Matemática2SERIE1ETA_Matriz

tem obs.
PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA
BANCO DE QUESTÕES - MATEMÁTICA - 2ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO
=============================================================================================
Lista de Matrizes
01- Sejam
1
A=
2
2
3
-1
-2
B=
1
3
0
1
0
-1
C=
1
2
D=
4
a)
A+B=
-1
2
4
5
-1
2
Basta adicionar elemento a elemento de A e B que
ocupam a mesma posição na matriz.
b)
Processo de multiplicar linha de A pela coluna de C.
Repare que A2x3, C3x1, logo AC2x1.
15
AC=
0
c)
Processo de multiplicar linha de B pela coluna de C.
Repare que B2x3, C3x1, logo BC2x1.
6
BC=
1
d)
CD=
-2
1
4
-2
8
-4
0
5
Processo de multiplicar linha de C pela coluna de D.
Repare que C3x1, D1x2, logo CD3x2.
e)
DA=
Processo de multiplicar linha de D pela coluna de A.
Repare que D1x2, A2x3, logo DA1x3.
5
f)
DB=
-7
0
Processo de multiplicar linha de D pela coluna de B.
Repare que D1x2, B2x3, logo DB1x3.
1
g)
h)
3A=
3
6
9
6
-3
3
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- D=
-2
1
Basta multiplicar cada elemento
pelo número que multiplica a
matriz. Nos casos, 3 e (-1).
2
-1
i)
D(2A+3B)=
=
2
-1
2
4
6
4
-2
2
+
-6
0
3
9
0
3
Aplicação da
multiplicação de
matriz por número e
depois produtos de
matrizes.
- 21 10 13
2
x2
2x-1 0
02- Seja A=
. Se A = At encontre o valor de x.
03- Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Quando uma afirmativa for falsa, tente consertá-la para
que se torne verdadeira.
a)
(
) (-A)t = - (At)
R.: ____________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
b)
(
) (A+B)t = Bt + At
R.: ____________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
c)
(
) (-A)(-B) = - (AB)
R.: ____________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
d)
(
) Se A e B = AT são matrizes quadradas, então AB = BA.
R.: ____________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
e)
(
) Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada.
R.: ____________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
04- Dadas
A=
1
2
4
-3
1
-3
2
-3
-1
B=
1
2
1
4
1
-2
1
1
1
0
1
2
C=
2
3
2
1
-2
-5
Mostre que AB = AC.
05- Explique por que, em geral,
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( A  B) 2  A2  2 AB  B 2
e
( A  B) 2 ( A  B) 2  A 2  B 2 .
-1
-1
-1
-2
-1
0
06- Dadas:
A=
2
-1
1
-3
4
-3
-5
5
-4
B=
-1
1
-1
3
-3
3
5
-5
5
2
-1
1
C=
-2
3
-2
-4
4
-3
a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e CA = C.
b) Use os resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA, A2 – B2 = (A–B) (A+B) e (A + B)2 = A2 + B2.
07- Se A=
08- Sejam
3
-4
-2 , ache B tal que B2 = A.
3
A  (aij ) 43
e
B  (bij ) 34
duas matrizes definidas por
A  B  C , então qual é o elemento c32
da matriz
C
aij  i  j
e
bij  2i  j ,
?

 8 5

2 X  3Y  
09- Resolva o sistema 
  9 19 

 X  4Y   4  3 
 1  18 




 
 5 1  . Determine 1 2
A  At .

4
0


10- Considere A  

11- Construa a matriz A = (aij)3x3 onde aij = 1 para i = j e aij = 0, se i ≠ j.
1  2u  u 2
12- Encontre os valores de u e v para que 
v


6

13- Para que valores de “a” a matriz
v2
2u
u
3  4
4
u 
 
.
5   v  3v u  v 
 1 6 v  5  1 
 a
a 2 1
3 

 é simétrica?
A  a  1
2
a 2  4
 3
4a
 1 

0 1  1 e
1  1 5 .
B


2 3 7 
0 1 9 
14- Calcule A + B, A – B e 5A – 3B se A 

15- Caso seja possível encontre os produtos de AB e BA.
16- Encontre a matriz X, na equação A.X = B, onde
17- Resolva a equação
5 3
3  1
e

.


