Problemas resolvidos nas aulas teóricas

Teórica 3
Problema 1
Sabendo as componentes intrínsecas nas duas facetas
que passam pelo mesmo ponto (veja a figura ao lado),
determine as componentes do tensor das tensões no
referencial x e y com os eixos alinhados com a
horizontal e a vertical, respectivamente. Calcule ainda
a restante componente na faceta no lado esquerdo da
figura.
?
P
45º
10
30
MPa
20
P
60º
15,36 23,92 
(solução:   
 MPa , restante componente: 9,28MPa para baixo)
23
,
92

3
,
21


Problema 2
O estado das tensões no ponto P dum meio contínuo é caracterizado por tensor das tensões [σ] cujas
componentes no referencial 0xyz escrevem-se na forma matricial:
 7  5 0
   5 3 1 MPa
1 2
 0
Calcule as componentes cartesianas e intrínsecas do vector das tensões, que actua na faceta paralela
com o plano ABC da figura, sabendo que a normal exterior aponta para o primeiro octante.
Esquematize o vector das tensões, a normal da faceta e as projecções para as componentes intrínsecas.
Calcule ainda o ângulo  que faz o vector da tensão com a normal exterior.
z
C
15cm
10cm
A
5cm B
y
x
Solução: t 
1
23
 9, 5,10 MPa, tn   0,469 MPa, tt  2, 00 MPa,   76,8º
7
49
Problema 3
O estado das tensões no ponto P dum meio contínuo é caracterizado por tensor das tensões [σ] cujas
componentes no referencial 0xy escrevem-se na forma matricial:
 41,4 34,5
MPa,
0 

   34,5
determine as componentes cartesianas e intrínsecas numa faceta que faz 60º com a horizontal e cuja
normal exterior tem a segunda componente positiva.
Para a determinação use:
a) formulas para componentes intrínsecas;
b) a rotação do referencial;
c) as fórmulas que envolvam os vectores n e s
Determine ainda a restante componente que não se visualiza nesta faceta.
Solução: t  18,6; 29,9  MPa, tn  1,17 MPa, tt  35,18 MPa (para cima), a componentes que não se
visualiza é -40,23 MPa
Problema 4
O estado das tensões no ponto P de um corpo contínuo é caracterizado pelo tensor das tensões [σ] cujas
componentes no referencial 0xyz representam-se no paralelepípedo elementar como se mostra na figura
z
2MPa
1MPa
7MPa
5MPa
3MPa
y
x
Calcule:
a) A tensão de corte máxima e a tensão normal que a acompanha na mesma faceta, a tensão
perpendicular ao plano de tensão de corte máxima e represente estas componentes graficamente no
referencial principal;
b) A tensão octaédrica e a tensão de von Mises;

c) A tensão na direcção definida pelo vector v  1,2,2 .
(solução: a) max  5,53MPa , n  4,89MPa , p  2  2,22MPa ; b) oc  4 MPa , oc  4,69MPa ,
 vM  9,95MPa ; c) v  4,33MPa )
Problema 5
Um componente estrutural está sujeito a um carregamento
que origina o campo de tensões da forma seguinte:
σx = (5x+4y)·a; σy = (5x-4y)·a; τxy=(7y-6x)·a;
onde a=10-2Nmm-3.
Calcule este carregamento (de volume e de superfície),
represente-o graficamente e verifique o equilíbrio global.
(solução: f x  120MN/m , f y  100MN/m )
3
3
y
50cm
30cm
x
Problema 6
É dado um campo de tensão no referencial 0xy na forma matricial:
10
10  20y
  15y

   10
6x  3y 6  15y  .
10  20y 6  15y 30  12x 
Assume-se que este campo de tensão foi originado pela carga na superfície de um paralelepípedo
posicionado no primeiro octante e com os lados 3, 4 e 5m, respectivamente. Represente graficamente
esta carga.
Nota: Assume-se, que substituindo as coordenadas dos pontos pelos valores dados, a unidade das
tensões será [MPa].