Treinamento Olímpico - Produtos Notáveis e Fatoração

Treinamento Olı́mpico
Prof. Gustavo Adolfo Soares
PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
1o problema: (BQ 2015)
(a) José aprendeu um método para calcular produtos de dois números de uma forma mais rápida
baseado na fatoração:
(n − k)(n + k) = n2 − k 2 .
Para calcular 23 · 17, ele escolhe n = 20, k = 3 e calcula:
23 · 17 = 202 − 32 = 400 − 9 = 391.
√
Determine, sem usar a calculadora, o valor de 1001 · 1003 + 1.
(b) Verifique que (n(n + 3) + 1)2 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1.
(c) Determine, sem usar a calculadora, o valor de:
p
(2014)(2015)(2016)(2017) + 1.
2o problema: (BQ 2015) Uma técnica muito usada para calcular somatórios é a Soma Telescópica.
Ela consiste em ”decompor”as parcelas de uma soma em partes que se cancelem. Por exemplo,
1
1
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
4
+
+
+
=
−
+
−
+
−
+
−
=1− =
1·2 2·3 3·4 4·5
1 2
2 3
3 4
4 5
5
5
Com esta técnica, podemos achar uma forma de somar números consecutivos. Vejamos:
(a) Contando os números ı́mpares de um por um e começando pelo 1, verifique que o número na
posição m é igual a m2 − (m − 1)2 .
(b) Calcule a soma de todos os números ı́mpares entre 1000 e 2014.
3o problema: (BQ 2016)
(a) Verifique que (x − 1)(x + 1) + 1 = x2 .
q
p
√
(b) Encontre o valor de 1 + 2014 1 + 2015 1 + 2016 · 2018.
4o problema: (BQ 2016) Resolva a equação
q
q
√
√
x+3−4 x−1+ x+8−6 x−1=1
5o problema: Sejam a e b números reais positivos quaisquer. Determine o valor da expressão
q
√
ab
+ 8
2
q
√
ab+16
ab
8
6o problema: (BQ 2016) Considere a soma das três tabelas a seguir. A primeira representa n
linhas, sendo a primeira com n números iguais a n, a segunda com n − 1 números iguais a n − 1 e
assim por diante. Na segunda, temos uma distribuição de números parecida, mas em colunas em vez
de linhas. Já na terceira, temos estes números em diagonais, a primeira diagonal possui um número
1, a segunda dois números iguais a 2, a terceira três números iguais a 3 e assim por diante.
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O resultado da soma das três tabelas será uma tabela com a mesma quantidade de números e com
cada posição sendo o resultado da soma das posições correspondentes nas três tabelas. Por exemplo,
no canto superior esquerdo, teremos o número n + n + 1 = 2n + 1.
(a) Um modo de verificar quantos números tem em cada tabela é virar uma delas de ponta cabeça e
juntar com outra para formar um retângulo com n linhas e o dobro de números de uma tabela.
Sabendo disto, quantos números existem em uma tabela?
(b) Quantas vezes aparece cada número k em todas as três tabelas?
(c) Para cada posição, linha i e coluna j, determine os números escritos nela nas três tabelas e na
tabela resultado.
(d) Usando as informações dos itens anteriores, verifique que
1
12 + 22 + 32 + . . . + (n − 1)2 + n2 = n(n + 1)(2n + 1)
6
7o problema: (BQ 2016) Considere a tabela de números a seguir. A primeira linha possui os
números de 1 até n. A segunda possui os números de 1 até n com cada um multiplicado por 2. As
linhas seguem esse padrão até que a última linha que apresenta n vezes cada número de 1 até n.
Vamos usá-la para calcular o valor da expressão
13 + 23 + 33 + . . . + 1003 .
Além da tabela, usaremos o fato de que
1 + 2 + 3 + ... + n =
n(n + 1)
.
2
(a) Determine a soma de todos os números da linha de número k. Com isto, determine uma
expressão para a soma de todos os números da tabela.
(b) Observe pedaços na tabela separando-a em camadas em forma de L. Os números em uma certa
camada k são: k, 2k, . . . , (k − 1)k, k 2 , (k − 1)k, 2k, k. Determine a soma dos números desta
camada em função de k.
(c) Somando os resultados de todas as camadas, chegaremos ao mesmo resultado que somando
todas as linhas. Juntando estas informações determine o valor da expressão:
13 + 23 + 33 + . . . + 1003 .
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