Primitivas e Integrais

6.1
Derivação & Integração: regras básicas
REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (u + k v)0 = u0 + k v 0 ;
1. Regra da soma:
k constante
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (u v)0 = u0 v + u v 0
2. Regra do Produto:
3. Regra do Quociente:
u
v
....................................................
0
4. Regra da Potência:
...........................................................
5. Regra da Cadeia I:
...............................................
d
dx
u0 v
=
u v0
v2
d
dx
[xp ] = pxp
1
[f (u(x)] = f 0 (u(x) u0 (x)
6. Regra da Cadeia II: (Notação de Leibniz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
df
df du
=
dx
du dx
AS FUNÇÕES ELEMENTARES E SUAS DERIVADAS
1. Logaritmo Natural de x:
2. Exponencial de x:
3. Seno de x:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ln x ou log x;
D(ln x) = 1=x; x > 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ex ou exp x;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin x ou sen x;
4. Cosseno de x:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos x;
5. Tangente de x:
6. Secante de x:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tan x ou tg x;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sec x
7. Cotangente de x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cot x ou cotg x;
8. Cossecante de x:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . csc x ou cosec x;
D(ex ) = ex
D(sen x) = cos x
D(cos x) =
sen x
D(tan x) = sec2 x
D(sec x) = sec x tan x
D(cot x) =
D(cosec x) =
cosec2 x
cosec x cotg x
Se f (x) é uma função cuja derivada não se nula no intervalo (a; b), então sua inversa g (y) é derivável
no intervalo (c; d), com derivada
g 0 (y) =
1
f 0 (x)
;
a < x < b:
(6.1)
Com auxílio da fórmula (6.1) podemos chegar às derivadas das funções trigonométricas inversas, em
um intervalo adequado.
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
1. Derivada do Arcoseno:
PRIMITIVAS & INTEGRAIS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D(arcsen x) = p
2. Derivada do Arcocosseno:
1
x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D(arctg x) =
4. Derivada do Arcocotangente:
;
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D(arccos x) =
3. Derivada do Arcotangente:
5. Derivada do Arcosecante:
1
=2 < x < =2:
1
1
x2
1
;
1 + x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D(arccotg x) =
;
0<x< :
=2 < x < =2:
1
;
1 + x2
0 < x < =2:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D(arcsec x) =
1
p
jxj x2
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D(arccosec x) =
1
p
jxj x2
1
6. Derivada do Arcocosecante:
lxix
;
jxj > 1:
;
jxj > 1:
REGRAS BÁSICAS DE INTEGRAÇÃO
A partir das derivadas das funções básicas, obtemos
Z
xn+1
01.
xn dx =
+ C, n 6= 1
n+1
Z
1
dx = log jxj + C; x 6= 0
03.
x
Z
05.
ex dx = ex + C
Z
ax
07.
ax dx =
+ C, a > 0 e a 6= 1
ln a
Z
cos(kx)
09.
sen(kx)dx =
+C
k
Z
dx
p
= arcsen x + C
11.
1 x2
Z
dx
13.
= arctan x + C
1 + x2
Z
dx
p
= arcsec x + C
15.
jxj x2 1
EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS
a seguinte tabela de primitivas:
Z
02.
sec2 xdx = tan x + C
Z
04.
cosec2 xdx = cotg x + C
Z
06.
sec x tan xdx = sec x + C
Z
08.
cosec x cot xdx = cosec x + C
10.
Z
Z
cos(kx)dx =
sen(kx)
+C
k
dx
= arccos x + C
1 x2
Z
dx
p
14.
= arccotg x + C
1 + x2
Z
dx
p
16.
= arccosec x + C
jxj x2 1
12.
p
1.1
1. Em cada caso, determine a primitiva F (x) da função f (x), satisfazendo à condição especi…cada.
(a) f (x) =
p
4
x; F (1) = 2 (b) f (x) = x2 + 1=x2 ; F (1) = 0 (c) f (x) = (x + 1)
1
; F (0) = 2:
2. Certa função derivável f (x) é tal que f (x) > 0; 8x; e f (1) = 1. Sabendo que f 0 (x) = xf (x),
encontre a expressão que representa f (x).
