Aula 29 Estratégias de Integração. Integrais Impróprias. MA111

Aula 29
Estratégias de Integração.
Integrais Impróprias.
MA111 - Cálculo I
Turmas O, P e Q
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Estratégias de Integração
I
Nas últimas aulas, apresentados diversas técnicas de
integração.
I
Na prática, porém, não é necessariamente óbvio qual
técnica devemos aplicar para integrar uma dada função.
I
Regras fáceis e rápidas para a aplicação de um dado
método não podem ser dadas.
I
Todavia, apresentaremos alguns conselhos que podem
ser úteis.
Estratégias de Integração
Conselhos para calcular uma ingegral (segundo Stewart):
1. Simplifique o integrando, se possível.
2. Procure uma substituição óbvia.
Tente identificar u = g(x) cujo diferencial du = g 0 (x)dx
também ocorre no integrando.
3. Classifique o integrando como:
a)
b)
c)
d)
Funções trigonométricas.
Funções racionais.
Integração por partes
(produto de funções).
√
Radicais do tipo ±x ± a.
4. Tente novamente.
Lembre-se que efetivamente, calculamos uma integral
fazendo uma substituição ou usando integração por
partes.
Exemplo 1
Z
tg3 x
dx
cos3 x
Exemplo 1
Z
tg3 x
dx
cos3 x
Resposta:
Z
I=
tg3 x
dx =
cos3 x
Z
sen3 x 1
dx =
cos3 x cos3 x
Tomando u = cos x, temos du = − sen xdx e
Z
sen2 x
I=
sen xdx
cos6 x
Z
1 − u2
=
(−du)
u6
Z
= (u −4 − u −6 )du
Z
sen3 x
dx.
cos6 x
Exemplo 2
√
Z
e
x
dx
Exemplo 2
√
Z
e
x
dx
√
Tome u = x, então u 2 = x e 2udu = dx. Logo,
Z
Z
Z √
x
u
I = e dx = e (2udu) = 2 ueu du,
Resposta:
que pode ser resolvida usando integração por partes.
Exemplo 3
Z
x5 + 1
dx
x 3 − 3x 2 − 10x
Exemplo 3
Z
x5 + 1
dx
x 3 − 3x 2 − 10x
Resposta: O integrando é uma função racional. Deve-se usar
frações parciais (última aula).
Exemplo 4
Z
1
√ dx
x lnx
Exemplo 4
Z
Resposta:
1
√ dx
x lnx
Substituímos u = ln x. Logo,
du =
1
dx
x
e, portanto,
Z
1
√ dx =
x lnx
Z
1
√ du.
u
Exemplo 5
Z r
1−x
dx.
1+x
Exemplo 5
Z r
1−x
dx.
1+x
Resposta:
Multiplicando o numerador e o denominador por
√
1 − x obtemos,
Z r
1−x
I=
dx
1+x
Z
1−x
√
=
dx
2
1
−
x
Z
Z
1
x
√
=
dx + √
dx
2
1−x
1 − x2
p
= sen−1 x + 1 − x 2 + c.
Podemos Calcular a Integral de Qualquer Função
Contínua?
2
Não! Por exemplo, a função f (x) = ex é uma função contínua,
sua integral existe e se definirmos
Z x
2
F (x) =
et dt,
0
então, pelo teorema fundamental do cálculo, temos
2
F 0 (x) = ex . Contudo, não existe uma expressão para F . Em
outras palavras, F não é uma função elementar.
As funções elementares são as funções polinômiais, potências,
exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e suas inversas, e
todas as funções que podem ser obtidas destas usando
operações algébricas e composições.
Integrais Impróprias
Até o momento, consideramos integrais definidas
Z
b
f (x)dx,
a
em que
I
o intervalo [a, b] é limitado e,
I
f é contínua em [a, b].
Temos uma integral imprópria quando
I
o intervalo de integração é infinito ou,
I
f possui uma descontinuidade infinita em [a, b].
Considere a região S que está sob a curva y = 1/x 2 , acima do
eixo x e à direita da reta x = 1. Para determinar a área de S,
vamos considerar a parta que está à esquerda da reta x = t.
Nesse caso,
Z
A(t) =
1
t
1
1 t
1
dx = − = 1 − .
2
x 1
t
x
Além disso,
1
lim A(t) = lim 1 −
= 1.
t→∞
t→∞
t
Portanto, a área da região S é
Z
1
∞
1
dx = lim
t→∞
x2
Z
1
t
1
dx = 1.
x2
Integral Imprópria - Intervalos Infinitos
I
Se
Rt
a
f (x)dx existe para todo t ≥ a, então escrevemos
Z
∞
Z
t
f (x)dx = lim
a
I
t→∞ a
f (x)dx,
quando o limite da direita existe (como um número).
Rb
Se t f (x)dx existe para todo t ≤ b, então escrevemos
Z
b
Z
f (x)dx = lim
−∞
t→−∞ t
b
f (x)dx,
quando o limite da direita existe (como um número).
Uma integral imprópria é chamada convergente se o limite
correspondente existe. Se o limite não existe, a integral é
referida como divergente.
Integral Imprópria - Intervalos Infinitos
I
Ra
R∞
Se ambas −∞ f (x)dx e a f (x)dx são convergentes,
então escrevemos
Z ∞
Z a
Z ∞
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx.
−∞
−∞
a
Aqui, qualquer número real a pode ser usado.
Exemplo 6
Calcule
Z
0
−∞
xex dx
Exemplo 6
Calcule
Z
0
−∞
Resposta: −1.
xex dx
Exemplo 7
Calcule
Z
∞
−∞
1
dx
1 + x2
Exemplo 7
Calcule
Z
∞
−∞
Resposta: π.
1
dx
1 + x2
Exemplo 8
Determine se a integral
Z
1
é convergente ou divergente.
∞
1
dx
x
Exemplo 8
Determine se a integral
Z
1
∞
1
dx
x
é convergente ou divergente.
Resposta: A integral imprópria é divergente.
Exemplo 9
Para quais valores de p a integral
Z ∞
1
dx
xp
1
é convergente?
Exemplo 9
Para quais valores de p a integral
Z ∞
1
dx
xp
1
é convergente?
Resposta: A integral é convergente se p > 1 e divergente se
p ≤ 1.
Integral Imprópria - Integrandos Descontínuos
I
Se f é contínua em [a, b) e descontínua em b, então
escrevemos
Z b
Z t
f (x)dx = lim
f (x)dx,
a
t→b−
a
quando o limite da direita existe (como um número).
I
Se f é contínua em (a, b] e descontínua em a, então
escrevemos
Z b
Z b
f (x)dx = lim+
f (x)dx,
a
t→a
t
quando o limite da direita existe (como um número).
Uma integral imprópria é chamada convergente se o limite
correspondente existe. Se o limite não existe, a integral é
referida como divergente.
Integral Imprópria - Integrando Descontínuo.
I
Se f tiver uma descontinuidade em c, em que a < c < b e
Rc
Rb
ambas integrais impróprias a f (x)dx e c f (x)dx são
convergentes, então escrevemos
Z
b
Z
f (x)dx =
a
c
Z
f (x)dx +
a
b
f (x)dx.
c
Exemplo 10
Calcule
Z
2
5
√
1
dx.
x −2
Exemplo 10
Calcule
Z
√
Resposta: 2 3.
2
5
√
1
dx.
x −2
Exemplo 11
Calcule
Z
0
se possível.
3
1
dx,
x −1
Exemplo 11
Calcule
Z
0
3
1
dx,
x −1
se possível.
Resposta: A integral é divergente.
Exemplo 12
Calcule
Z
1
ln xdx,
0
se possível.
Exemplo 12
Calcule
Z
1
ln xdx,
0
se possível.
Resposta: −1.
Teorema 13 (Teorema de Comparação)
Suponha que f e g sejam funções contínuas com
f (x) ≥ g(x) ≥ 0 para
I
I
x ≥ a.
R∞
R∞
Se a f (x)dx é convergente, então a g(x)dx é
convergente.
R∞
R∞
Se a g(x)dx é divergente, então a f (x)dx é divergente.
Um teorema semelhante é válido para integrais impróprias com
descontinuidade no integrando.
Exemplo 14
Mostre que
Z
∞
2
e−x dx
0
é convergente.
Exemplo 15
Mostre que
Z
1
é divergente.
∞
1 + e−x
dx
x