sugestão de solução p1

SUGESTÃO DE SOLUÇÃO P1 (13/10/2009)
MA-224 Z: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Pergunta 1. Mostrar que se F = 2n + 1 é um número primo, então n é uma potência de
2.
Solução 1. Escrevamos n = 2a b com (a, b) = 1 (Fatoração única em inteiros). Temos
F = (2a )b + 1 = (2a + 1)((2a )b−1 − (2a )b−2 + . . . + 1)
pois b é impar. Assem, se b > 1, F não pode ser primo.
Pergunta 2. É a seguente afirmação , falsa ou verdadeira?
“Se a, m ≥ 2 são números inteiros com (a, m) = 1, então m | (1 + a + . . . + aφ(m)−1 ) ”.
(Aqui φ é a função de Euler).
Solução 2. É falsa, por exemplo considere a = 1 e m = 4.
Pergunta 3. Prove que o produto de 4 números naturais consecutivos, acrescido de 1, é
um quadrado perfeito.
Solução 3. Sejam x, x + 1, x + 2, x + 3, 4 números naturais consecutivos. Logo
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x2 + 3x + 1)2 .
Pergunta 4. Seja n ∈ N0 . Prove que Fn = 34n+2 + 2 · 43n+1 é múltiplo de 17.
Solução 4. Por indução . Temos F0 = 32 + 2 · 4 = 17. Suponhamos que Fn = 0 em
Z17 (ou Fn ≡ 0 (mod 17)). Por demostrar que Fn+1 = 0 em Z17 . Escrevemos (usando a
indução )
Fn+1 = 34 · 34n+2 + 2 · 43 · 43n+1 = 13(−2 · 43n+1 ) + 2 · 13 · 43n+1 = 0 .
Pergunta 5. Para quais valores n ∈ N0 , Fn = n4 + 4 é composto ?
1
2
Solução 5. Fn = n4 + 4 + 4n2 − 4n2 = (n2 + 2)2 − 4n2 e assem
Fn = (n2 + 2n + 2)(n2 − 2n + 2) .
Os fatores de Fn são maiores que 1 para n = 0 ou n ≥ 2. Mas F1 = 5.
Pergunta 6. Achar os números inteiros m, n para os quais 2m − 2n = 1984.
Solução 6. Se m ≤ n, então 1984 ≤ 0. Assem buscamos inteiros com m > n. A equação
é:
2n (2m−n − 1) = 26 (25 − 1) .
Pela decomposição única, 2n = 26 ou seja n = 6 e pelo tanto m = 11.