ficha 1

Análise Complexa e Equações Diferenciais
2 Semestre 2015/2016
o
¯
Cursos: MEBiol, MEAmbi, MEQ
Ficha de Problemas no 1
Números complexos
1. Calcule o valor dos números complexos apresentando o resultado na forma algébrica, isto é
na forma a + bi, a, b ∈ R.
√ 3
1
1
1−i
2
(a)
(b)
(c)
(d)
1+i 3
−i
(e) 2i
i
1+i
1 − 3i
2
1 − αi
20 + 10i
(g) (1 + 2i)2 + 4i3
(h)
com α ∈ R
(f)
(1 + i)(2 − i)
1 + αi
2. Escreva uma expressão da forma reiθ , para cada um dos números complexos
√
√
√
(a) i3
(b)
2(1 + i)
(c)
3−i
(d)
2 − 2 3i
(e) (1 − i)−1
(f)
√
( 3 − i)(1 + i)
(g) (1 +
√
3i)
√
3 2 + 2i
(i) √
− 2 − 2i/3
√
i 2
(h)
4 + 4i
3
3. Escreva uma expressão da forma x + iy, (x, y ∈ R), para cada um dos números complexos
(a)
eπ i/4
4. Se z1 = − 12 +
(b)
√
3
i
2
5e−π i
(c)
2e3 π i/2
(d)
determine os valores de z1 z̄1 , (z¯1 )4 e de
5. Calcule, para n = 1, 2, 3, ...,
n
1−i
(a) in
(b)
1+i
6. Mostre que para x ∈ R se tem
(c)
e4 π i/3
√
5
(e)
z1 .
(1 + i)n + (1 − i)n
√
1 + x2 + ix
√
=i
x − i 1 + x2
7. Mostre que, para todos os complexos z1 , z2
z1 + z2 = z1 + z2
,
z 1
z2
=
z1
z2
e7 π i/6
8. Encontre todos os valores da raiz
p
√
√
3
i
(b)
2 − 2 3i
(a)
√
4
(c)
−1
(d)
p
√
3
√
2+i 2
9. Mostre que os pontos do plano de Argand representados pelos números complexos z1 = 2+i,
z2 = 4 + 3i, z3 = 2 + 5i e z4 = 3i representam os vértices de um quadrado.
10. Determine as soluções das seguintes equações:
(a)
(1 − z)6 = (1 + z)6
(b)
z 2 + 2z + 5 = 0
(c)
z 4 − 3(1 + 2i)z 2 − 7 + 9i = 0
(d)
(e)
(f)
(g)
1 − z2 + z4 − z6 = 0
1 + z + z 2 + ... + z 7 = 0
z 2 + z̄ − 2 = 0
z 4 − 4z 3 + 6z 2 − 4z − 15 = 0
11. Esboce os subconjuntos de C dados por:
(a)
|z + 2| = 6
(d)
|z + 2i| ≥ 2
(g)
Re z 6= 0
(b)
(e)
(h)
|z − 3i| = |z + i|
(c)
|z − 1| ≥ |z − 1 − i|
1 < |z − 1| < 2
2
(i)
Im(z + i) < 2
(f)
Im[(z + i)/2i] < 0
|z|2 > z + z
Soluções
1. (a) −i
2. (a) e3πi/2
(g) 8eiπ
3. (a)
(c) 51 /1 + 3i)
(b) −i
√
2
(1
2
(b) 2eiπ/4
(h) 14 eiπ/4
+ i)
4πi/3
4. z1 z̄1 = 1, (z¯1 ) = e
5. (a)
cos nπ
+ i sen nπ
2
2
(b)(−i)n
(c) 2e−iπ/6
(e) 2 −i
(d)4e−iπ/3
(f) 7 + i
(e)
√1 eiπ/4
2
2
−2αi
(g) −3 (h) 1−α
1+α2
√
(f) 2 2eiπ/12
(i) 3 eiπ .
(b)−5
4
(d) −8
(d)− 12 1 +
(c) −2i
√
5
i
2π +2kπ
3
5
z1 = e

1
se



i
se
=
−1 se



−i se
e
√
(c)2( 2)n cos nπ
4
√ 3i
(e)− 12
√
3+i .
com k = 0, 1, 2, 3, 4.
n = 4k
n = 4k + 1
n = 4k + 2
n = 4k + 3
para k ∈ N0
6.
7.
8. (a) {eiπ/6 , e5πi/6 , −i} (bb){± 2e−πi/6}
√
√
√
(d){ 3 2 eiπ/12 , 3 2 e3iπ/4 , 3 2 e17iπ/12 }
(c){e−iπ/4, eiπ/4 , e3πi/4 , e5πi/4 }
9. Verifique que os comprimentos dos lados do polı́gono e das suas diagonais são iguais; em
alternativa, considere os pontos wj = zj − (2 + 3i), j = 1, 2, 3, 4 e verifique que wj4 tem o
mesmo valor para j = 1, 2, 3, 4.
√
√
√
√
10. (a) z ∈ {0. i 3, − i 3, √i3 , − √i3 } (b)z = −1 ± 2i (c) ± 1 + 3i, ± 2 + 3i
(d) z ∈ {−1, 1, e−iπ/4 , eiπ/4 , e3πi/4 , e5πi/4 } (e) z ∈ {−1, i, −i, e−iπ/4 , eiπ/4 , e3πi/4 , e5πi/4 }
(f) z ∈ {1, −2} (g) z ∈ {3, 1 + 2i, −1, 1 − 2i}
11. (a) (x + 2)2 + y 2 = 62
(e) Im z ≥
1
2
(b) Im z = 1
(f) Re z > 0
(c) Im z < 1
(g) Re z 6= 0
(d)x2 + (y + 2)2 ≥ 4
(h)A região anular compreendida entre as circunferências (x−1)2 +y 2 = 1 e (x−1)2 +y 2 = 4
(não inclui as circunf.). (i) (x − 1)2 + y 2 > 1
3