A  1 2  B  4 1
3 0
0 3 
3 4
 3  5
3
X
A  2 B   B , sabendo que A  
e B
.

0 
2
2
6
1 1
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respectivamente. Se
1 0 0
18- Dada a função
f ( x)  x 2  2 x , calcule f(A) onde A  0 1 0 .


0 0 1
2
19- Diz-se que uma matriz A é idempotente se A2 = A. Mostre A   1

 1
20- Se
 2  4
3
4  é idempotente.
 2  3
3 4
 3  5 e k = - 3 , calcule:
, B
A

6
0 
1 1

a) AT
b) BT
c) (A + B)T
d) (k.A)T
21- Escreva as matrizes de acordo com as relações entre as posições i e j.
a) A = (aij)2x3, onde aij = 2i – j
b) B = [bij]2x2, onde bij =
i  j , i  j

i  2 j , i  j
5 0 2
22- Considere a matriz A =[0 1 3]em que aij representa quantas unidades do material j serão empregados para fabricar
4 2 1
uma roupa do tipo i em uma confecção que vai fabricar 3 tipos de roupas utilizando materiais diferentes.
a) Quantas unidades do material 3 serão empregadas na confecção de uma roupa do tipo 2?
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do
tipo 2 e duas roupas do tipo 3.
23- Observando o quadrado, com lado medindo 1, da figura, construa uma matriz 4x4 tal que a ij é a distância entre os
vértices i e j.
24- Uma rede é composta por cinco lojas, numeradas de 1 a 5. A tabela a seguir
representa o faturamento, em reais, de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro:
OBS. Repare que embora não haja títulos na matriz fica subentendido que os números
das lojas estão nas linhas (i = 5) e os dias nas colunas (j = 4).
a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2?
b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3?
c) Qual o faturamento da loja 1 nos 4 dias?
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25- Realizado um estudo sobre a aceitação de dois novos modelos de veículos nos quatros primeiros dias de fevereiro,
3 0 2 3
2 3 1 5
foram obtidos os seguintes resultados: A = [
]e B=[
]
1 2 5 3
4 2 4 5
- A matriz A descreve o desempenho da loja A, de modo que cada elemento a ij é o número de unidades vendidas do
modelo i no dia j.
- A matriz B descreve o desempenho da loja B, de modo que cada elemento b ij é o número de unidades vendidas do
modelo i no dia j.
a) Quantas unidades do modelo 2 foram vendidas no dia 3 de fevereiro pela loja A?
b) No período considerado, construa uma matriz que descreva, dia a dia, as vendas de cada modelo nas duas lojas
juntas.
GABARITO
01- É EXPLICAÇÃO DA MATÉRIA
02Solução. Se A = At (matriz transposta), então:
2
x2
2x-1 0
2
x2
=
2x-1
0
Duas matrizes são iguais, se cada elemento de Aij é igual a cada elemento de Atij. Logo, basta resolver a equação
x2 = 2x – 1. Utilizando a fatoração, temos: x2 -2x +1 = 0 pode ser escrito como (x-1)2 = 0. A solução é a raiz dupla x=1.
03a) (-A)t = - (At). Verdadeira. Basta observar que a matriz está somente multiplicada por (-1).
b) (A+B)t = Bt + At. Verdadeira. Observe que vale At + Bt, pois a adição entre matrizes é comutativa.
c) (-A)(-B) = - (AB) Falso. Mesmo considerando as possibilidades de o produto existir, isto é, número de linhas de A ser
igual ao número de colunas de B, o resultado do produto indicado é positivo: (AB).
EXEMPLO.
A=
1
2
5
2
-1
8
3
1
2
B=
-2
3
4
0
0
2
1
1
1
- A=
-1
-2
-5
-2
1
-8
-3
-1
-2
- B=
2
-3
-4
0
0
-2
-1
-1
-1
16
-3
22
6
2
4
6
2
15
16
6
2
4
6
(AB)=
(- A)(- B)=
-3
22
2
15
-16
- (AB)=
3
-22
-6
-2
-4
-6
-2
-15
d) Falso. Matrizes transpostas podem comutar sob certas condições, mas não são todas. Veja o exemplo.
1
A=
(AB)
2
3
2
5
-1
8
1
2
14
3
27
3
6
4
27
4
93
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B = A t=
(BA)
1
2
5
2
3
-1
1
8
2
30
40
15
40
69
21
15
21
14
Observe
que
para
haver
comutatividade entre as matrizes
transpostas é necessário que sejam
quadradas, mas não é suficiente. Caso
sejam simétricas, sempre comutam. E
vice-versa.
e) Verdadeiro. Observe que pela condição da existência do produto (número de linhas da primeira matriz ser igual ao
número de colunas da segunda matriz), sendo as matrizes iguais, não poderia haver matriz onde seu número de
linhas fosse diferente do de colunas.
04-3
1
-3
AB=
-3
15
15
0
0
0
1
-5
-5
-3
1
-3
AC=
-3
15
15
0
0
0
1
-5
-5
Repare que AB = AC não
implica em B = C.
05Solução. No caso das matrizes, já vimos que nem sempre há comutatividade na operação de multiplicação. Não
podemos confundir a operação de multiplicação nos números reais, onde ab = ba. E no caso dos produtos notáveis,
temos (a+b)2 = (a+b).(a+b) = (a2 + ab + ba + b2) e nesse caso ab + ba = 2ab. Na multiplicação de matrizes, A.B e B.A
pode não ser 2AB, o mesmo acontecendo no caso da diferença de quadrados: ab – ba = 0 (reais), mas AB – BA pode
não ser zero.
06- a)
0
0
0
AB=
0
0
0
0
0
0
0
BA=
0
0
0
0
0
0
2
AC=
0
0
-3
4
-3
-1
1
-5
5
-4
CA=
2
-1
1
-2
3
-2
-4
4
-3
b)
Solução.
i) Observamos que ACB = AB (pois AC=A) e AB=0. Da mesma forma CBA=CAB=AB=0.
ii) Como AB = BA, podemos cancelá-los em : A2 + AB – BA – B2 = A2 – B2.
iii) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. Como AB = BA = 0, (A + B)2 = A2 + B2.
07Solução. A matriz B é da forma:
B=
a
b
c
d
B2 =
a
c
b
a
x
d
c
b
d
a2+ bc
ab + bd
ac + cd
bc + d2
=
Igualando os termos com a matriz A, temos:
a2 + bc = 3 (*)
bc + d2 = 3. Logo a2 = d2 e a = + d.
Verificando a condição de a = - d, que se ab + bd = -2 isso
implicaria que –db + db = 0 = -2. Impossível. Logo só há a
opção a = d.
Observamos ainda que:
ab + bd = -2 Substituindo a = d, temos 2bd = -2 ou bd = -1 implicando que b = (-1/d)
ac + cd = -4 Substituindo a = d, temos 2cd = -4ou cd = -2 implicando que c = 2b.
Substituindo em (*), temos: d2 + b(2b) = 3 ou d2 + 2b2 = 3 ou ainda, d2 + 2(1/d2) = 3. Multiplicando todos os termos por
d2, temos:
d4 + 2 = 3d2. Substituindo o termo d2 = y, temos a solução de uma equação biquadrada.
y2 – 3y + 2 = 0, onde pela fatoração temos y = 1 ou y = 2. Ou seja, d = +
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2
ou d = + 1.
Possíveis matrizes:
2 , a = 2 , b = -1/ 2
i) Se d = +
2
2
-2/
2
2 , a = - 2 , b = 1/ 2
ii) Se d = -
e c = 2/
2
1
2
B=
2
-1/
2
B=
e c = -2/
2
2/
-
2
2
iii) Se d = -1, a = -1, b = -1/-1 e c = -2/-1
B=
-1
1
2
-1
iv) Se d = 1, a = 1, b = -1/1 e c = -2/1
B=
1
-1
-2
1
08Solução. O elemento c32 é o produto da 3ª linha da matriz A pela 2ª coluna da matriz B. Então bas ta utilizar as leis de a ij
e bij para encontrar essa linha e coluna.
i) A 3ª linha de A possui os elementos: a31 = 3 + 1 = 4; a32 = 3 + 2 = 5; a33 = 3 + 3 = 6.
ii) A 2ª coluna de B possui os elementos: b12 = 2(1) + 2 = 4; b22 = 2(2) + 2 = 6; b32 = 2(3) + 2 = 8.
Logo, c32 = a31b12 + a32b22 + a33b32 = 4.4 + 5.6 + 6.8 = 16 + 30 + 48 = 94
OBS. Não é necessário formar as matrizes. Mas se fosse o caso elas seriam:
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
X
3
3
7
4
6
8
5 6
7 8
9 10
Repare que estão marcadas as linhas e as
colunas envolvidas na operação indicada no
problema.
09Solução. Multiplicando a 2ª equação por -2 em ambos os membros, temos:

5
 8

2 X  3Y  

  9 19 

 X  4Y   4  3 
 1  18 




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
 8 5

2 X  3Y  
Temos: 
  9 19 

 2 X  8Y    8 6 
  2 36 




Aplicando o método de adição, vem:
 0 11 
 .
0 X  11Y  
  11 55 
 y1
 y3
Se Y = 

y2 
 calculamos 11Y =
y 4 
 0 11  .
 11y1 11y2  =


 11Y  
  11 55 
11y3 11y4 
Comparando os termos, vem:
11 y1  0  y1  0.

11 y 2  11  y 2  1.
11 y3  11  y3  1.

11 y 4  55  y 4  5.
 0 1
 .
 1 5
Logo Y = 

Substituindo na 1ª equação do sistema e expressando o valor de X, temos:
x
2 1
 x3
x2   8 5   0 1   8 5   0 3   8 2 

  3



.
x4    9 19    1 5    9 19    3 15    6 4 
Resolvendo agora os sistemas em x, temos:
2 x1  8  x1  4.

2 x2  2  x2  1. . Logo X =
2 x3  6  x3  3.

 2 x 4  4  x 4  2.
 4 1  . A solução é V = {


  3 2
 4 1 ,  0 1 }


 
  3 2  1 5
10-
 5 1  a b  1 0
 x
  
 .
 4 0  c d   0 1
Solução. Encontrar A-1 significa encontrar a solução de: 

Desenvolvendo a multiplicação e expressando o sistema, temos:
5a  c  1

4a  0c  0 . Da 2ª equação, temos que: 4a = 0. Logo a = 0. Substituindo na 1ª equação, temos: 5(0) + c = 1. Logo c =
5b  d  0

4b  0d  1
1. A 4ª equação fornece 4b = 1. Logo b = 1/4. A 3ª indica que d = -5b ou d = -5/4.
0
Logo A 1  
1

1/ 4 
 0 1/ 4   0 1 / 4   1/ 4  5 / 16 
 x
  
 .
 . Calculando ( A1 ) 2  
 5 / 4
 1  5 / 4   1  5 / 4    5 / 4 29 / 16 
Calculando a transposta, vem: At   5 4 
1 0


Finalizando:
 1 / 4  5 / 16   5 4   21 / 4 59 / 16 
  
  

