuação do
campo de polarização que gera a corrente ou o contrário, mas
surge um campo similar ao elétrico. Sendo assim. Deve existir um
magnético associado.
Então, Maxwell corrigiu a lei de Ampère num meio dielétrico.
⃗
∂
P
⃗
⃗ =μ0 ( ⃗J + J⃗p )=μ 0 ⃗J +μ 0
∇× B
∂t
No entanto, se você pensa de maneira mais geral ainda existe
um problema se pensarmos em situação onde o campo é
gerado por um capacitor.
E finalmente teríamos a nova lei
As equações ficaram com a seguinte forma.
q
⃗
∮S E⋅n^ d S= ϵ
ρ
⃗
⃗
∇⋅E = ϵ
∮S ⃗B⋅^n d S=0
⃗ ⃗
∇⋅
B=0
0
⃗
∂
E
∮C B⃗⋅d ⃗l =μ 0 IC +μ 0 ϵ0 ∂t
∮C ⃗E⋅d ⃗l =−∫S
⃗
∂B
⋅^n dS
∂t
0
⃗
∂
E
⃗
∇× ⃗
B =μ 0 ⃗J +μ 0 ϵ 0
∂t
−∂B
⃗
⃗
∇× E =
∂t
E as implicações?
Com isso se comprovava que o campo magnético também
causa uma variação em um campo elétrico.
Posteriormente, em relatividade, veremos que esta
“fenomenologia” leva a uma equação de ondas para o campo
elétrico e magnético, mas basta você aceitar que isto é
verdade por enquanto.
Outra questão interessante é pensar na energia armazenada
no campo. No livro de Moysés temos uma descrição da fala de
Maxwell sobre isso, tente fazer a associação com o que você
assistiu na série “O universo Mecânico”.
Vamos lembrar desta energia como uma densidade no
espaço.
ϵ0 2 1 2
u=ue +um= E +
B
2
2μ 0
O vetor de Poynting
Vamos pegar a variação temporal desta densidade de energia
∂U
=.. .
∂t
Vamos escrever isto para chegar na famosa expressão.
∂U ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
= J⋅E+ ∇⋅S
∂t
Onde o vetor S é:
⃗S≡ μ1 ⃗
⃗
E×
B
0
Agora, eu estou a disposição para
tirar as dúvidas da lista, caso
contrário...
Podemos falar: