Exame2_030206

Mecânica dos Meios Contínuos
Ano Lectivo 2005/2006
2º Exame
3 de Fevereiro de 2006
Duração: 3 horas
Observações:
Não podem ser consultados quaisquer elementos de estudo para além do formulário
Na resolução dos problemas justificar convenientemente todas as passagens indicando
se necessário quais os conceitos teóricos utilizados.
Problema 1 (3 valores)
Considere as seguintes equações indiciais:
1
1
Eij = (ui,j + uj,i + uk,i uk,j)
i =
eijk uk,j
2
2
(1,0) a) Faça o desenvolvimento no espaço tri-dimensional das componentes E21 e 3 (eijk é
o simbolo de permutação). Que nome recebem as grandezas indicadas no 1º membro
de cada equação?
(1,0) b) Sabendo que ui representa as componentes do vector deslocamento indique o
significado das componentes E12 (para pequenas deformações) e 3.
(1,0) c) Mostre que
d

  v k ,k  0 
 ( v k ), k  0
dt
t
Problema 2 (4 valores)
Considere o estado plano de tensão representado na figura. Sabe-se que as componentes
normais e tangenciais de tensão têm o sentido indicado, que:
σ22
σ11 = 14 MPa
σ12
σ11
σ22 = 9 MPa
e que a menor tensão normal no
plano x1, x2 vale
σmin = 5 MPa.
Determine:
(1,0) a) o valor da tensão principal σmax;
(1,5) b) a orientação das direcções principais de tensão;
(1,5) c) o valor da tensão tangencial máxima e a orientação da(s) faceta(s) em que actua.
Problema 3 (8 valores)
A placa rectangular ABCD representada na figura tem uma espessura de 10 mm e é
constituída por um material de comportamento elástico linear e isotrópico. Foi submetida
a um estado de deformação homogéneo plano transformando-se no paralelogramo
AB’C’D’ desenhado a tracejado.
(2,0) a) Sabendo que o tensor das deformações referido ao sistema de eixos x1, x2, x3 é dado
por ε11 = 2x10-3, ε12 = - ε22 = 1x10-3, ε13 = ε23 = ε33 = 0 determine os valores a, b e c
indicados na figura e o vector rotação de corpo rígido.
(1,0) b) Calcule as componentes de tensão na placa referidas ao mesmo sistema de eixos.
(1,0) c) Diga, justificando, se a seguinte afirmação é verdadeira: “a ausência de deformação
implica que todas as componentes do tensor F sejam nulas”.
a
E = 200 GPa
c
ν = 0,3
2
C
B
C’
b
B’
2m
2’
2
30º
A
(3)
D
D’
1
1’
1
3m
Posteriormente a placa foi submetida a uma 2ª solicitação, a qual provocou um estado de
tensão plano cujas componentes, no sistema de eixos x’1, x’2, x’3, valem:
σ’11 = - 5 MPa
σ’22 = 10 MPa
σ’12 = - 10 MPa
Para a actuação simultânea das duas solicitações determine:
(2,0) d) a extensão máxima e a distorção máxima e a orientação das fibras para as quais elas se
desenvolvem;
(1,0) e) a variação de volume sofrida pela placa;
(1,0) f) as forças distribuídas ao longo da fronteira AD.
Problema 4 (5 valores)
Considere a seguinte descrição material do movimento de um fluido Newtoniano isotrópico:
x1 = X1,
x2 = 2 X2 + X3 t2,
x3 = X3 + t
(1,5) a) Calcule as componentes da velocidade e da aceleração na descrição espacial e as
componentes do tensor Dij.
(1,0) b) Diga, justificando, se o escoamento é solenoidal e/ou permanente.
(1,5) c) Sabendo que a tensão normal média é igual a - 5 N/m2 e que, num dado instante de
tempo t, σ23 = 0,2 N/m2 , calcule t e as restantes componentes de tensão no fluido para
esse instante de tempo (μ = 10-2 N/m2s).
(1,0) e) Indique, no caso de um fluido Newtoniano isotrópico, em que condições a tensão
normal média é igual à pressão termodinâmica.
FORMULÁRIO
T’rs = air ajs Tij ,
Tij = air ajs T’rs ,
[Tij -  ij]{Bj}= {0},
ij,i + Xj = 0 ,
T’ = AT T A ,
| Tij -  ij | = 0 ,
tj = ij ni ,

T = A T’ AT,
-3 + I  2 - I’  + I” = 0 ,


j (n) = ij ni , n =  . n ,
T12
2 = arcsin  R 
 
T11 + T22
, R= T122 + T - OC,
2


ij = (ui,j + uj,i) ,
ij = (ui,j - uj,i),


ij,kl + kl,ij - ik,jl - jl,ik = 0,
11,22 +  22,11 - 2 12,12 = 0,
=


 . - n2 ,
OC =
εa = αi αj ij ,
γab = 2 αi βj ij ,
ε=ΔL/L,

Dij = (vi,j + vj,i) ,


Vij = (vi,j - vj,i) ,


i = eíjk Vkj,

ds2 – dS2 = 2Eij dXi dXj ,
ij =
dx1 dx2 dx3
v1 = v2 = v3 = dt,


ij +
  ,

 kk ij
ij = 2 ij +  kk ij,
ij = -p ij +2 Dij + Dkk ij ,
W = 
 ijdij ,
ij =
kk
ijT = Tij , 3 = K
ijt = 2G ijt,
kk


ij  ,

2 (3 + 2) ij
U=
WdV ,
V
du
ij,i + bj =  aj ,  dt = íj Dij - qj,j + h,
vj
-p,j + (vi,ji + vj,ii) +  vk,kj + bj = 
+  vj,k vk
t
d 

dt = t + vkxk
γ = π / 2 - Φ,   kk


ij = E ij -E kk ij ,
d
dt +  vk,k = 0

aij = cos (e i , e'j )
G=
K=
E
(1+
E
3(1-2