( A1 ) 2  At  
  5 / 4 29 / 16   1 0    1 / 4 29 / 16 
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11Solução. Os elementos aij onde i = j na matriz quadrada 3 x 3 localizam-se na diagonal principal. Logo a matriz
1 0 0
procurada é a Identidade de ordem 3.
A  0 1 0
0 0 1
12Solução. Duas matrizes serão iguais se os elementos de uma são os mesmos que os da outra matriz na mesma
posição aij. Isto é a11 = b11; a12 = b12; ... ; amn = bmn. No caso das matrizes mostradas, as posições onde já há números,
não há necessidade de cálculos. Nas posições onde há expressões algébricas encontram-se as condições de
igualdade.
i) Observando o elemento a13 da 1ª matriz verificamos que vale 3. Logo na 2ª matriz devemos ter u = 3.
u  v  5
 3  v  5  v  2
u  3
ii) Igualando os elementos a23 em ambas as matrizes, temos: 
13Solução. Uma matriz é simétrica se for igual a sua transposta: A = AT. Temos:
i) A transposta de A é a matriz onde os elementos da linha ficarão em colunas:
a  1  3
 a
AT  a 2  1
2
4a  .
  3 a 2  4  1
ii) Igualando quaisquer dos elementos algébricos de mesma posição em ambas matrizes, descobrimos os valores de
“a”. Escolhendo os elementos a12 em A e AT, temos:
a  2
a 2  1  a  1  a 2  1  a  1  0  a 2  a  2  0  (a  2).( a  1)  0  
. Logo a = 2 ou a = - 1.
a  1
ou
1 3

a  2  2
 (1)  (1)2  4(1)( 2) 1  1  8 1  9
a



2(1)
2
2
a  1  3  1
2

Mas, para o caso de a = - 1, temos que a2 + 4 ≠ 4a. Logo, somente a = 2 satisfaz a todas as condições.
14Solução. Aplicando as regras utilizadas nas operações com matrizes, temos:
0 1  1 1  1 5  1 2  6
0 1  1 1  1 5 1 0 4 
ii) A  B  








2 3 7  0 1 9  2 2  2
2 3 7  0 1 9 2 4 16
i) A  B 

iii)
0 1  1
1  1 5  0 5  5 3  3 15   3 8  20
5 A  3B  5.
 3.




8 
2 3 7 
0 1 9 10 15 35  0 3 27  10 12
15Solução. A multiplicação entre duas matrizes só é possível se o número de colunas da 1ª for o mesmo do número de
linhas da 2ª.
0 1 e
1  1
a) A 
2 3 B  5 2 




a)
1  1 5
1  1 e
b) A  
5 2  B  0 1 9




c) A  3 2 1 6
5 
2
e
B 
0 
 
1 
0 1 1  1  0 *1  1* 5 0 * (1)  1* 2   5 2
A.B  
.


.
2 3 5 2  2 *1  3 * 5 2 * (1)  3 * 2 17 4
É possível calcular B.A, pois são de mesma ordem logo satisfazem as condições de nº de colunas e linhas.
1  1 0 1 1* 0  (1) * 2 1*1  (1) * 3  2  2
B.A  

.
.  
5 *1  2 * 3   4 11 
5 2  2 3  5 * 0  2 * 2
OBS: Os resultados são diferentes reforçando que a multiplicação entre matrizes não é comutativa.
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b)
1  1 1  1 5 1*1  (1) * 0 1* (1)  (1) *1 1* 5  (1) * 9 1  2  4
.
A.B  

.

5 * (1)  2 *1
5 * 5  2 * 9  5  3 43 
5 2  0 1 9  5 *1  2 * 0
Não é possível calcular B.A, pois B possui três colunas e A possui duas linhas.
5 
 2
c) A.B  3 2 1 6.   3 * 5  2 * 2  1* 0  6 *1  25 .
0 
 
1 
É possível calcular B.A, pois B4x1 e A1x4. Logo o produto será da forma (BA)4x4.
5
5 * 3
 2
2 * 3
B.A   .3 2 1 6  
0 
0 * 3
 

1 
1 * 3
5* 2
2*2
0*2
1* 2
5 *1
2 *1
0 *1
1 *1
5 * 6  15 10 5 30
2 * 6  6 4 2 12 

0 * 6  0 0 0 0 
 

1* 6   3 2 1 6 
16Solução. Como a matriz A é de ordem 3 x 2 a matriz X deve possuir duas linhas (mesmo nº de colunas de A). A matriz B
é de ordem 2 x 3. Logo X possui 2 linhas. Isto é: (A3x2).(X2x2) = B3x2. Repare que se X possuísse três colunas a matriz B
seria 3 x 3. Escolhendo a, b, c, d como elementos de X, montamos a equação:

3  1
3a  c 3b  d  3a  c  5

1 2 .a b   a  2c b  2d  
A
.
X



 c d  
 3b  d  3
  3c

0 3  
 a  2c  4
3
d
3a  1  5  a  2
2 1



X 


b

2
d

1
3
b

0

3

b

1
5
3



1 0 


 B  4 1
3c  3  c  1




3 0

3d  0  d  0
17Solução. Antes da substituição dos valores das matrizes, é interessante simplificar o máximo a equação. Temos:
3
X
A  2 B   B  3 A  4 B  X  2 B  X  3 A  6 B . O cálculo resume-se em multiplicação por escalares e adição de
2
2
matrizes:

3 4
9 12
 3. A  
A  


9 12  18  30  9  18

1 1
3 3 
X 



0   39
3 

3

5

18

30




3 3   36
B 
 6.B  




0
0 
6
 18

18Solução. Calcular f(A) significa construir a matriz onde cada elemento é f(aij). Temos:
 1 0 0   f (1)


f ( A)  f  0 1 0    f (0)
 0 0 1   f (0)
 

f (0)
f (1)
f (0)
f (0)  1 0 0 
, onde
f (0)   0  1 0 
f (1)   0 0  1
2

 f (1)  (1)  2(1)  1  2  1

2

 f (0)  (0)  2(0)  0
19Solução. Calculando o produto A.A = A2, temos:
 2  2  4  2  2  4  4  2  4  4  6  8  8  8  12  2  2  4
A. A   1 3
4 . 1 3
4    2  3  4 2  9  8 4  12  12    1 3
4   A  ok!
 1  2  3  1  2  3  2  2  3  2  6  6  4  8  9   1  2  3
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20Solução. Aplicação direta dos conceitos de transposta e operações entre matrizes.
b) B   3  5  B T   3 6
6
  5 0
0 



a) A  3 4  AT  3 1
1 1
4 1




3 4  3  5 0  1
 0 7
T


 A  B  




0  7 1 
1 1  6
 1 1 
c) A  B 

3 4  9  12
  9  3
T

 k . A  



1 1   3  3 
 12  3
d) k . A  (3)

21Solução. Em cada caso precisamos identificar a variação de i e j calculando o valor dos termos:
a) A matriz é 2x3 logo possui 2 linhas e 3 colunas. Significa que 1 ≤ i ≤ 2 e 1 ≤ j ≤ 3. Calculando, vem:
a11 = 2(1) – 1 = 1; a12 = 2(1) – 2 = 0; a13 = 2(1) – 3 = - 1; a21 = 2(2) – 1 = 3; a22 = 2(2) – 2 = 2; a23 = 2(2) – 3 = 1
Logo,
1 0  1
A2 x 3  

3 2 1 
b) A matriz é 2x2 logo possui 2 linhas e 2 colunas. Significa que 1 ≤ i ≤ 2 e 1 ≤ j ≤ 2. Observe que há duas leis de
formação. Se i = j será feita uma conta e caso contrário, a seguinte. Calculando, vem:
a11 = 1 + 1 = 2;
Logo,
a12 = 1 – 2(2) = - 3;
a21 = 2 – 2(1) = 0;
a22 = 2 + 2 = 4
2  3
A2 x 3  

0 4 
22a) Solução. O número de unidades do material 3 encontra-se na terceira coluna e a roupa do tipo 2 na segunda coluna.
Logo a informação pedida representa o elemento a 32 = 3.
b) Solução. O resultado é uma combinação de cálculos na coluna 1: (5 x 5) + (4 x 0) + (2 x 3) = 25 + 8 = 33.
23Solução. A matriz 4 x 4 indica um total de 16 elementos. Cada aij será calculado pela distância entre os vértices.
a11: distância do vértice 1 ao vértice 1. Esse valor é zero.
a12: distância do vértice 1 ao vértice 2. Como representa o lado do quadrado, esse valor é 1.
a13: distância do vértice 1 ao vértice 3. Como representa a diagonal do quadrado, esse valor é
a14: distância do vértice 1 ao vértice 4. Como representa o lado do quadrado, esse valor é 1.
2.
a21: distância do vértice 2 ao vértice 1. Como representa o lado do quadrado, esse valor é 1.
a22: distância do vértice 2 ao vértice 2. Esse valor é zero.
a23: distância do vértice 2 ao vértice 3. Como representa o lado do quadrado, esse valor é 1.
a24: distância do vértice 2 ao vértice 4. Como representa a diagonal do quadrado, esse valor é
2.
a31: distância do vértice 3 ao vértice 1. Como representa a diagonal do quadrado, esse valor é
a32: distância do vértice 3 ao vértice 2. Como representa o lado do quadrado, esse valor é 1.
a33: distância do vértice 3 ao vértice 3. Esse valor é zero.
a34: distância do vértice 3 ao vértice 4. Como representa o lado do quadrado, esse valor é 1.
2.
a41: distância do vértice 4 ao vértice 1. Como representa o lado do quadrado, esse valor é 1.
a42: distância do vértice 4 ao vértice 2. Como representa a diagonal do quadrado, esse valor é
a43: distância do vértice 4 ao vértice 3. Como representa o lado do quadrado, esse valor é 1.
a44: distância do vértice 4 ao vértice 4. Esse valor é zero.
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2.
Logo a matriz é:
A4 x 4






0
1
2
1
1
0
1
2
2
1
0
1
1 

2
1 

0 
24- a) Solução. O valor pedido encontra-se na terceira linha e segunda coluna. Elemento a32 = 2800.
b) Solução. O valor pedido é o somatório da terceira coluna: 1800 + 1740 + 2700 + 2300 + 2024 = 10580.
c) Solução. O valor pedido é o somatório da primeira linha: 1950 + 2030 + 1800 + 1950 = 7730.
25- a) Solução. O valor pedido encontra-se na linha 2 e na coluna 3. Elemento a23 = 5.
b) Solução. A matriz pedida será composta da soma dos elementos aij com bij obedecendo a mesma organização.
Modelo 1 no dia 1: a11 + b11 = 2 + 3 = 5; Modelo 1 no dia 2: a12 + b12 = 3 + 0 = 3;
Modelo 1 no dia 3: a13 + b13 = 1 + 2 = 3; Modelo 1 no dia 4: a14 + b14 = 5 + 3 = 8.
Modelo 2 no dia 1: a21 + b21 = 1 + 4 = 5; Modelo 2 no dia 2: a22 + b22 = 2 + 2 = 4;
Modelo 2 no dia 3: a23 + b23 = 5 + 4 = 9; Modelo 2 no dia 4: a24 + b24 = 3 + 5 = 8.
5 3 3 8

5 4 9 8
Logo a matriz soma é: A  B 

MCS/1104/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/MATEMATICA - 2a SERIE - ENSINO MEDIO - 1a ETAPA - 2011 – CLAUDIO DIAS - MATRIZES.DOC
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