AulaTP 07

SUCESSÕES E SÉRIES
SÉRIES NUMÉRICAS
DMAT
ESTSetúbal-DMAT
1 de Março de 2011
DMAT (ESTSetúbal-DMAT)
LIÇÃO 6
1 de Março de 2011
1/7
Critério do Integral (séries de termos não negativos)
Teorema (Critério do Integral): Seja f : [1, +∞[ ! R uma função
contínua, positiva e decrescente. Considerando a sucessão de termo
geral un = f (n) , tem-se que: ∑ un é convergente sse o integral
R +∞
impróprio 1 f (x ) dx é convergente.
[dem] Corolário: A série de Dirichlet ∑n+=∞1 n1α , com α 2 R, é
convergente se α > 1 e divergente se α 1.
Exemplo: Estude a natureza da série ∑n+=∞1 n1 .
DMAT (ESTSetúbal-DMAT)
LIÇÃO 6
1 de Março de 2011
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Critério do Integral (séries de termos não negativos)
[dem] Corolário: A série de Dirichlet ∑n+=∞1 n1α , com α 2 R, é
convergente se α > 1 e divergente se α 1.
D: Suponha-se que α > 1. Então, f (x ) = x1α está nas condições do
Critério do Integral. Calculemos,
Z +∞
1
1
xα
dx
=
=
lim
Z L
1
L !+∞ 1
lim
L !+∞
xα
L
L !+∞
α+1
1
1
1
dx = lim
L1 α
1
α +1
α
1
x
=
α |{z} α
α >1
1
.
Este facto (tendo em conta o Critério do Integral) mostra que
∑n+=∞1 n1α é convergente se α > 1. Suponha-se que α = 1. Então,
f (x ) = x1 está nas condições do Critério do Integral. Logo,
RL 1
R +∞ 1
x dx = limL !+∞ 1 x dx = limL !+∞ ln (L) = + ∞. Este facto
1
(tendo em conta o Critério do Integral) mostra que ∑n+=∞1 n1 é
divergente (α > 1).
(Continua)
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LIÇÃO 6
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Critério do Integral (séries de termos não negativos)
[dem] Corolário: A série de Dirichlet ∑n+=∞1 n1α , com α 2 R, é
convergente se α > 1 e divergente se α 1.
D: Suponha-se agora que 0 < α < 1. Então, f (x ) = x1α está nas
condições do Critério do Integral. Logo,
R +∞ 1
L1 α
1
x α dx = limL !+∞ 1 α
1 α = + ∞. Este facto (tendo em
1
conta o Critério do Integral) mostra que ∑n+=∞1 n1α é divergente se
0 < α < 1. Suponha-se agora que α < 0. Nestas circunstâncias
claramente ∑n+=∞1 n1α é divergente pois lim n1α 6= 0. Em síntese, a série
de Dirichlet ∑n+=∞1 n1α , com α 2 R, é convergente se α > 1 e
divergente se α 1.
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Critério de Cauchy
[dem] Teorema (Critério de Cauchy): Se ∑ un é uma série de
p
termos não negativos tal que lim n un = L (com L …nito ou
n !+∞
in…nito), então se L < 1, ∑ un é convergente, se L > 1, ∑ un é
divergente e se L = 1, nada se pode concluir quanto à convergência
da série.
D: Seja L < r < 1. A partir de certa ordem p todos os termos da
p
p
p
sucessão ( n un ) satisfazem n un < r (caso contrário lim n un r ).
n !+∞
Então, a partir dessa ordem, un < r n com r < 1. Logo, como ∑ r n é
convergente, em resultado do 1o Critério de Comparação, ∑ un é
p
convergente. Se L > 1 existe uma subsucessão de ( n un ) com limite
p
L > 1. Então, os termos dessa subsucessão satisfazem ( n un )n =
un > 1. Este facto mostra que não se pode veri…car lim un = 0. Logo,
∑ un é divergente (a condição necessária de convergência não se
veri…ca. Por outro lado, ∑ 1 é divergente e ∑ n12 é convergente com
p
n
1
1p
1!1e p
n 2 = p
n n n n ! 1, este facto mostra que se L = 1, nada
n
se pode concluir quanto à convergência da série.
Exemplo: Estude a natureza da série ∑n+=∞1
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LIÇÃO 6
2n
2n
.
3n +5
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Critério de D’Alembert
[dem] Teorema (Critério de D’Alembert): Se ∑ un é uma série de
termos positivos tal que lim uun +n 1 = L (com L …nito ou in…nito),
n !+∞
então, se L < 1, ∑ un é convergente, se L > 1, ∑ un é divergente e se
L = 1, nada se pode concluir quanto à convergência da série.
D: Este critério resulta do Teorema anterior e da propriedade das
sucessões de termos positivos que estabelece
p
un +1
! L ) n un ! L.
un
Exemplo: Estude a natureza da série ∑n+=∞1
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LIÇÃO 6
3n
n! .
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Exercícios
Determine a natureza das seguintes séries de termos não negativos:
∑n+=∞1
1
.
ln n (n +1 )
q
R: Como lim n lnn (n1+1 ) = lim ln (n1+1 ) = 0 < 1, então a série é
convergente (Critério de Cauchy).
∑n+=∞1
[(2n )!]2
.
n!(3n )!
R: Como
[(2 (n +1 ))!]2
(n +1 )!(3 (n +1 ))!
[(2n )!]2
n!(3n )!
=
n!(3n )!
[(2 (n +1 ))!]2
[(2n )!]2 (n +1 )!(3 (n +1 ))!
=
n!(3n )!
(2n +2 )(2n +1 )(2n )! 2
=
(2n )!
(n +1 )n!(3n +3 )(3n +2 )(3n +1 )(3n )!
2
((2n +2 )(2n +1 ))
= (n +1 )(
! 16
27 < 1, então a série é
3n +3 )(3n +2 )(3n +1 )
convergente
(Critério de D’Alembert).
arcsin2 1 + arcsin2 12 +
+ arcsinn n1 +
.
q
R: Como lim n arcsinn n1 = lim arcsin n1 = 0 < 1, então a série é
convergente (Critério de Cauchy).
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