(sug.: derive a função g(x) = ln[f (x)])
lxx
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL
MARIVALDO P. MATOS
3. Sejam f e g funções deriváveis em R e suponha que f (0) = 0 e g (0) = 1. Se f 0 (x) = g (x) e
g 0 (x) =
sen x]2 + [g (x)
f (x) ; 8x, mostre que função h (x) = [f (x)
cos x]2 tem derivada nula
e, portanto, é constante. A partir daí deduza que f (x) = sen x e g (x) = cos x:
Z
4. Em cada caso, calcule a integral inde…nida f (x) dx:
(a) f = x3
1
1
1
+ 2+
3
x
x
x
p
1+x
(f) f = tg2 x
5x
(b) f =
1
(e) f = 1 + x2
1
x5
(c) f = 2 sen x
(g) f =
p
(d) f = 1 + x2
p
(h) f = x3 x
x + sec2 x
(i) f = 2x + ex+1
(j) f = 2 + x2 + cos (2x)
(k) f = sec2 (4x + 2)
(m) f = 2 + sen2 x
(n) f = sec (2x) tg (2x)
(o) f = (x + 1) x
1
p
5. Mostre que F (x) =
F (0) =
(a)
Z
2
(l) f = cos2 x
1
(p) f = x (x + 1)
exp ( xp ) ; p 6= 0; é a primitiva de f (x) = xp
1 exp (
1
xp ) tal que
1=p: Agora, calcule as integrais inde…nidas:
x exp
x2
Z
dx (b)
p
exp ( x) dx
p
x
(c)
Z
x2 dx:
x exp
6. Determine a função f que satisfaz a: f 00 (x) = x2 + ex ; f (0) = 2 e f 0 (0) = 1:
7. Se k é um número inteiro não negativo, calcule o valor de:
(a)
Z
2
sen (kt) dt
(b)
0
Z
cos (kt) sen (kt) dt
(c)
Z
=4
[cos2 (kt)
sen2 (kt)]dt:
0
8. Encontre a equação da curva que passa no ponto A ( 3; 0) e cuja inclinação da reta tangente, em
cada um de seus pontos (x; y), é m (x) = 2x + 1:
9.
DERIVAÇÃO SOB O SINAL DE INTEGRAL
que
(x) e
Deixe f ser uma função contínua em [a; b] e suponha
(x) sejam funções deriváveis em (a; b). Se
' (x) =
Z
(x)
f (t) dt;
(x)
mostre que ' é derivável em (a; b) e deduza a Regra de Leibniz:
'0 (x) = f ( (x))
0
(x)
f ( (x))
0
(x) :
(6.2)
10. Usando a Regra de Leibniz (6.2), calcule '0 (x) em cada caso abaixo:
(a) ' (x) =
Z
1
xp
3
1+
t4 dt
(b) ' (x) =
Z
sen x
cos x
5
(ln t) dt (c) ' (x) =
Z
exp x
x2 1
cos t2 dt:
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
PRIMITIVAS & INTEGRAIS
11. Em cada caso abaixo, calcule a integral de…nida de f , no intervalo I indicado.
(
x, se x < 0
(a) I = [ 1; 1]; f (x) =
(b) I = [ 2; 2]; f (x) = jx
x2 x + 1, se x 0
(c) I = [
; ]; f (x) = jsen xj
(e) I = [ 3; 5]; f (x) =
6.2
x2
(d) I = [
3x + 2
1j
; ]; f (x) = x + jcos xj
(f) I = [
; ]; f (x) = x
jxj
Cálculo de Áreas Planas
1. Em cada caso, calcule a área da região R:
(a) R é delimitada pelas curvas y = x4 e y = x2 , para 0 x 1:
p
(b) R é delimitada pelas curvas y = 3 x e y = x3 , para 0 x 1:
(c) R é delimitada pelas curvas y = jxj e y =
(d) R é delimitada pelas curvas y =
x2 , para
1
x
1:
x2 + 4 e y = x2 :
(e) R é delimitada pelo eixo y e pelas curvas y = sen x e y = cos x, para 0
(f) R é delimitada pelas retas x = 0; x = 1; y = 2 e pela parábola y = x2 :
p
(g) R é delimitada pelas curvas y = x2 e y = x:
p
(h) R é delimitada pela curva y = x e pelas retas y = x 2 e y = 0:
(i) R é delimitada pela curva y = x3
6x2 + 8x e o eixo x:
x2 + 6x e y = x2
(j) R é delimitada pelas parábolas y =
2x:
2. Em cada caso, esboce o grá…co da região R e calcule sua área.
(a) R = f(x; y) 2 R2 , tal que 0
x
(b) R = f(x; y) 2 R2 , tal que x
0 e x2
(c) R = f(x; y) 2 R2 , tal que 0
x
1=y e 1
(d) R = f(x; y) 2 R2 , tal que 0
x
1 e x2
(e) R = f(x; y) 2 R2 , tal que
1
2 e x2
x
3. Considere a função f : R ! R, de…nida
8
>
>
<
f (x) =
>
>
:
x
1e0
y
4g:
x2 + 5xg:
y
y
2g:
p
xg:
y
jxj3 g:
y
por:
2 + x3 =4, para x < 0
x2
x
16
4x, para x
2, para 0
x<3
3:
x
=4:
lxxi
lxxii
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL
Calcule
Z
MARIVALDO P. MATOS
5
f (x) dx e, também, a área entre o grá…co de f e o eixo x, de x =
2 até x = 5: Por
2
que o valor da integral e o valor da área são distintos?
4. Em cada caso, identi…que a região do plano xy cuja área é representada pela integral e calcule o
valor da área.
Z
Z 1
Z 1
2xdx
dx (b)
(a)
0
0
0
1
Z
(4 + 3x) dx (d)
3
(x + 5) dx +
5
Z
0
2dx +
3
Z
4
(2
p
x) dx:
0
5. Suponha que f : [ a; a] ! R seja uma função par e que g : [ a; a] ! R seja uma função ímpar.
Mostre que:
Z
a
a
Z a
f (x) dx = 2 f (x) dx
e
0
Z
a
g (x) dx = 0:
a
6. Considere a função y = f (x), cujo grá…co está ilustrado na
Figura 6.1 ao lado, e de…na a função g por
Z x
g(x) =
f (t)dt:
0
(a) Calcule g(0); g(1); g(2); g(3) e g(6).
(b) Em que intervalo a função g está crescendo?
(c) Quando g atinge seu valor máximo?
6.3
Integrais Impróprias
1. Analise cada uma das integrais impróprias abaixo quanto à convergência.
Z 5
Z 1
Z 1
Z 1
p
dx
dx
dx
1=2
p
(a)
(b)
(c)
x
exp (
x) dx (d)
2
2
x)
jxj
1 (5
0 1+x
1
1
Z 2
Z 0
Z 0
Z 1
dx
dx
2
p
(e)
(f)
(g)
x exp x dx
(h)
x3 exp
11 + x
1
0
0 x x
x4 dx
RESPOSTAS & SUGESTÕES
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
6.1
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
1. Recorde-se que F (x) é primitiva de f (x) quando F for derivável e F 0 (x) = f (x), em cada x:
(a) F (x) = 45 x5=4 +
6
5
(b) F (x) = 31 x3
1
+
x
2
3
(c) F (x) = ln (x + 1) + 2:
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
1
2. f (x) = e 2 (x
2
1)
PRIMITIVAS & INTEGRAIS
1
2
= exp
x2
1
:
3. Usando as regras de derivação e considerando que f 0 = g e g 0 =
h0 (x) = 2 [f
= 2 [f
lxxiii
sen x] f 0
sen x] [g
cos x + 2 [g
cos x] + 2 [g
f , encontramos:
cos x] g 0 + sen x
cos x] [ f + sen x] = 0
e, portanto, h (x) é constante. Como h (0) = 0, segue que h (x) = 0 e temos o resultado.
4. Veja as regras básicas de integração.
(a)
1 4
4x
5 2
2x
+ C:
1
2x2
1
+ ln x + C:
x
1
(c) 2 cos x + 4 + C:
4x
x5 2x3
(d)
+
+ x + C:
5
3
(e) arctg x + C:
(b)
(f) tg x
2
3
x
(1 + x)3=2 + C:
(g)
2 3=2
3x
+ tg x + C:
(h)
2 9=2
9x
2x
+ C:
+ ex+1 +C:
ln 2
(j) 2x + 13 x3 + 12 sen (2x) + C:
(i)
(k)
1
4
(l)
1
2
x + 12 sen 2x + C
(m)
1
2
5x
(n)
1
2
tg (4x + 2) + C:
1
2
sen 2x + C
sec 2x + C
(o) x + ln jxj + C
(p) x + 1
ln jx + 1j + C:
5. Com a primitiva F (x) =
(a)
1 x2
2e
+C
p
(b) 2e
x
1
p
exp (xp ), encontramos:
+C
1
x2
2e
+ C:
6. Integrando duas vezes a função f (x), encontramos
f (x) =
x4
+ ex + kx + C
12
e, substituindo os dados f (0) = 2 e f 0 (0) = 1, obtemos k = 0 e C = 1. Assim, f (x) =
x4
+ex +1:
12
lxxiv
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL
MARIVALDO P. MATOS
7. Recorde-se das regras básicas de integração e de algumas identidades trigonométricas.
(a) 0 (b) 0 (c) =4, se k = 0; e
( 1)n 1
, se k = 2n
4n 2
1:
8. Sendo a declividade no ponto (x; y) igual a 2x + 1, então:
y 0 = 2x + 1 ) y = x2 + x + k
e, considerando que y ( 3) = 0, encontramos y = x2 + x 6, que é a equação da curva.
Z x
f (t) dt, então ' (x) = F ( (x)) F ( (x)) e, usando a Regra da Cadeia e o Teorema
9. Se F (x) =
a
Fundamental do Cálculo, obtemos o resultado.
p
10. (a) 3 1 + x4 (b) [ln (sen x)]5 cos x + [ln (cos x)]5 sen x (c) ex cos(e2x )
11. (a) 1=3 (b) 5 (c) 4 (d) 4 (e) 43 (f)
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
2x cos(x2
1)2 :
2:
6.2
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
1. (a)
2
15
(b)
1
2
(c)
5
3
p
p
(d) 16 2=3 (e) 2
1 (f)
5
3
(g)
1
3
(h)
10
3
64
3 :
(i) 8 (j)
2. (a) 16=3 (b) 9 (c) ln 2 (d) 1=3 (e) 1=2:
Z 5
f (x) dx = 23 ; A = 73=6. A integral de uma função contínua por partes y = f (x) ; no intervalo
3.
2
[a; b] ; coincide com a área entre o grá…co de f e o eixo x, no caso em que a função é não negativa
no intervalo.
4. (a) 1 (b) 1 (c) 5=2 (d) 32=3:
5. Com a mudança x = t e observando que f é uma função par, encontramos:
Z 0
Z 0
Z a
Z 0
Z a
Z
f (x) dx =
f (t) dt )
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx = 2
a
a
a
a
0
a
f (x) dx:
0
Na …gura abaixo ilustramos a situação geométrica em que A representa o valor da integral no
intervalo [0; a] A Figura 6.2a mostra uma função ímpar e a Figura 6.2b uma função par.
COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS
PRIMITIVAS & INTEGRAIS
lxxv
6. (a) g (0) = 0; g (1) = 2; g (2) = 5; g (3) = 7 e g (6) = 3 (b) em (0; 3) (c) em x = 3:
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
6.3
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
1. Recorde-se que a integral imprópria convergir signi…ca que ela tem um valor numérico. Do contrário, ela denomina-se divergente.
(a) Temos
Z
1
dx
p
jxj
1
Z
Z
1
dx
p + lim
= lim
+
x b!0
a!0
a
p 1
= lim 2 x a + lim
a!0+
b!0
b
dx
p
x
1
p
b
2
x 1 2 + 2 = 4:
Logo, a integral é convergente e tem valor 4.
(b) Neste caso, temos:
Z
1
5
dx
(5 x)2
=
=
lim
b!5
lim
b!5
Z
b
dx
1
lim
2 = b!5
5
x
x)
1 (5
1
1
= +1:
5 b 4
b
1
Assim, a integral é divergente (não tem valor numérico).
(c) Divergente.
(d) A integral é convergente, porque
Z 1
dx
= lim (arctan b
1 + x2 b!1
0
arctan 0) = =2:
(e) Divergente.
(f) Divergente.
(g) De acordo com o Exercício 5, da seção 6.1, temos:
Z 0
Z 0
2
x exp x dx =
lim
x exp x2 dx = lim
a! 1 a
1
=
a! 1
1
lim 1
2 a! 1
exp
Logo, a integral imprópria converge e tem valor
(h) Considerando a primitiva F (x) =
com p = 4; obtemos:
Z 1
x3 exp x4 dx =
0
=
1
4
lim
exp
Z
b!1 0
b
2
a
=
1
exp
2
0
x2
a
1
:
2
1=2:
x4 , determinada no Exercício 5 da seção 6.1,
x3 exp
1
lim exp
4 b!1
x4 dx = lim
b!1
b
4
1 = 1=4:
1
exp
4
b
x4
0