Questões de Matemática Básica Prof. Lúcio Fassarella Quest`es

Questões de Matemática Básica
Prof. Lúcio Fassarella
Questões básicas e fundamentais da Matemática elementar.
1. Por que não de…nimos a divisão por zero?
2. Por que ( 1) ( 1) = 1?
3. Por que 20 = 1?
4. Qual é o grau do polinômio nulo?
5. Justi…que tecnicamente e explique didaticamente as de…nições das operações com frações:
c
ad + cb
a c
ac
a
a
+ =
;
=
;
b
d
bd
b d
bd
b
c
ad
=
8a; b; c; d 2 Z; b 6= 0; d 6= 0; c 6= 0:
d
bc
1
1
Por que não de…nimos a divisão por zero?
Lembramos o signi…cado da divisão: dados a; b; c 2 R, dizemos que c é o quociente (resultado da divisão) de
a por b quando a = b c, i.e.,
a b = c () a = b c:
Portanto: para a 2 R; a 6= 0, não existe c 2 R tal que a = 0
dividido por 0.
c – o que signi…ca que a 6= 0 não pode ser
Observação 1 Uma outra razão para não de…nirmos divisão por zero em R (ou em qualquer anel) é que a
divisão corresponde a função inversa da multiplicação: como a multiplicação por zero não de…ne uma função
bijetiva de R em R, ela não possui inversa!
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Por que ( 1) ( 1) = 1?
A razão da identidade ( 1) ( 1) = 1 é que ela é consequência das propriedades comutativa e distribuitiva
da adição e multiplicação, além da de…nição de “1” (como elemento neutro da multiplicação) e “ 1” (como
inverso aditivo do “1”).
A dedução:
0 = (1
1) = ( 1) (1
1) = ( 1) 1 + ( 1) ( 1) =
1 + ( 1) ( 1) ;
portanto
1=1
1 + ( 1) ( 1) ;
donde
1 = ( 1) ( 1) :
Observação 1 Isoladamente, essa dedução algébrica não su…ciente para justi…car a identidade no âmbito
da Educação Básica. Nesse contexto, o professor pode recorrer a situações que mostrem ser razoável sua
validade. Para uma discussão mais aprofundada, veja [Lima: pp.151-155].
Referência:
[Lima] Elon L. Lima: Meu Professor de Matemática. SBM, Rio de Janeiro.
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Por que 20 = 1?
De…nitivamente, 20 = 1 por de…nição! Mais geralmente, a0 é de…nido como sendo 1 para todo a 2 R; a 6= 0.
Existe uma razão simples para esta de…nição no âmbito da aritmética elementar:
Explicação/motivação para de…nir a0 := 1; 8a 2 R; a 6= f0g:
i) Lembramos a de…nição de potência inteira positiva de um número real a 2 R:
an := a
::: a} ; 8n 2 N; n
| {z
1;
(3.1)
n vezes
ii) Diretamente dessa de…nição, segue a proposição sobre o quociente de potências:1
am
= am
an
n
; 8m; n 2 N; m > n;
(3.2)
iii) Como
an
= 1 ; 8n 2 N; n 1;
an
a proposição (3.2) pode ser extendida para o caso m = n 2 N se, e somente se, de…nimos
a0 := 1:
(3.3)
Isso explica/motiva a de…nição em questão!
Observação 1 Observamos que essa explicação/motivação da de…nição da potência nula realmente parece
uma demonstração –mas não pode ser2 . Por que não pode ser? Porque para se demonstrar uma proposição,
é necessário que sua tese esteja previamente de…nida – o que não ocorre no caso em questão!
Observação 2 A questão da de…nição da potência nula não é complicada e se enquadra na prática normal
dos Matemáticos; por exemplo, usamos aqui o mesmo princípio que Elon L. Lima na sua discussão acerca da
expressão indeterminada “00 ”: a explicação para a de…nição da potência nula também parte “da tentativa de
extender certas expressões aritméticas a casos que não estavam enquadrados nas de…nições originais dessa
operação” [Lima: p.156].
Referência:
[Lima] Elon L. Lima: Meu Professor de Matemática. SBM, Rio de Janeiro.
1 Esta
proposição pode ser rigorosamente demonstrada pelo Princípio da Indução.
de…nição não é uma demonstração se consideramos que uma demonstração não possa reduzir-se ao enunciado de
uma de…nição. Agora, destacamos que o valor da potência com expoente nulo pode ser deduzido num contexto onde são dadas
outras de…nições; por exemplo, no âmbito da Análise, podemos demonstrar que a0 = 1 para a > 0 considerando a de…nição da
função exponencial de base a em termos de série de potências:
2 Uma
ax = ex ln a ; ex = 1 +
3
1
X
xn
n!
n=1
a0 = 1:
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Qual é o grau do polinômio nulo?
Considere N = f0; 1; 2; :::g. Um polinômio real de grau n 2 N é uma expressão da forma
p (x) = a0 + a1 x + ::: + an xn
onde a0 ; :::; an 2 R com an 6= 0. O polinômio nulo é de…nido como sendo p (x) = 0.
Destacamos que as de…nições de polinômio nulo e de polinômio de grau n 2 N não incluem a de…nição
do grau do polinômio nulo (porque sua expressão não possui coe…cientes diferentes de zero).
Geralmente, não se de…ne o grau do polinômio nulo – e.g. [Neto, 2012: p.38]. Entretanto, os seguintes
argumentos sugerem de…nições razoáveis para o grau do polinômio nulo:
O grau do polinômio nulo pode ser de…nido como sendo “ 0” porque o polinômio nulo corresponde a
uma função real constante, e toda função real constante não-nula corresponde a um polinômio de grau
zero.
O grau do polinômio nulo pode ser de…nido como sendo “ 1” porque essa de…nição, combinada a
convenção
1 + x = 1 8x 2 R;
tornaria verdadeira a seguinte proposição: Para todo par de polinômios p1 (x) e p2 (x), o grau do
produto p1 (x) p2 (x) é igual a soma dos graus de cada fator, i.e.,
deg [p1 (x) p2 (x)] = deg [p1 (x)] + deg [p2 (x)] :
Observação 1 Dependendo do contexto, usa-se a segunda de…nição para o grau do polinômo nulo; contudo,
essa de…nição não é recomendável no âmbito da Educação Básica por duas razões: ela é tanto inútil quanto
incompreensível (na medida em que o símbolo “ 1”for corretamente interpretado). Agora, a razão para não
de…nirmos o grau do polinômio nulo pode ser justi…cada pelo seguinte argumento: “ o grau de um polinômio
é o maior inteiro que ocorre como expoente na sua expressão, considerando as parcelas com coe…cientes
diferentes de zero; como a expressão do polinômio nulo não possui parcela com coe…ciente diferente de zero,
ele também não possui grau.”
Referência:
[Neto, 2012] Antônio C.M. Neto: Tópicos de Matemática Elementar – Volume 6: Polinômios. Editora
SBM, 2012.
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