Cálculo Diferencial e Integral - PEMD

Notas de Aula de
Cálculo Diferencial e Integral
Volume I
Fábio Henrique de Carvalho
c 2013
Copyright Publicado por Fundação Universidade Federal do Vale do São Francisco (Univasf)
www.univasf.edu.br
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida
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por escrito dos autores.
Editoração Eletrônica: Pedro Henrique Araújo Sobral e Thiago Bonfim
Primeira impressão, abril de 2013.
R938v
Fábio Henrique de Carvalho
Juazeiro, Univasf. 2013
Inclui bibliografia
ISBN 658-62-6235-254-0
1. Calculo Diferencial e Integral. 2. Algebra Linear.
3. Calculo Numerico. 4. Geometria Analitica.
04-0357.
Sumário
1 O Limite de uma Função
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Definição de Limite . . . . . . . . . . .
1.4 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . .
1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Propriedades Operatórias dos Limites
1.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . .
1.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Limites no Infinito . . . . . . . . . . .
1.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 O Teorema do Confronto . . . . . . . .
1.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14 Continuidade . . . . . . . . . . . . . .
1.15 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . .
1.16 Exercícios Complementares . . . . . .
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iii
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1
1
3
4
7
8
9
11
12
17
18
22
22
25
26
32
34
1
O Limite de uma Função
1.1
Introdução
x2 − 5x + 4
. Sabemos que f está definida para todo x ∈ R, x 6= 1.
x−1
Porém, é possível estabelecer o que ocorre com as imagens de valores de x tão próximos de 1 quanto
desejarmos. Para tanto, há duas escolhas:
Considere a função racional f(x) =
(i) a primeira, mais rudimentar, é considerar uma sequência (ou duas) de valores de x próximos a 1 e
determinar as imagens de tais valores.
Tanto para x < 1, quanto para x > 1, observa-se que as imagens f(x) se aproximam de −3. Através de
uma lista mais abrangente de valores “próximos” de 1, nosso palpite de que as imagens se aproximam
de −3 pode ser emitido com maior convicção; porém, isso não caracterizaria uma prova matemática.
(ii) a segunda, mais precisa e eficaz neste caso, é observar que para todo x 6= 1 tem-se
(x − 1) (x − 4)
x2 − 5x + 4
=
= x − 4;
x−1
x−1
e, portanto, para valores de x próximos de 1 (sejam eles maiores ou menores que 1), f(x) se aproxima
de −3.
Obviamente, neste exemplo, não convém falar em imagem de 1 por f, já que f nem mesmo está definida
para x = 1. No entanto, o número −3 nos diz muito a respeito do comportamento da função f em torno
y
1
f
x
−2
−1
0
−1
−2
−3
−4
−5
1
2
3
4
5
x
f(x)
x
f(x)
0, 9
0, 99
0, 999
0, 9999
..
.
−3, 1
−3, 01
−3, 001
−3, 0001
..
.
1, 1
1, 01
1, 001
1, 0001
..
.
−2, 9
−2, 99
−2, 999
−2, 9999
..
.
↓
1
↓
?
↓
1
↓
?
1. O Limite de uma Função
2
da abcissa 1, para a qual f não está definida. Diremos que −3 é o limite de f quando x tende a 1 e
abordaremos tal noção num sentido mais formal na seção posterior.
Exemplo 1.1.1 (A função salto unitário)
0, se x 6 0
1, se x > 0.
Obviamente, se x se aproxima de 0 por valores menores que 0 o limite é 0 (e este é igual a f(0)).
Por outro lado, se x se se aproxima de 0 por valores maiores que 0 o limite é 1(e, portanto, diferente
de f(0) = 0).
Considere a função f(x) =
y
1
x
Exemplo 1.1.2
Considere a função
√
x−2
f(x) =
,
x−4
definida para todo x ∈ R, x 6= ±4. Para valores de x próximos de 4 (mas diferentes de 4) podemos
escrever
√
√
√
x−2
x−2
x+2
x−4
1
=√
=
·√
=
√
x−4
x−4
x+2
x+2
(x − 4) x + 2
e, portanto, quando x se aproxima de 4 o limite é 41 .
y
(4, 14 )
x
Exemplo 1.1.3
Considere a função
f(x) =
x3 + 2x2 − 2x − 1
,
2x2 + x − 3
definida para todo x ∈ R tal que x 6= 1 e x 6= −3/2. É fácil observar que
x3 + 2x2 − 2x − 1 = (x − 1) x2 + 3x + 1
e
2x2 + x − 3 = (x − 1) (2x + 3) .
Portanto, para valores de x próximos de 1 e diferentes de 1 (e também de
f(x) =
x2 + 3x + 1
.
2x + 3
20 de novembro de 2013
−3/2)
podemos escrever
1.2. Exercícios
3
Logo, enquanto x se “torna cada vez mais próximo” de 1, f(x) se “aproxima” de
5
5
= 1.
y
1
x
− 23
1
Exemplo 1.1.4 (A função maior inteiro)
Aqui, e em todo o restante do texto, TxU representará o maior inteiro menor do que ou igual a x.
Assim, se z é um inteiro, TzU = z; se r ∈ R é um não inteiro TrU é um número inteiro imediatamente
menor que r.
O gráfico da função f(x) = TxU, também chamada função escada, é uma sequência infinita de
degraus de comprimento e altura unitários, representados abaixo.
y
2
1
x
−2
−1
0
1
2
3
−1
−2
Evidentemente, se r ∈
/ Z, o limite de f quando x se aproxima de r é TrU. No entanto, se z ∈ Z,
f(x) tende a z − 1 quando x se aproxima de z e x < z e, por outro lado, f(z) tende a z quando x se
aproxima de z e x > z. Portanto, o limite de f quando x se aproxima de z não pode existir.
1.2
Exercícios
1.2.1 Com o auxílio de uma tabela de valores, faça uma estimativa do limite de f(x) quando x tende a c.
(a)
(b)
f(x) =
f(x) =
x−2
x2 + x − 6
c=2
x−3
x2 − 9
c=3
x
1, 9
1, 99
1, 999
2, 001
2, 01
2, 1
2, 9
2, 99
2, 999
3, 001
3, 01
3, 1
f(x)
x
f(x)
20 de novembro de 2013
1. O Limite de uma Função
4
(c)
(d)
√
√
x+9− 9
f(x) =
x
c=0
√
6−x−3
f(x) =
x+3
c = −3
f(x) =
(e)
f(x) =
(f)
1
(2x+1)
−
1
7
x−3
x
(x2 +1)
−
x−4
x
−0, 1
−0, 01
−0, 001
0, 001
−3, 1
−3, 01
−3, 001
−2, 999
0, 01
0, 1
f(x)
x
−2, 99
−2, 9
f(x)
c=3
x
2, 9
2, 99
2, 999
3, 001
3, 01
3, 1
2, 9
2, 99
2, 999
3, 001
3, 01
3, 1
f(x)
2
5
c=2
x
f(x)
1.2.2 Utilize mecanismos de manipulação algébrica (redução ao mesmo denominador, fatoração, “racionalização”, por exemplo) a fim de calcular o valor exato de cada um dos limites do exercício anterior.
1.2.3 Esboce o gráfico de f e identifique possíveis valores de c para os quais o limite de f quando x tende
a c não existe.

2

x + 1, x 6 1
(i) f(x) = 3x + 1, 1 < x < 3


6,
x>3


x<0
sen x,
(ii) g(x) = 1 − cos x, 0 6 x 6 π


cos x,
x>π
1.3
(iii) h(x) =
(iv) y(x)
(v) y =
x2 − 1, x < −1 ou x > 1
1 − x2 , −1 6 x 6 1
0, x < 0
1, x > 0
√
1 − x2 , x ∈ [−1, 1]
Definição de Limite
Definição 1.3.1 Seja f uma função definida na vizinhança aberta de um certo número real c (f não
necessariamente está definida na abcissa c). Para que f tenha limite L quando x tende a c é necessário
e suficiente que, para todo número real > 0 ( é tomado arbitrariamente pequeno), exista δ > 0, tal
que as imagens dos elementos do conjunto (c − δ, c) ∪ (c, c + δ) pela função f pertençam ao intervalo
(L − , L + ).
Em outras palavras, f tem limite L para x se aproximando de c quando valores arbitrariamente
próximos de c (por uma diferença menor que δ) tem imagens arbitrariamente próximas de L (por uma
diferença menor que ).
Graficamente:
20 de novembro de 2013
1.3. Definição de Limite
5
y
f
L+
L
L−
x
c−δ c c+δ
Em notação matemática, o limite de f é L, quando x tende a c, se ∀ > 0, ∃δ > 0 tal que
x ∈ (c − δ, c + δ), x 6= c, implica f(x) ∈ (L − , L + ).
x→c
Quando tal número real L existe, escrevemos lim f(x) = L, ou ainda f(x)−−−→L.
x→c
Exemplo 1.3.1 (Limite da Função Constante)
Considere k ∈ R uma constante. O gráfico da função f(x) = k é uma reta horizontal (abaixo
representamos o gráfico para k > 0 para efeito de ilustração).
y
(0,k)
(c,k)
f(x)=k
x
c
Temos que o limite de f quando x tende a c é, obviamente k. De fato, tomando arbitrariamente
> 0, é fácil ver que para qualquer δ > 0 escolhido (em particular, para δ = 1) as imagens dos
elementos do intervalo (c − δ, c + δ) pertencem ao intervalo (k − , k + ) (na verdade, são todas
iguais a k).
Exemplo 1.3.2 (Limite da Função Identidade)
Considere a função f(x) = x, ∀ x ∈ R. Tomando c ∈ R temos que o limite de f quando x tende a c
é igual a c.
y
f(x)=x
c
(c,c)
c
20 de novembro de 2013
x
1. O Limite de uma Função
6
De fato, dado > 0, para que f(x) ∈ (c − , c + ), isto é, c − < f(x) < c + basta
que c − < x < c + . E, portanto, se escolhermos δ = segue que x ∈ (c − δ, c + δ) implica
f(x) ∈ (c − , c + ).
Exemplo 1.3.3
lim x2 = 9.
x→3
De fato, considere > 0. Queremos mostrar que existe δ > 0 tal que
−δ < x − 3 < δ ⇒ − < x2 − 9 < .
Observe que
x2 − 9 = (x − 3) (x + 3)
e que
−δ < x − 3 < δ ⇒ 6 − δ < x + 3 < 6 + δ.
Assim, se considerarmos δ 6 1 temos 5 < x + 3 < 7 e podemos escrever |x + 3| < 7. Agora,
2
x − 9 < ⇔ |(x − 3) (x + 3)| < ⇔ |x − 3| |x + 3| < .
Logo, dado se escolhermos δ < min {1, /7} segue
−δ < x − 3 < δ ⇒ |x + 3| < 7
e
2
x − 9 = 7 |x − 3| < 7 · δ < .
y
f(x) = x2
(3,9)
x
lim x2 = 9
x→3
Exemplo 1.3.4
Considere a função f(x) =
Dado > 0,
x−3
em torno de c = 1. O limite de f quando x tende a 1 é −1.
2
x−3
< −1 + ⇔
2
−2 − 2 < x − 3 < −2 + 2 ⇔ −1 − 2 < x < 1 + 2.
−1 − <
Assim, tomando por exemplo δ = 2 segue para x ∈ (1 − δ, 1 + δ), f(x) ∈ (−1 − , −1 + ).
20 de novembro de 2013
1.4. Limites Laterais
7
y
x−3
f(x)= 2
x
(1,−1)
x−3
= −1
x→1
2
lim
1.4
Limites Laterais
Quando houver necessidade, podemos avaliar o limite de f quando x tende a c apenas para valores de
x maiores (ou menores que c). Neste caso, estaremos avaliando o limite lateral pela direita (ou pela
esquerda) de f quando x tende a c.
Definição 1.4.1 Seja f uma função. O limite de f quando x tende a c pela direita é L no caso em
que, para todo > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ (c, c + δ) implica f(x) ∈ (L − , L + ). Quando tal
x→c+
número L existe, escrevemos lim+ f(x) = L ou f(x)−−−→L.
x→c
Analogamente, o limite de f quando x tende a c pela esquerda é M no caso em que, para todo
> 0, existe δ > 0 tal que x ∈ (c − δ, c) implica f(x) ∈ (M − , M + ). Quando tal número M
x→c−
existe, escrevemos lim− f(x) = M ou f(x)−−−→M.
x→c
Obviamente, x → c+ significa que x → c e x > c; e x → c− significa que x → c e x < c.
Exemplo 1.4.1
Para a função f(x) =
0,
1,
se x 6 0
temos
se x > 0
lim f(x) = 0 e
x→0−
lim f(x) = 1.
x→0+
(Obviamente, não existe lim f(x)).
x→0
Exemplo 1.4.2
√
A função f(x) = x − 2 está definida apenas para x > 2. Portanto, só faz sentido (em R) avaliar
limites (bem como imagens) para f neste intervalo.
Em c = 2 temos
√
lim+ x − 2 = 0 (Verifique!)
x→2
mas não faz sentido avaliar o limite pela esquerda.
y
x
2
20 de novembro de 2013
1. O Limite de uma Função
8
Exemplo 1.4.3
lim
x→−3−
x+3
1
1
= lim
=− .
x2 − 9 x→−3− x − 3
6
y
x
3
(−3,− 16 )
Exemplo 1.4.4
Considere f(x) =
x + 1,
−1,
se x > 0
.
se x < 0
Temos
lim f(x) = −1 e
x→0−
lim f(x) = 1.
x→0+
y
x
Um fato importante e útil:
Teorema 1.4.1. Seja f uma função e seja c ∈ R. Então,
lim f(x) = L ⇔ lim− f(x) = lim+ f(x) = L.
x→c
x→c
x→c
(A justificativa fica como exercício).
1.5
Exercícios
1.5.1 Ache:
x2 − 4
x→0 x3 − 4x
(c) lim
x3 − 4x
x→−2 x2 − 4
(d) lim
(a) lim
(b) lim
x3 − x
x→−1 x2 − 1
(e) lim+
x3 − x
x→1 x2 − 1
(f) lim
20 de novembro de 2013
y→1
(y − 1) (y − 5)
y+2
t2 − 9
t→3 t − 3
(g) lim−
x→1
1−x
x−1
x2 − x − 12
x−4
x→4
√
y+6−3
(m) lim−
y−4
y→3
√
3
(n) lim− x + 3
(l) lim−
3h2
−h+3
h→0
7h + 6
√
y+3−2
(i) lim−
1−y
y→1
(h) lim
(j) lim+
x→2
(q)
(r)
x2 − 5x + 4
x→4 x2 − 7x + 12
√
√
x+1− 2
(p) lim−
x−1
x→1
(o) lim+
x−4
(k) lim+ √
x−2
x→4
(x + ∆x)2 − x2
∆x
lim −
(x + ∆x)3 − x3
∆x
∆x→0
∆x→0
√
x+4−2
(s) lim+
x
x→0
x→5
x−2
x2 − 6x + 8
lim +
(t) lim+
1
x+2
−
x
x→0
1
2
1.5.2 Dê uma justificativa para o Teorema 1.4.1.
1.5.3 Verifique que não existe o limite de f quando x tende a c nos casos:
(a) f(x) =

2

x 6 −1
x ,
(b) f(x) = 0,
−1 < x < 1

 2
−x , x > 1
x2 + 1, x 6 2
x + 4, x > 2
c=2
(c) f(x) =
0, x 6 0
1, x > 0
c=0
c = −1 e c = 1
1.6
Propriedades Operatórias dos Limites
Nas seções anteriores observamos que é imediata a obtenção de limites tais como lim k = k e lim x = c.
x→c
x→c
À partir disso é possível, por exemplo, afirmar que
L = lim x3 − 2x2 + 5x + 1 = c3 − 2c2 + 5c + 1
x→c
(em particular, para c = 1, temos L = 5), através das seguintes propriedades:
Teorema 1.6.1. Sejam c, k, L e M números reais e sejam f e g funções reais. Suponha lim f (x) = L e
x→c
lim g (x) = M, temos
x→c
(i) lim kf (x) = kL.
x→c
(ii) lim [f (x) ± g (x)] = L ± M.
x→c
(iii) lim f (x) g (x) = LM.
x→c
(iv) lim
x→c
f (x)
L
=
(desde que M 6= 0).
g (x)
M
Demonstração :
(i) Será deixada como exercício.
(ii) Seja > 0. Como lim f (x) = L e lim g (x) = M existem δ1 , δ2 > 0 tais que
x→c
x→c
c − δ1 < x < c + δ1 ⇒ L −
e
c − δ2 < x < c + δ2 ⇒ M −
< f (x) < L +
2
2
(1.6.1)
< g (x) < M + .
2
2
(1.6.2)
1. O Limite de uma Função
10
Considere δ = min {δ1 , δ2 }, assim valem simultaneamente as duas desigualdades para f (x) e g (x).
Logo, somando membro a membro, temos
(L + M) − < f (x) + g (x) < (L + M) + .
Agora, observando que
< −g (x) < −M +
2
2
tem-se, somando à desigualdade em (1.6.1),
−M −
(L − M) − < f (x) − g (x) < (L − M) + .
Portanto,
lim [f (x) ± g (x)] = L ± M.
x→c
(iii) Provemos inicialmente que, se lim h (x) = 0 então lim [f (x) · h (x)] = 0 (por hipótese, lim f (x) = L).
x→c
x→c
x→c
De fato, seja 0 < < 1. Existe δ1 > 0 tal que 0 < |x − c| < δ1 implica |f (x) − L| < 1. Mas,
|f (x)| − |L| < |f (x) − L| < < 1. Logo,
|f (x)| < 1 + |L| .
(1.6.3)
Por outro lado, existe δ2 > 0 tal que |x − c| < δ2 implica
h (x) <
.
1 + |L|
(1.6.4)
Portanto, tomando δ = min {δ1 , δ2 } valem ambas as desigualdades (1.6.3) e (1.6.4) e 0 < |x − c| < δ
implica
|f (x) h (x)| = |f (x)| |h (x)| < (1 + |L|) ·
= .
1 + |L|
Agora, se lim f (x) = L e lim g (x) = M, podemos verificar imediatamente pela propriedade (ii) que
x→c
x→c
a função
f (x) · g (x) = [f (x) − L] · M + f (x) [g (x) − M] + LM
tende a LM quando x tende c.
(iv) Primeiramente mostraremos que, se lim g (x) = M e M 6= 0 então lim
x→c
Seja 0 < <
x→c
|M|
. Existe δ > 0 tal que 0 < |x − c| < δ implica
2
|g (x) − M| < · |M| ·
e
|g (x)| >
2M − |M|
2
1
1
=
.
g (x)
M
(2M − |M|)
2
(Justifique!)
Logo,
1
· |M| 2M−|M|
1 M − g (x) |g (x) − M|
2
−
=
=
<
= .
g (x) M Mg (x) 2M−|M|
|M| |g (x)|
|M|
2
Da igualdade
f (x)
1
1
1
L
= [f (x) − L] ·
+ f (x)
−
+
g (x)
M
g (x) M
M
conclui-se, de modo análogo ao caso anterior, a validade de (iv).
Exemplo 1.6.1
Sabemos das seções anteriores que lim x = c. Portanto
x→c
(i) lim ax = a lim x = a · c, ∀a ∈ R;
x→c
x→c
20 de novembro de 2013
1.7. Exercícios
11
(ii) lim x2 = lim [x · x] =
x→c
x→c
lim x · lim x = c · c = c2 ;
x→c
x→c
(iii) lim 3x2 − 4x = 3 lim x2 − 4 lim x = 3 · (1) − 4 · (1) = −1.
x→1
x→1
x→1
Evidentemente, utilizando a associatividade na adição e na multiplicação em R, podemos estender os
itens (ii) e (iii) do Teorema 1.6.1 a mais que duas parcelas e fatores. De fato, por exemplo, se f1 , f2 , . . . , fn
são funções reais tais que
lim f1 (x) = L1 , lim f2 (x) = L2 , . . . , lim fn (x) = Ln ,
x→c
x→c
x→c
então
lim [f1 (x) f2 (x) f3 (x) · · · fn (x)] = lim f1 (x) lim [f2 (x) f3 (x) · · · fn (x)]
x→c
x→c
x→c
= L1 · lim f2 (x) lim [f3 (x) · · · fn (x)]
x→c
x→c
= · · · = L1 L2 L3 · · · Ln ,
onde em cada uma das igualdades foi aplicado o Teorema 1.6.1.
Exemplo 1.6.2
Da observação acima segue que lim xn = cn , ∀n ∈ N.
x→c
Assim
lim x4 − 2 = 1, lim 4x3 − 7x = 0 e
x→0
x→2
1.7
x3 − 1
= 0.
x→1 x2 + 1
lim
Exercícios
1.7.1 Sejam f, g, h funções tais que
lim f (x) = 5,
lim g (x) = 4 e
x→3
x→3
lim h (x) = 3.
x→3
Determine:
(a) lim [3f (x) − 4g (x) + 5]
(d) lim
x→3
[f (x)]2 − [g (x)]2
[h (x)]2
x→3
(b) lim [(3f (x) − 5) (h (x) + 2)]
(e) lim
x→3
x→3
−f (x) [g (x) − h (x) + 2]
6−x
2f (x) − 3g (x)
x→3 f (x) − 4h (x)
f (x) + g (x)
x→3
h (x)
(f) lim
(c) lim
1.7.2 Mostre que se a e b são constantes arbitrárias, então
lim (ax + b) = ac + b.
x→c
Interprete o resultado graficamente e use-o para calcular:
(a) lim (2x − 3)
(c) lim (−5x − 4)
(e) lim 7x −
(b) lim 1 − 4x
(d) lim (−3x + 1)
(f)
x→1
x→1/4
x→−2
x→0
20 de novembro de 2013
x→1/2
4
3
lim (x − 2)
x→−1/2
1. O Limite de uma Função
12
1.7.3 Mostre que se m, n e p são constantes arbitrárias então
lim mx2 + nx + p = mc2 + nc + p.
x→c
Interprete o resultado graficamente e use-o para calcular:
(a) lim x2 − 2x + 5
(c) lim
x→1
(b) lim
x→−1
x→−2
−3x2 + 2x − 4
2x2 − 3x + 1
(d) lim 4x2 − 8x
x→2
(e) lim x2 + x + 1
x→1/2
(f)
lim
x→−1/2
x2 + x + 1
√
√
n
x = n c, para todo c > 0 e ∀n ∈ N, n > 2 a fim de calcular:
x→c
√
√
√
x+2
x−2
1 − x4
(a) lim 3 x − 2
√
(g) lim
(d) lim
x→4
x→1 1 − x
x→4
x−4
√
x
x−4
x−5
(b) lim √
(e) lim √
(h) lim
x→2
x→2
x
x−2
x→25 x − 5
√
2
3
√
1−x
√
x−2
√
(f)
lim
(c) lim
(i) lim
x+1
x−1
x→1 1 − x
x→9
x→8 x − 8
1.7.4 Utilize que lim
1.8
Limites Infinitos
Muito embora tenhamos definido o limite de uma função como um número real nas seções anteriores, em
muitos casos (na maior parte das vezes em uma abcissa fora do domínio), o comportamento da função é
ilimitadamente crescente ou ilimitadamente decrescente. Se faz necessário então estender o conceito de
limite de uma função. O faremos introduzindo os símbolos +∞ (ou ∞) (lê-se “mais infinito”), e −∞ (lê-se
“menos infinito”).
Definição 1.8.1 Seja f uma função definida em (a, c) ∪ (c, b).
(i) Dizemos que o limite de f é +∞ quando x tende a c no caso em que, para todo número real
M > 0 existir δ > 0 tal que 0 < |x − c| < δ implique f (x) > M.
Notação:
lim f (x) = +∞.
x→c
(ii) Dizemos que o limite de f é −∞ quando x tende a c no caso em que, para todo o número real
M > 0 existir δ > 0 tal que 0 < |x − c| < δ implique f (x) < −M.
Notação:
lim f (x) = −∞.
x→c
Em outras palavras, lim f (x) = +∞ quando f (x) torna-se tão “suficientemente grande” quanto dex→c
sejarmos (excedendo qualquer cota positiva M, fixada arbitrariamente) à medida que x se “aproxima
suficientemente” de c. Por outro lado, lim f (x) = −∞ quando f (x) torna-se tão “suficientemente pex→c
queno” (“grande” em valor absoluto) quanto desejarmos, à medida que x se aproxima de c.
Exemplo 1.8.1
20 de novembro de 2013
1.8. Limites Infinitos
13
1
não está definida em x = 0. Observe que dado qualquer M > 0 é possível
x2
1
escolher δ > 0 tal que 0 < |x| < δ ⇒ f (x) > M. De fato, fixado M > 0, para que 2 > M basta que
x
A função f (x) =
x2 <
1
1
1
⇐⇒ − √ < x < √ .
M
M
M
1
Portanto podemos tomar δ = √
e garantimos que |x| < δ ⇒ f (x) > M. Da arbitrariedade de
M
M segue lim f (x) = +∞.
x→0
Analogamente ao caso acima, mostra-se sem muita dificuldade que lim −
x→0
1
= −∞.
x2
De fato, se k é uma constante real não nula e lim f (x) = ±∞, então
x→c
lim kf (x) = k lim f (x) .
x→c
x→c
Do mesmo modo que fizemos anteriormente, podemos definir os limites laterais infinitos, como segue:
Definição 1.8.2 Seja f uma função definida em (a, c) ∪ (c, b).
(i) O limite de f é +∞ quando x tende a c pela esquerda no caso em que, para todo M > 0 existir
δ > 0 tal que c − δ < x < c implica f (x) > M.
(ii) O limite de f é +∞ quando x tende a c pela direita no caso em que, para todo M > 0 existir
δ > 0 tal que c < x < c + δ implica f (x) > M.
No primeiro caso, denotamos lim− f (x) = +∞ e, no segundo, lim+ f (x) = +∞.
x→c
x→c
Trocando f (x) > M por f (x) < −M nas definições acima é possível definir também
lim f (x) = −∞ e
x→c−
lim f (x) = −∞.
x→c+
Exemplo 1.8.2
A função f (x) =
1
1
não está definida em x = 2. Observe que, dado M > 0, tomando δ =
,
x−2
M
• se 2 − δ < x < 2 (−δ < x − 2 < 0) então f (x) < −M; e
• se 2 < x < 2 + δ (0 < x − 2 < δ) então f (x) > M.
Portanto,
lim f (x) = −∞ e
x→2−
lim f (x) = +∞.
x→2+
20 de novembro de 2013
1. O Limite de uma Função
14
y
x
2
A fim de estabelecer um paralelo com as propriedades operatórias dos limites finitos, propomos o
seguinte teorema.
Teorema 1.8.1. Considere c, L ∈ R, L 6= 0, e sejam f e g funções tais que lim f (x) = +∞ e lim g (x) = L.
x→c
x→c
Então:
(i) lim [f (x) ± g (x)] = +∞;
x→c
(ii) lim [g (x) − f (x)] = −∞;
x→c
(iii) lim [f (x) g (x)] = +∞
x→c
quando L > 0 e lim [f (x) g (x)] = −∞
quando L < 0;
x→c
f (x)
f (x)
= +∞ quando L > 0 e lim
= −∞ quando L < 0;
x→c g (x)
x→c g (x)
(iv) lim
g (x)
= 0.
x→c f (x)
(v) lim
As propriedades acima podem ser estabelecidas de modo semelhante para limites laterais e também
para o caso lim f (x) = −∞ (fazendo-se as mudanças convenientes de sinais).
x→c
Demonstração :
(i) Suponhamos L > 0 e seja M > 0.
Existem δ1 > 0 tal que 0 < |x − c| < δ1 implica f (x) > M + 1 e δ2 > 0 tal que 0 < |x − c| < δ2
implica |g (x) − L| < 1. Tomando δ = min {δ1 , δ2 } valem ambas as desigualdades f (x) > M + 1 e
−1 + L < g (x) < 1 + L, sempre que 0 < |x − c| < δ. Portanto, somando membro a membro ambas as
desigualdades, f (x) > M + 1 e g (x) > −1 + L, segue
f (x) + g (x) > (M + 1) + (−1 + L) = M + L > M.
Portanto
lim [f (x) + g (x)] = +∞.
x→c
Para o caso L < 0, basta verificar que (nos moldes acima) existe δ1 > 0 tal que 0 < |x − c| < δ1 implica
f (x) > M − L + 1 > −M e repetir os passos dados acima.
A demonstração de que lim [f (x) − g (x)] = +∞ se faz de modo análogo.
x→∞
(ii) Ver exercício 1.9.5.
(iii) Suponhamos L > 0 e L 6= 1 e seja M > 0.
Existem δ1 , δ2 > 0 tais que 0 < |x − c| < δ1 implica f (x) >
−1 + L < g (x) < 1 + L.
Logo,
f (x) g (x) >
M
e 0 < |x − c| < δ2 implica
L−1
M
· (−1 + L) = M.
L−1
(Caso L < 0, ver exercício 1.9.6).
20 de novembro de 2013
1.8. Limites Infinitos
15
(iv) Ver exercício 1.9.7.
(v) Ver exercício 1.9.8.
Com base nos resultados acima, o cálculo de alguns limites torna-se imediato.
Exemplo 1.8.3
1
lim cos x + 2 = +∞
x→0
x
já que
lim cos x = 1 e
x→0
lim
x→0
1
= +∞. (Propriedade (i))
x2
y
1
x2
cos x+
1
x2
x
cos x
Exemplo 1.8.4
Sabendo que lim− tg x = +∞ é imediato que
x→ π2
•
•
•
•
lim 5 tg x = +∞
x→ π2 −
(Propriedade (iii))
lim−
tg x
= +∞
x
(Propriedade (iv))
lim−
tg x
= −∞
1−x
(Propriedade (iv))
lim−
x
= 0.
tg x
(Propriedade (v))
x→ π2
x→ π2
x→ π2
Nos moldes do teorema anterior podemos considerar ainda o seguinte resultado:
Teorema 1.8.2. Seja L 6= 0 e suponha lim f (x) = 0 e lim g (x) = L.
x→c
x→c
(i) Se L > 0 e f(x) tende a zero pela direita, então
lim
x→c
g (x)
= +∞
f (x)
(ii) Se L > 0 e f (x) tende a zero pela esquerda, então
lim
x→c
g (x)
= −∞
f (x)
20 de novembro de 2013
1. O Limite de uma Função
16
(iii) Se L < 0 e f (x) tende a zero pela direita, então
lim
x→c
g (x)
= −∞
f (x)
(iv) Se L < 0 e f (x) tende a zero pela esquerda, então
g (x)
= +∞
x→c f (x)
lim
Os resultados permanecem os mesmos no caso de limites laterais. A demonstração é deixada como
exercício.
Exemplo 1.8.5
Quando x → 2− , x−2 → 0 por valores negativos (pela esquerda) e quando x → 2+ temos x−2 → 0
por valores positivos (pela direita). Logo
y
y
x
x
lim−
x→2
x
= −∞
x−2
lim+
x→2
1 − x2
= −∞
x−2
y
y
x
x
lim+
x→2
7x
= +∞
x−2
lim−
x→2
3 − 2x
= +∞
x−2
O significado gráfico dos limites infinitos é a existência de assíntotas verticais. A reta x = c é uma
assíntota vertical ao gráfico de y = f (x) quando lim− f (x) = ±∞ ou quando lim+ f (x) = ±∞. Abaixo
x→c
x→c
temos dois exemplos ilustrativos.
Exemplo 1.8.6
A função y =
1
1
1
possui assíntota vertical x = 0 já que lim− = −∞ e lim+ = +∞ (Verifique!).
x
x→0 x
x→0 x
20 de novembro de 2013
1.9. Exercícios
17
y
x
Exemplo 1.8.7
O gráfico da função f (x) =
De fato, como
x2 + 2x + 1
possui uma assíntota vertical em x = 1.
x2 − 1
(x + 1)2
x2 + 2x + 1
x+1
=
=
2
(x + 1) (x − 1)
x −1
x−1
temos
lim f (x) = lim−
x+1
= −∞
x−1
lim f (x) = lim+
x+1
= +∞.
x−1
x→1−
x→1
e
x→1+
x→1
y
x
−1
1
−1
1.9
Exercícios
1.9.1 Determine os seguintes limites
(a) lim−
x−4
x+1
(c) lim
(b) lim+
x−4
x+1
(d) lim+
x→1
x→1
5
x→2
x→1
(x − 2)
2
2x − 4
x2 − 1
20 de novembro de 2013
(e) lim−
x→1
2x − 4
x2 − 1
(f) lim+ sec πx
x→ 12
1. O Limite de uma Função
18
(g) lim− x2 −
x→2
1
x−2
(h) lim+ x tg πx
(i) lim+
x→ 21
x→1
x2 − x − 6
2 + x − x2
1.9.2 Avalie se cada uma das funções abaixo possui alguma assíntota vertical e determine-a em caso
afirmativo.
(a) f (x) =
1
(x − 3)2
(b) g (x) =
x2 − x − 6
2 + x − x2
(c) y = tg x
(d) f (x) =
x2 − 4x
x2 − 2x − 8
1.9.3 A teoria da relatividade afirma que a massa m de uma partícula depende de sua velocidade v e
obedece a relação
m0
m= r
v2
1− 2
c
onde m0 é a massa da partícula em repouso e c é a velocidade da luz. O que ocorre com a massa quando
supomos v se aproximando de c?
1.9.4 Um motorista, numa viagem de ida e volta entre duas cidades, distando de d km uma da outra, fez
uma média de x km/h na ida e y km/h na volta. Por outro lado, juntando os dois percursos, a velocidade
média (ida e volta) foi de 80 km.
(a) Obtenha uma expressão que forneça y em função de x.
(b) Para cada um dos valores x = 10, x = 20, x = 30, x = 50 e x = 60, encontre os valores de y
correspondentes.
(c) O que ocorre com y quando x se aproxima de 40?
1.9.5 Demonstre a propriedade (ii) do Teorema 1.8.1.
1.9.6 Mostre que, se L < 0, lim f (x) = +∞ e lim g (x) = L então lim f (x) g (x) = −∞.
x→c
x→c
x→c
1.9.7 Seja L 6= 0 e suponha lim f (x) = +∞ e lim g (x) = L.
x→c
x→c
Mostre que:
f (x)
lim
=
x→c g (x)
+∞, se L > 0
.
−∞, se L < 0
1.9.8 Apresente uma demonstração para o Teorema 1.8.2.
1.10
Limites no Infinito
Na seção anterior nos ocupamos dos limites infinitos, isto é, dos casos em que as imagens da função
crescem ou decrescem ilimitadamente à medida que a variável independente se aproxima de um número
real c (pela direita ou pela esquerda ou por ambos os lados). Agora nos preocuparemos com o crescimento
(ou decrescimento) ilimitado da variável independente, e com a consequência disto nas imagens da função.
Iniciamos com a seguinte definição:
Definição 1.10.1 Seja f definida em (−∞, a) ∪ (b, +∞).
(i) O limite de f quando x tende a mais infinito é L no caso em que, para todo > 0, existir x0 > 0
tal que x > x0 implica |f (x) − L| < ;
(ii) O limite de f quando x tende a menos infinito
é L no caso em que, para todo > 0, existir
x0 > 0 tal que x < −x0 implica f (x) − L < ;
20 de novembro de 2013
1.10. Limites no Infinito
19
(iii) O limite de f quando x tende a mais infinito é +∞ no caso em que, para todo M > 0 existir
x0 > 0 tal que x > x0 implica f (x) > M (o limite será −∞ quando ∀M > 0, ∃x0 > 0 tal que
x > x0 implica f (x) < −M);
(iv) O limite de f quando x tende a menos infinito é +∞ no caso em que, para todo M > 0 existir
x0 > 0 tal que x < −x0 implica f (x) > M (o limite será −∞ quando ∀M > 0, ∃x0 > 0 tal que
x < −x0 implica f (x) < −M);
No caso (i) escrevemos lim f (x) = L; no caso (ii), lim f (x) = L; em (iii) denotamos lim f (x) = +∞
x→+∞
(reciprocamente,
x→−∞
lim f (x) = −∞; por último, no caso (iv), denotamos
x→+∞
x→+∞
lim f (x) = +∞ (reciproca-
x→−∞
mente, lim f (x) = −∞.
x→−∞
Exemplo 1.10.1
Consideremos a função f (x) = x1 , que está definida para todo x 6= 0. Intuitivamente observa-se
que quando x cresce ilimitadamente a razão x1 tende a zero; o mesmo ocorrendo quando x decresce
ilimitadamente.
De fato, dado qualquer > 0, tomando x0 = 1 sempre que x > x0 = 1 temos x1 = x1 − 0 < .
Logo,
1
lim
= 0.
x→+∞ x
1
Por um argumento análogo, mostra-se que também vale lim
= 0.
x→−∞ x
Exemplo 1.10.2
É fácil observar que, para todo n > 1,
(i) lim
x→+∞
1
1
< sempre que x > 1. Assim, segue para todo n > 1
n
x
x
1
1
= 0 e (ii) lim n = 0
x→−∞ x
xn
(Ver exercício 1.11.4)
Exemplo 1.10.3
A função identidade f (x) = x tem limite +∞ quando x tende a +∞ e limite −∞ quando x tende
a −∞.
De fato, dado qualquer M > 0, escolhendo x0 = M temos para x > x0 , f (x) = x > M e para
x < −x0 , f (x) = x < −M.
Portanto,
lim x = +∞ e
lim x = −∞.
x→+∞
x→−∞
Exemplo 1.10.4
Podemos generalizar o exemplo anterior do mesmo modo que fizemos nos exemplos 1.10.1 e 1.10.2.
Para todo n ∈ Z, n > 1 temos xn > x sempre que x > 1. Daí (ver exercício 1.11.4), temos
(i)
lim xn = +∞ sempre que n > 1.
x→+∞
Por outro lado, se x < −1 temos x2 > −x, x3 < −x2 , e assim por diante. Portanto: xn > −x
sempre que n for par; e xn < x sempre que n for ímpar.
É praticamente imediato (ver exercício 1.11.4) que:
(ii)
lim xn = +∞ sempre que n for par;
x→−∞
20 de novembro de 2013
1. O Limite de uma Função
20
(iii)
lim xn = −∞ sempre que n for ímpar.
x→−∞
Para limites no infinito valem as seguintes propriedades:
Teorema 1.10.1. Sejam k, L, M ∈ R e sejam f e g funções reais tais que lim f (x) = L e lim g (x) = M.
x→±∞
x→±∞
Então:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
lim kf (x) = kL;
x→±∞
lim [f (x) ± g (x)] = L ± M;
x→±∞
lim f (x) g (x) = LM;
x→±∞
lim
x→±∞
f (x)
L
, sempre que M 6= 0.
=
g (x)
M
Observe que as propriedades acima são idênticas àquelas do Teorema 1.6.1 e as demonstrações são
análogas às esboçadas na seção 1.6.
Valem ainda, trocando c por +∞ ou −∞, as propriedades de (i) a (v) do Teorema 1.8.1, da seção 1.8.
Exemplo 1.10.5
lim
x→+∞
3
3x + 1
= . De fato, é fácil ver que
5x − 2
5
3+
3x + 1
=
5x − 2
5−
Como
1
lim
3+
=3 e
x→+∞
x
1
x
2
x
.
2
lim
5−
=5
x→+∞
x
temos,
3x + 1
3
= .
x→+∞ 5x − 2
5
Observe que também vale a igualdade
lim
3x + 1
3
= .
x→−∞ 5x − 2
5
lim
Exemplo 1.10.6
3
2
2x − 3
x − x2
=
lim
x→±∞ x2 + 1
x→±∞ 1 + 12
x
lim
2
3
lim
− 2
x→±∞ x
0
x
= = 0.
=
1
1
lim
1+ 2
x→±∞
x
Observe que a passagem na segunda igualdade só pode ser efetuada pois o limite do denominador não
é 0.
Exemplo 1.10.7
x+1
lim √
= lim
x→+∞
x2 + 1 x→+∞
x+1
√ x
x2 +1
x
1+
= lim q
x→+∞
20 de novembro de 2013
1
x
x2 +1
x2
1+ 1
= lim q x = 1,
x→+∞
1 + x12
1.10. Limites no Infinito
21
no entanto,
x+1
lim √
= lim
x→−∞
x2 + 1 x→−∞
x+1
−x
√
x2 +1
−x
−1 −
= lim q
x→−∞
Observe que, no segundo caso estamos usando o fato
|x| = −x.
1
x
x2 +1
x2
−1 − x1
= lim q
= −1.
x→−∞
1 + x12
√
x2 = |x| e, se x < 0 (já que x → −∞) então
Exemplo 1.10.8
3x3
lim 2
= lim
x→+∞ x + 1
x→+∞
3x3
x3
x2 +1
x3
= lim
x→+∞ 1
x
3
.
+ x12
Observe que agora o numerador tende a uma constante positiva e o denominador tende a zero por
valores positivos. Do exercício ?? segue
3x3
= +∞.
x→+∞ x2 + 1
lim
Por outro lado,
3x3
= −∞. (Justifique)
x→−∞ x2 + 1
lim
O significado gráfico da existência de limites finitos no infinito é a ocorrência de assíntotas horizontais.
A reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f (x) quando lim f (x) = L ou lim f (x) = L.
x→+∞
x→−∞
Exemplo 1.10.9
A reta y = 0 é uma assíntota horizontal da curva y =
1
1
. De fato, já temos que lim
= 0.
x→±∞ x
x
Exemplo 1.10.10
A curva f (x) =
y = 1.
x2 + 1
possui assíntotas verticais x = −1, x = 1 (verifique!) e assíntota horizontal
x2 − 1
y
x
20 de novembro de 2013
1. O Limite de uma Função
22
1.11
Exercícios
1.11.1 Calcule (se possível) os seguintes limites no infinito. Caso não exista o limite, dê um argumento
que justifique a não existência.
2x + 6
(e) lim √
x→∞
x2 + 2x + 4
(a) lim x3 − 3x2 + 2
x→∞
(b)
x3 − 3x2 + 2
lim
x→−∞
(f)
3x − 3
2x2 + 5
√
x2 + 4
(k) lim
x→∞
x
√
x2 + 4
(l) lim
x→−∞
x
2x + 6
lim √
2
x + 2x + 4
(j)
x→−∞
x2 + 1
x→∞ x2 − 1
(g) lim
x2 + 1
x→−∞ x2 − 1
(h)
2x2 + 5
x→∞ 3x − 3
(c) lim
(d)
3x − 3
x→∞ 2x2 + 5
(i) lim
lim
2x2 + 5
x→−∞ 3x − 3
lim
lim
x→−∞
1.11.2 Use um artifício algébrico conveniente a fim de encontrar:
(a)
(b)
lim
x→+∞
p
4x2 + 1 − 2x
p
lim
4x2 + 1 − 2x
x→−∞
(c)
(d)
p
4x2 + 1 − x
(e)
p
lim
4x2 + 1 − x
(f)
lim
x→+∞
x→−∞
lim
p
3
x3 + 1 − x
lim
p
p
3
3
x3 + x − x3 + 1
x→+∞
x→+∞
1.11.3 Encontre as assíntotas verticais, as assíntotas horizontais e faça um esboço da curva y = f (x).
(a) f (x) =
x+1
x−2
(b) f (x) =
1 − 3x
x+4
(c) f (x) = 1 +
1
x
1
(d) f (x) = √
2
x −1
1.11.4 Mostre a validade das afirmações (i) e (ii) do exemplo 1.10.2 e das afirmações (i),(ii) e (iii) do
exemplo 1.10.4.
1.12
O Teorema do Confronto
Dedicamos esta seção exclusivamente ao Teorema do Confronto e suas consequências. Também conhecido
como Teorema Sanduíche, tal resultado é uma ferramenta poderosa do Cálculo, tanto na obtenção de
alguns limites não imediatos, quanto na demonstração de outros resultados.
Teorema 1.12.1 (O Teorema do Confronto). Considere f, g e h funções definidas em (a, c) ∪ (c, b) tais
que g (x) 6 f (x) 6 h (x), para todo x ∈ (a, c) ∪ (c, b). Se
lim g (x) = lim h (x) = L
x→c
x→c
então
lim f (x) = L.
x→c
Demonstração : Como lim g (x) = lim h (x) = L, dado qualquer > 0, arbitrariamente pequeno, existem
x→c
x→c
δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que:
(i) x ∈ (c − δ1 , c + δ1 ) =⇒ g (x) ∈ (L − , L + );
(ii) x ∈ (c − δ2 , c + δ2 ) =⇒ h (x) ∈ (L − , L + ).
20 de novembro de 2013
1.12. O Teorema do Confronto
23
Tomando δ o menor dos números δ1 e δ2 (δ = min {δ1 , δ2 }) valem ambas as implicações (i) e (ii). Além
disso, da desigualdade g (x) 6 f (x) 6 h (x) segue que ∀x ∈ (c − δ, c + δ) tem-se
L − < g (x) 6 f (x) 6 h (x) < L + e, portanto, lim f (x) = L.
x→c
Graficamente:
A ilustração do Teorema do Confronto deixa claro porque ele também recebe o nome de Teorema do
Sanduíche ou ainda Teorema da Imprensamento.
Vamos a alguns exemplos:
Exemplo 1.12.1
Embora pouco tenhamos mencionado as funções seno e cosseno nas seções anteriores, agora somos
capazes de afirmar que lim sen θ = 0 e lim cos θ = 1.
θ→0
θ→0
_
De fato, consideremos no círculo trigonométrico o arco θ = AP no primeiro quadrante, onde
A = (1, 0), e seja Q o pé da perpendicular baixada do ponto P até o eixo x. (Ver ilustração abaixo).
y
P = (cos θ, sen θ)
x
Q
A = (1, 0)
Evidentemente, o comprimento do segmento AP é menor (ou igual, no caso extremo) que a medida
_
do arco AP. Além disso, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo APQ segue
2
(1 − cos θ)2 + sen2 θ = AP 6 θ2 .
Portanto, sen2 θ 6 θ2 e (1 − cos θ)2 6 θ2 . Logo,
−θ 6 sen θ 6 θ e
para 0 < θ <
π
2.
− θ 6 1 − cos θ 6 θ
Como lim+ θ = lim+ −θ = 0, pelo Teorema do Confronto
θ→0
θ→0
lim sen θ = 0
θ→0+
e
lim (1 − cos θ) = 0.
θ→0+
É possível demonstrar de modo análogo que
lim sen θ = 0
θ→0−
e
lim (1 − cos θ) = 0.
θ→0−
Portanto, lim sen θ = 0 e lim cos θ = 1.
θ→0
θ→0
20 de novembro de 2013
1. O Limite de uma Função
24
y
y
y=sen θ
1
y=cos θ
1
x
x
−1
−1
De acordo com o que já conhecíamos, através dos esboços dos gráficos das funções seno e cosseno, era
natural ter a expectativa dos limites encontrados no exemplo 1.12.1. Mais ainda, é natural ter a esperança
que lim sen θ = sen c e lim cos θ = cos c. Retomaremos esta discussão em momentos posteriores.
θ→c
θ→c
Faremos agora uma análise tão importante quanto a anterior, a saber, o que ocorre com a razão
para θ suficientemente pequeno.
Teorema 1.12.2.
sen θ
θ
sen θ
= 1.
θ→0
θ
lim
Demonstração : Do mesmo modo que no exemplo 1.12.1 consideremos no círculo trigonométrico o arco θ =
_
AP no primeiro quadrante, onde A = (1, 0), e seja Q o pé da perpendicular baixada no ponto P até o eixo x.
Prolongando o segmento OP até encontrar a reta t, perpendicular ao eixo x no ponto A = (1, 0), obtemos,
na interseção, o ponto T . (Ver ilustração).
y
t
T
P
Q
O
x
A
_
Assim, PQ 6 AP 6 AT . Além disso, do Teorema de Tales,
AT
PQ
sen θ
=
=⇒ AT =
cos θ
OA
OQ
e
T=
Logo, sen θ 6 θ 6
sen θ
1,
.
cos θ
sen θ
. Como estamos considerando 0 < θ <
cos θ
16
θ
1
6
sen θ
cos θ
ou ainda
cos θ 6
π
2
temos sen θ > 0 e segue
sen θ
6 1.
θ
Como lim cos θ = lim 1 = 1, aplicando o Teorema do Confronto, concluímos que
θ→0
θ→0
sen θ
= 1.
θ→0
θ
lim
20 de novembro de 2013
1.13. Exercícios
1.13
25
Exercícios
1.13.1 Use as desigualdades −1 6 sen x 6 1 e −1 6 cos x 6 1 a fim de calcular os seguintes limites:
(a) lim θ sen θ
(f)
θ→0
(b) lim xn sen x (n ∈ Z)
cos x
x→±∞ x
(g) lim x2 sen
x→0
x→0
(c) lim θ cos θ
θ→0
1
(j) lim x 1 − sen
x→0
x
lim
1
x2
(k) lim θ sec θ
1 − cos x
(h) lim
x→0
x
(d) lim xn cos x
x→0
θ→π
θ2 sen θ
θ2 + 1
θ→0
1, se x ∈
/Q
1.13.2 Seja f uma função definida por f (x) =
.
0, se x ∈ Q
(e)
sen x
x→±∞ x2
(i) lim+
lim
4
sen x
(l) lim √
x→0
x
(i) Dê uma justificativa para a seguinte afirmação: “f não possui limite em c, ∀c ∈ R”
(ii) Mostre que lim xn f (x) = 0, ∀n ∈ N.
x→0
1.13.3 Calcule os seguintes limites, (caso exista ou justifique a não existência):
sen x2
(e) lim
x→0
x
sen (5θ)
(a) lim
θ→0
2θ
1 − cos θ
θ→0
θ2
(f) lim
sen (2θ)
θ→0 sen (3θ)
(g)
tg θ
θ→0 θ
(h) lim
(b) lim
(c) lim
(i) lim
x→0
sen2 x
x→0
x
1
(j) lim √
√
x→0
x+1+ x
sen θ
θ→+π θ − π
(k) lim
πx − π cos x
x
h√
√ i
(l) lim
x+1− x
lim
x→∞
π − π cos2 x
x→0
4x2
(d) lim
1 − cos x
x sen x
x→∞
1.13.4 Uma função f é limitada em (a, b) quando existem m, M ∈ R tais que m 6 f (x) 6 M, ∀x ∈ (a, b).
Suponha f limitada. Mostre que lim xk f (x) = 0 para todo k ∈ N.
x→0
1.13.5 Suponha f uma função limitada definida em (a, c)∪(c, b) e seja g uma função tal que lim g (x) = 0.
x→c
Mostre que
lim [f (x) g (x)] = 0.
x→c
1.13.6 Calcule cada um dos seguintes limites:
(a) lim
x→c
2
x −c
2
1
cos
x−c
sen (x − c)
x→c (x2 − c2 )
(b) lim
(c) lim
x→0
(d) lim
x→0
1
1
−
sen x tg x
sen ax
bx
20 de novembro de 2013
sen ax
x→0 sen bx
(e) lim
1. O Limite de uma Função
26
1.14
Continuidade
A noção de continuidade de uma função, definida ainda nos dias de hoje de modo análogo à forma
apresentada por volta do século XIX, é um dos temas fundamentais do Cálculo. Em termos gerais, uma
função f : I −→ R é contínua no ponto a ∈ I quando valores de x suficientemente próximos de a nos dão
imagens f (x) suficientemente próximas de f (a). Observamos que, em contraste com a noção de limite na
qual não havia necessidade da existência da imagem, neste contexto necessariamente a ∈ Df .
Definição 1.14.1 Seja f : I −→ R uma função e seja a ∈ I. Diremos que f é contínua em a quando
lim f (x) = f (a) .
x→a
(o que equivale a lim [f (x) − f (a)] = 0.)
x→a
Em caso contrário, diremos que f é descontínua em a.
Exemplo 1.14.1
A função identidade, f (x) = x, é contínua em toda abcissa a ∈ R. De fato,
lim f (x) = a = f (a) .
x→a
Mais geralmente, das propriedade vistas anteriormente, g (x) = xn , com n ∈ N, é contínua em
toda abcissa a ∈ R, já que
lim g (x) = an = g (a) .
x→a
Do exemplo 1.14.1 decorre imediatamente que toda função polinomial, definida em toda reta, é contínua em todo a ∈ R.
De fato, seja p (x) = bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 . Então,
lim p (x) = bn an + bn−1 an−1 + · · · + b1 a + b0 = p (a) .
x→a
Exemplo 1.14.2

3

se x < −1
x ,
Considere a função f (x) = x,
se − 1 6 x 6 2 definida para todo x ∈ R.


2
6 − x , se x > 2
y
2
−1
x
2
Já temos que f é contínua para todo a ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 2) ∪ (2, +∞).
20 de novembro de 2013
1.14. Continuidade
27
Observe que se a < −1,
f (a) = a3 = lim f (x) ;
x→a
se −1 < a < 2,
f (a) = a = lim f (x)
x→a
e se a > 2,
f (a) = 6 − a2 = lim f (x) .
x→a
Falta verificar o que ocorre para a = −1 e para a = 2. Mas,
lim f (x) = lim − x3 = −1 = lim + x = lim + f (x)
x→−1−
x→−1
x→−1
x→−1
e
lim− f (x) = lim− x = 2 = lim+ 6 − x2 = lim+ f (x) .
x→2
x→2
x→2
x→2
Portanto, f é também contínua em a = −1 e em a = 2.
Exemplo 1.14.3
1 − x2 , se x 6 0
é contínua para todo a ∈ R. De fato, f é contínua para todo
x + 1, se x > 0
a 6= 0. No caso a = 0 temos
1 = lim− f (x) = lim− 1 − x2 = f (1)
A função f (x) =
x→0
x→0
e
1 = lim+ f (x) = lim+ (x + 1) = f (1) .
x→0
x→0
Portanto, o limite existe em a = 0 e é igual à imagem da função em a = 0. Logo, f é contínua
também em a = 0.
Omitiremos os detalhes neste momento e justificaremos a afirmação no capítulo posterior, mas as
funções trigonométricas, a função exponencial e a função logarítmica são contínuas em toda abcissa a
pertencente a seu domínio. Assim, as funções
(a) y = sen x, x ∈ R, é contínua ∀a ∈ R e, portanto,
lim sen x = sen a
x→a
(b) y = cos x, x ∈ R, é contínua ∀a ∈ R e, portanto,
lim cos x = cos a
x→a
(c) y = tg x, x ∈ R, x 6=
π
2
+ kπ, com k ∈ Z, é contínua para todo a 6=
π
2
+ kπ, com k ∈ Z e, logo
lim tg x = tg a
x→a
desde que a 6= π2 + kπ, com k ∈ Z.
(Para as funções y = cotg x, com x ∈ R, x 6= kπ, k ∈ Z; y = sec x, com x ∈ R, x 6=
y = cossec x, x ∈ R, x = kπ, k ∈ Z, a propriedade é idêntica.)
(d) y = ex , x ∈ R é tal que
lim ex = ea
x→a
20 de novembro de 2013
π
2
+ kπ, k ∈ Z; e
1. O Limite de uma Função
28
(e) y = ln x, definida para todo x > 0, é contínua para todo a > 0 e, portanto,
lim ln x = ln a,
x→a
sempre que a > 0.
Vejamos agora exemplos de funções descontínuas em alguma abcissa a de seu domínio.
Exemplo 1.14.4

2

se x < 1
x ,
Considere a função g (x) = −1,
se x = 1 .


−1 + 2x, se x > 1
y
x2
2x−1
x
1
−1
Pelo que foi discutido anteriormente, g é contínua para todo a 6= 1. No entanto, em a = 1 temos
lim g (x) = 1 (verifique) e g (1) = −1.
x→1
Assim, g é descontínua em a = 1.
Observe que no exemplo anterior a função tem limite em a = 1, mas este é diferente de g (1). Também
pode ocorrer da função não possuir limite em a, evidentemente, neste caso, ela não pode ser contínua em
a. Ilustraremos isso no próximo exemplo.
Exemplo 1.14.5

 x , se x 6= −1
A função h (x) = x − 1
não é contínua em a = −1 já que h (−1) = 0 enquanto o
0,
se x = −1
limite de h em −1 nem existe.
Considere uma função f descontínua em a. Podem ocorrer duas situações:
(i) é possível definir uma função f̃, com imagens coincidindo com as imagens de f para todos os valores
diferentes de a, e com f̃ (a) definido de modo que f̃ seja contínua em a. Neste caso, dizemos que f
possui descontinuidade removível em a. Observe que para f possuir descontinuidade removível em
a basta que exista o número real lim f (x).
x→a
(ii) não é possível definir uma função f̃ tal como em (i). Neste caso diremos que a descontinuidade em a
é irremovível. Descontinuidades irremovíveis ocorrem quando o limite da função não existe no ponto
a.
No exemplo 1.14.4, temos uma função com descontinuidade removível em a = 1; basta observar que

2

se x < 1
x ,
g̃ (x) = −1,
se x = 1


−1 + 2x, se x > 1
20 de novembro de 2013
1.14. Continuidade
29
é contínua em a = 1. No exemplo 1.14.5 há uma descontinuidade irremovível em a = −1.
Descontinuidades irremovíveis ocorrem, evidentemente, em abcissas do domínio da função nas quais
o limite não existe. Quando a descontinuidade irremovível em a ocorre porque os limites laterais em a
são números reais distintos, dizemos que a descontinuidade é do tipo salto.
Exemplo 1.14.6
As funções
y
(i) y =
0, se x < 0
1, se x > 0
x
y
(ii) y =
x2 − 1, se x 6 1
2x − 1, se x > 1
x
y

 1 , x 6= 0
(iii) y = x
0, x = 0
x
y

 1 , x 6= 0
(iv) y = x2
0,
x=0
x
estão definidas para todo x ∈ R.
Em (i), há uma descontinuidade irremovível do tipo salto em a = 0; em (ii), há uma descontinuidade irremovível também do tipo salto em a = 1. Já em (iii) e (iv), ocorrem descontinuidades
irremovíveis (que não são do tipo salto), em a = 0.
Quando uma função não possui pontos de descontinuidade em seu domínio, dizemos simplesmente que
ela é contínua. Isto é, uma função f é contínua quando
lim f (x) = f (a) ,
x→a
para todo a ∈ Df .
Pelo que foi discutido anteriormente, as funções polinomiais, trigonométricas, exponencial e logaritmo
são exemplos de funções contínuas. Observe que a função f (x) = x1 tem domínio Df = {x ∈ R; x 6= 0} e,
20 de novembro de 2013
1. O Limite de uma Função
30
portanto, é contínua (não possui pontos de descontinuidade em seu domínio); no entanto, a função

 1 , se x 6= 0
,
g (x) = x
1, se x = 0
tem domínio Dg = R e não é contínua, já que não o é em a = 0.
Voltemos novamente a atenção aos pontos de continuidade.
Exemplo 1.14.7
2x2 − 4x + 1, se x 6 2
.
ax2 + b,
se x > 2
Determine para quais condições dos valores a e b tem-se f contínua.
Sejam a, b ∈ R e considere f (x) =
Evidentemente f é contínua para todo a ∈ (−∞, 2) ∪ (2, +∞).
Para a = 2 temos
f (x) = 2 · (2)2 − 4 · (2) + 1 = 1.
Portanto, lim f (x) é, obrigatoriamente, igual a 1.
x→2
Já temos lim− f (x) = 1, resta fazer lim+ f (x) = 1. Mas
x→2
x→2
lim+ f (x) = lim+ ax2 + b = 1 ⇐⇒ a + b = 1.
x→2
x→2
Portanto, basta fazer b = 1 − 4a.
No exemplo 1.14.7, observe que para cada uma das situações de a e b abaixo o gráfico da função f é
uma curva definida por duas outras curvas, uma à esquerda da reta x = 2 e outra à direita da reta x = 2,
que se conectam no ponto (2, 1) (de fato, o gráfico de f nessas condições é uma curva conexa).
y
y=2x2 +4x+1
• a = 0, b = 1
(2,1)
y=1
x
y
y=2x2 +4x+1
• a = −1, b = 5
(2,1)
x
y=−x2 +5
y
y=2x2 +4x+1
y=x2 −3
• a = 1, b = −3
(2,1)
x
Para finalizar esta seção, destacamos o seguinte resultado para o qual omitiremos demonstrações.
Trata-se de uma ferramente de extrema utilidade no cálculo de limites.
20 de novembro de 2013
1.14. Continuidade
31
Teorema 1.14.1. Sejam f, g : I −→ R funções contínuas em a ∈ I. Então, são também contínuas em a
as funções:
(i) cf, f + g, f − g, f · g : I −→ R (c=cte);
(ii)
1 g
, , desde que f (a) 6= 0.
f f
Além disso, se f : I −→ J ⊂ R e h : J −→ R, considerando f contínua em a ∈ I e h contínua em
b = f (a) ∈ J então a composta
h ◦ f : I −→ R
x 7−→ h(f(x))
é contínua em a.
Uma consequência da propriedade acima é que, se uma função f : I −→ J ⊂ R admite uma inversa
J −→ I então a continuidade de uma delas implica na continuidade da outra.
Considere as funções y = sen θ e y = tg θ. No intervalo aberto − π2 , π2 ambas são injetoras. Além
disso, −1 < sen θ < 1, ∀θ ∈ − π2 , π2 ,
f−1 :
lim tg θ = −∞ e
θ→− π2 +
lim tg θ = +∞.
θ→ π2 −
y
y
y=tg θ
y=sen θ
1
− π2
π
2
θ
− π2
π
2
θ
−1
Assim, seno e tangente são funções invertíveis:
• A inversa da função y = sen θ, que chamaremos de arco-seno é uma função f que, para cada número
real −1 6 y 6 1 define o arco θ = f (y) se, e somente se, y = sen θ e, portanto, − π2 6 θ 6 π2
(observe que no intervalo fechado − π2 , π2 a função seno permanece injetora e é sobrejetiva quando
estabelecemos sua restrição ao contradomínio [−1, 1]). Se y = sen θ usaremos a notação θ = arcsen y
para denotar a função arco-seno que, pelas considerações
acima é uma função contínua e bijetora que
leva o intervalo [−1, 1] no intervalo − π2 , π2 . Evidentemente, tem-se por exemplo, arcsen −1 = − π2 ,
arcsen 0 = −, arcsen
√
3
2
=
π
3
e arcsen 1 =
π
2.
• A inversa da função y = tg θ, que chamaremos arco-tangente, é uma função g que, para cada
número real y ∈ R define o arco θ = g (y) se, e somente se, y = tg θ. Se y = tg θ usaremos a
notação θ = arctg y para denotar a função arco-tangente. A exemplo do caso anterior a função
arco-tangente é uma função contínua e bijetora, porém, leva a reta no intervalo aberto − π2 , π2 .
Em síntese,
h π πi
arcsen : [−1, 1] −→ − ,
2 2
y 7−→ θ = arcsen y ⇔ sen θ = y
20 de novembro de 2013
1. O Limite de uma Função
32
π π
arctg : R −→ − ,
2 2
y 7−→ θ = arctg y ⇔ tg θ = y
Da continuidade de tais funções temos, por exemplo:
lim arcsen x = 0,
x→0
lim arctg x =
π
,
4
lim√ arctg x =
x→
3
3
π
4
π
.
6
lim tg x = −∞ e lim− tg x = ∞ temos
x→− π2 +
x→ π2
lim arctg x = −
x→−∞
1.15
2
2
x→
x→1
Além disso, como
lim√ arcsen x =
π
2
e
lim arctg x =
x→+∞
π
.
2
Exercícios
1.15.1 Verifique para cada função abaixo, a continuidade ou não na(s) abcissas indicada(s):
(a)
f (x) =
x2 − 4, x 6 0
2x − 4, x > 0
(b)
1.15.2 A função f (x) =
1
x
(c)
(x − 2)2
a1 = 0 e a2 = 2
(d)
f (x) =
a=0
 x


 x2 − 2x , x 6= 0 e x 6= 2
g (x) = − 1 ,
x=0
2


0,
x=2
a1 = 0 e a2 = 2
y=
(x − 2)2
x
a1 = 0 e a2 = 2
é contínua? E a função g (x) =
x
?
(x − 2)
(x − 2)2
1.15.3 Utilize os resultados dados pelo Teorema 1.14.1 a fim de calcular os seguintes limites:
2
1
(c) lim [ex + cos x]
(e) lim − e(x −1)
(a) lim sen x2 +
π
x→0
x→−1
x→0
2
(b) limπ
x→ 2
sen x
1 + cos x
2
1
x→0 cos x
x
x→e ln x
(f) lim
(d) lim
1.15.4 Em cada um dos casos abaixo, determine constantes reais indicadas para que a função seja
contínua.
(a)
(b)
(c)
x + 1, , x < −2
f (x) =
a,
x>2
ax + 1, x 6 1
g (x) =
b,
x>1
ax2 + b, x 6 1
h (x) =
2ax − b, x > 1
(a ∈ R)
(d)


a (x − 1) , x < 2
y (x) = 3,
26x64

 2
x − b,
x>4
(e)

2x + 1, x < a



f (x) = x − 1, a 6 x 6 +b
2


x ,
x>b
2
(a, b ∈ R)
(a, b ∈ R)
(a, b ∈ R)
(a, b ∈ R)
1.15.5 Utilizando que as funções polinomiais, trigonométricas, exponencial e logaritmo são contínuas,
juntamente com o Teorema 1.14.1, analise a existência dos seguintes limites. Caso exista o limite,
determine-o.
20 de novembro de 2013
1.15. Exercícios
33
(a) lim− sen (ex + x − 1)
(e) lim
x→0
(b) limπ e
x→+1
x2 + 1
sen( π2 x)
(h) lim− eln x
x→π
cos x
x→ 2
(c) lim sen
x→0
1
x
(f) lim
x→−1
2
x +1
(x − 1)2x
(i) lim+ 2
x
x→0 (x + 1)
sen( π2 x)
(g) limπ ln (sen x)
(d) lim+ xx
(j) lim tg
x→ 2
x→1
x→e
π
4
ln x
1.15.6 Calcule os limites:
sen (x + h) − sen x
x→0
h
cos (x + h) − cos x
x→0
h
(a) lim
(b) lim
1.15.7 Seja f uma função real.
(i) Se lim f (x) existe é sempre verdade que lim |f (x)| existe?
x→c
x→c
(ii) Se lim |f (x)| existe podemos afirmar que sempre existe lim f (x)?
x→c
x→c
1.15.8 Calcule, caso existam.
(a) lim
x→27
(b) lim
x→∞
√
3
x
lim
x arctg x
√ −
(e)
√
2
x
(i)
2
2
x→
(f) lim arctg x2
(j) lim+ [ln (arctg x)]
x→0
x→−1
1
(c) lim √
x→∞
x
√
(g) lim arctg x
√
(d) lim+ arcsen x − 1
(h) lim+ e− arctg x
√
(k) lim+ arctg x
x→ 21
x→0
(l) lim arcsen
x→0
x→1
lim [π − arctg x]
x→ π2 −
x→1
√
x−1
1.15.9 Encontre 3 exemplos de funções f tais que
lim f (x) < 0 e
x→1−
lim f (x) = 0.
x→1+

x + 1,
x < −4



x = −4 .
1.15.10 Considere f (x) = 1,
2

x

− 7, x > −4
4
(i) Faça um esboço do gráfico de f.
(ii) Calcule
lim f (x) e
x→−4−
lim f (x). Existe lim f (x)?
x→−4+
x→−4
(iii) f é contínua em c 6= −4? E em c = −4?
(iv) É possível definir L ∈ R e uma função f̃ com f̃ (x) =
f (x) , x 6= −4
, tal que f̃ seja contínua?
L,
x = −4


3x − 4, x < 0
1.15.11 Considere g (x) = 1,
x = 0.


x + 1, x > 0
(i) Faça um esboço do gráfico de g.
20 de novembro de 2013
1. O Limite de uma Função
34
(ii) Calcule lim− g (x) e lim+ g (x). Existe lim g (x)?
x→0
x→0
x→0
(iii) f é contínua em c 6= 0? E em x = 0?
(iv) É possível definir L ∈ R e uma função g̃ com g̃ (x) =
1.16
g (x) , x 6= 0
, tal que g̃ se já contínua?
L,
x=0
Exercícios Complementares
1.16.1 Em cada um dos gráficos abaixo identifique e calcule, caso existam:
(b) lim− f (x)
(a) f (c)
(c) lim+ f (x)
x→c
(d) lim f (x)
x→c
x→c
y
y
1
1
−1
x
x
2
−1
c=2
c = −1 e c = 1
y
y=x
y
2
x
1
x
2
−1
−1
y=−x
c=0
c=0ec=2
1.16.2 Em cada um dos itens (a), (b), (c) e (d) do exercício anterior destaque o(s) intervalos em que a
função é contínua.
1.16.3 Determine, caso exista, lim− f (x), lim+ f (x), lim f (x) e lim f (x) em cada caso abaixo. Caso
x→0
x→0
x→∞
o limite não exista, apresente uma justificativa.
20 de novembro de 2013
x→−∞
1.16. Exercícios Complementares
35

 1 , se x < 2
(a) f (x) = x − 2
x − 1, se x>2

2

x − 2, se x < −1 ou x > 1
(b) f (x) = 0,
se x = −1


1,
se − 1 < x < 1
1
(i) f (x) = e x , x 6= 0
(j) f (x) = ln x1 , x > 0
sen2 x + cos x − 1
, x 6= 0
x
(l) f (x) = tg x − π2 , x 6= kπ com k ∈ Z
(m) f (x) = arctg x2 + 1
(k) f (x) =
(c) f (x) = x sen x


−1 − x,
x<0



1,
06x<2
(d) f (x) =

2,
x=2



x2 − 4x + 3, x > 2
(e) f (x) = x sen x1 , x 6= 0
x−1
(f) f (x) = √
x2 + 1
(g) f (x) = ln x2 + 1
1
(h) f (x) = e x2 , x 6= 0
(n) f (x) =
3x2 − 4x + 2
√
4x4 + 1
(o) f (x) =
3x + 2
5x + 1
(p) f (x) =
5x+1
3x + 2
(q) f (x) =
sen2 x
, x 6= 0
x
(r) f (x) =
sen2 x
, x 6= 0
x2
1.16.4 (As funções hiperbólicas) Para todo x ∈ R podemos definir as funções seno hiperbólico e
cosseno hiperbólico, respectivamente, como segue
(1)
senh x =
ex − e−x
, ∀x ∈ R
2
(Seno Hiperbólico)
(2)
cos hx =
ex + e−x
, ∀x ∈ R
2
(Cosseno Hiperbólico)
Além disso, é possível definir ainda as funções tangente hiperbólica, secante hiperbólica, cotangente
hiperbólica e cossecante hiperbólica.
senh x
ex − e−x
= x
,
cosh x
e + e−x
(3)
tgh x =
(4)
cotgh x =
(5)
sech x =
(6)
cossech =
cosh x
ex + e−x
= x
,
senh x
e − e−x
1
2
= x
,
cosh x
e + e−x
1
2
= x
,
senh x
e − e−x
∀x ∈ R (Tangente Hiperbólica)
∀x 6= 1 (Cotangente Hiperbólica)
∀x ∈ R (Secante Hiperbólica)
∀x 6= 1 (Cossecante Hiperbólica)
Explique por que cada uma das funções acima é contínua. Além disso, calcule o limite de cada uma delas,
(caso exista quando
(a) x → 0
(b) x → ∞
(c) x → −∞
|x|
para todo c ∈ R? Por quê?
x→c x
1.16.5 Existe o limite lim
20 de novembro de 2013
(d) x → 1
(e) x → −1)
1. O Limite de uma Função
36
1.16.6 Seja n ∈ N, n > 2. Verifique a validade da seguinte propriedade: “Se lim f (x) = L ∈ R e
x→c
existe, então
√
n
L
q
p
√
n
lim n f (x) = n lim f (x) = L.”
x→c
x→c
O que ocorre quando lim f (x) = ±∞.
x→c
1.16.7 Dizemos que uma função f é contínua no intervalo fechado [a, b] quando f é contínua em (a, b) e
ainda lim+f (x) = f (a) (f é contínua à direita em a) e lim−f (x) = f (b) (f é contínua à esquerda em b).
x→a
x→b
Verifique que
√
(i) f (x) = x é contínua em [0, 1];
√
5
(ii) g (x) = x3 é contínua em [−1, 1].
1.16.8 Considere
a função f (x) = sen
f
1
kπ
ef
1
π
2 +kπ
1
x
definida para todo x ∈ R. Seja k ∈ N arbitrário, calcule
. A partir daí, explique o que ocorre com lim f (x).
x→0
1.16.9
1.16.1 (O Teorema de Bolzano). Seja f uma função contínua em [a, b]. Se f (a) 6 m 6 f (b) então
existe pelo menos um c ∈ [a, b] tal que f (c) = m.”
Esta propriedade, chamada também de Teorema do Valor Intermediário é uma das mais importante
no Cálculo Diferencial e Integral e na Análise Matemática. Embora não apresentemos uma demonstração
do Teorema, sua ilustração é bem intuitiva.
y
f(b)
y=m
m
f(a)
y=f(x)
[
]
a
b
x
Observe que, como f (a) 6 m 6 f (b) e f é contínua então o gráfico de f intercepta pelo menos uma
vez a reta horizontal y = m.
Utilize o Teorema do Valor Intermediário e justifique as seguintes afirmações:
(i) Se f é contínua em [a, b] e f (a) · f (b) < 0, então f possui pelo menos uma raiz em (a, b).
(ii) Se f é contínua em [a, b] e f (x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b], então ou f é sempre positiva em [a, b] ou f é sempre
negativa em [a, b] (f não apresenta mudança de sinal).
(iii) Se f é contínua em R, lim f (x) = −∞ (respectivamente, +∞) e lim f (x) = +∞ (respectivax→−∞
x→+∞
mente, −∞) então f possui pelo menos uma raiz real.
(iv) Se p é uma função polinomial e o grau de p é ímpar, então p possui pelo menos uma raiz real.
(v) A função f (x) = x3 ex − 1 possui pelo menos uma raiz no intervalo [0, 1]. Justifique.
1
é tal que g (−1) = −1 e g (1) = 1. No entanto g não possui nenhuma raiz
x3
real. Por que isso não entra em contradição com o Teorema do Valor Intermediário?
1, se 0 6 x < 1
1.16.11 Considere a função h (x) =
. Observe que h está definida para todo x ∈ [0, 2],
??, se 1 6 x 6 2
mas não existe c ∈ [0, 2] tal que f (x) = 4. Por quê o Teorema do Valor Intermediário não se aplica?
1.16.10 A função g (x) =
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1.16. Exercícios Complementares
37
20 de novembro de 2013