Oficina de Polinômios

Oficina de Polinômios
Definição:
Chamamos
an x + an−1 x
n∈ N.
n
n−1
expressão
+ an −2 x
n −2
polinomial
ou
polinômio
em
x,
toda
expressão
da
forma
+ ... + a2 x + a1 x + a0 , em que an , an−1 , an−2 ,..., a2 , a1 , a0 são chamados coeficientes e
2
Exemplo:
Grau do polinômio:
É o maior expoente de x, com coeficiente não nulo.
Exemplo:
Teorema Fundamental da Álgebra: O grau de um polinômio é igual ao número total de raízes (reais ou
complexas) que ele possui.
Polinômio nulo ou identicamente nulo:
É aquele cujos coeficientes são todos iguais a zero, ou seja, temos p( x ) = 0 e escrevemos:
p( x ) = an x n + an−1 x n−1 + an−2 x n−2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
an = an−1 = an−2 = ... = a2 = a1 = a0 =0.
é
polinômio
nulo
se,
e
somente
se,
temos
Dizemos que o polinômio nulo não tem grau.
Valor numérico de um polinômio:
O valor numérico do polinômio p( x ) para
p( x ) : p( α ) = anα + an−1α
n−1
+ an−2α
x = α é o número que se obtém substituindo x por α em
+ ... + a2α 2 + a1α + a0
Observe que este valor é um número que chamaremos de p( α ) .
n
n−2
Exemplo:
•
•
p( 0 ) = termo independente de x
p( 1 ) = soma de todos os coeficientes
Operações com polinômios:
Dados dois polinômios
p( x ) = 4 x 3 + 3x 2 + 2 x e q( x ) = 3 x 2 − 2 x , podemos fazer as seguintes operações:
Soma: somar termos de mesmo grau
Subtração: subtrair termos de mesmo grau
Multiplicação: cada termo de p( x ) multiplica todos os termos de q( x )
Divisão: dividir o maior termo de
p( x ) pelo maior termo de q( x ) e seguir analogamente à divisão de inteiros
Dizemos:
p( x ) é o dividendo
h( x ) é o divisor
q( x ) é o quociente
r( x ) é o resto
Teorema do resto:
O resto da divisão de um polinômio p( x ) por ( x − a ) é p( a ) .
Exemplo:
Algoritmo de Briot-Ruffini:
Para o caso de uma divisão onde o divisor é um polinômio do formato ( x − a ) , onde
podemos efetuar a divisão através de um algoritmo chamado Briot-Ruffini.
Observe a disposição dos coeficientes como na tabela a seguir:
Termo constante do
divisor com sinal trocado
Coeficientes de x do dividendo p(x)
Coeficientes do quociente
Se quisermos dividir
2
a é uma constante,
Termo constante
do dividendo p(x)
Resto
p( x ) = 3 x − 2 x 3 + 3x 2 − 2 x − 5 pelo polinômio d ( x ) = x − 2 temos então pela tabela:
4
3
-2
3
-2
-5
Coeficientes do quociente
Resto
Daí copiamos o primeiro coeficiente do dividendo (3) na linha abaixo, e em seguida multiplicamos pelo termo
constante do divisor com sinal trocado (2) e somamos com o próximo coeficiente do dividendo (-2), obtendo 4:
2
3
-2
3
-2
-5
3*2+(-2)
3
4
Em seguida multiplicamos o número obtido pelo termo constante do divisor com sinal trocado (2) e somamos
com o próximo coeficiente do dividendo (3), obtendo 11, e fazendo o mesmo com os números obtidos até chegarmos
na última coluna do resto:
2
3
-2
3
-2
-5
3*2+(-2)
4*2+3
11*2+(-2) 20*2+(-5)
3
4
11
20
35
Dessa forma obtemos que os coeficientes do quociente são 3, 4, 11 e 20, ou seja, o quociente é o polinômio
q( x ) = 3 x 3 + 4 x 2 + 11x + 20 e o resto é 35, logo:
p( x ) = 3 x 4 − 2 x 3 + 3 x 2 − 2 x − 5 = ( 3x 3 + 4 x 2 + 11x + 20 )( x − 2 ) + 35
Fatoração de um polinômio
Fatorar significa escrever como uma série de multiplicações. Todo polinômio pode ser escrito na forma
fatorada p( x ) = an ( x − r1 )( x − r2 )...( x − rn ) , onde r1 , r2 ,..., rn são as raízes de p( x ). Ou seja, ao fatorarmos um
polinômio, estamos explicitando suas raízes.
Teorema do fator:
Se r é uma raiz do polinômio p( x ) , então ( x − r ) é um fator na decomposição de p( x ) .
Observação: Se a é raiz de p( x ) , então dividindo p( x ) por ( x − a ) encontramos resto zero.
Pelo Teorema do fator, se a é raiz de p( x ) então quando aplicarmos Briot-Ruffini em a obteremos resto
zero. Assim, o algoritmo de Briot-Ruffini se torna uma ferramenta útil para encontrarmos a fatoração de um
polinômio.
Candidatos a raiz:
Os “candidatos” a raiz de um polinômio são os números da forma
e que
β
α
β
, tal que
α
divida o termo independente
divida o coeficiente do termo de maior grau.
Exemplo:
Multiplicidade de uma raiz:
Vimos que todo polinômio pode ser escrito da forma
a n ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )...( x − xn ) onde x1 , x2 ,...,
xn são as raízes da equação.
Se x 2 = x1 , ou seja, se x1 aparecer mais de uma vez, podemos escrever o polinômio dessa forma:
an ( x − x1 )( x − x1 )...( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )...( x − xn ) = an ( x − x1 )k ( x − x2 )( x − x3 )...( x − xn )
14444244443
k vezes
O número de vezes que
x1 é raiz do polinômio é chamado de multiplicidade de x1 .
No gráfico:
•
O ponto em que o gráfico cruza o eixo x é uma raiz de multiplicidade 1 (ou uma raiz simples)
•
O ponto em que o gráfico tangencia o eixo x é uma raiz de multiplicidade maior que 1
Referências:
Dante, Luiz Roberto. Matemática contexto & aplicações. 2002, volume único.
Giovanni, José Ruy. Bonjorno, José Roberto. Giovanni Jr., José Ruy. Matemática Fundamental, Uma Nova Abordagem.