Cap´ıtulo 28 Integrais Impróprias

Capı́tulo 28
Integrais Impróprias
28.1
Introdução
∫b
A existência da integral definida a f (x) dx, onde f é contı́nua no intervalo fechado [a, b], é garantida pelo teorema
fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:
1. ou o intervalo de integração não é limitado;
2. ou o integrando tem uma descontinuidade infinita em algum ponto do intervalo [a, b].
Nosso objetivo neste capı́tulo é definir e calcular integrais deste tipo, chamadas integrais impróprias.
28.2
Exemplos
∫
A integral
∞
e−x dx é um exemplo do caso 1, acima.
2
0
Podemos interpretar, geometricamente, esta integral como a área da região não-limitada abaixo da curva y = e−x ,
acima do eixo x e à direita do eixo y.
2
1
0.8
0.6
y
0.4
0.2
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
x
1.2 1.4 1.6 1.8
2
Como esta região é ilimitada, poderı́amos esperar que a sua área também o fosse. No entanto, o gráfico parece
indicar que a partir de x = 2 a área sob a curva é muito pequena e diminui cada vez mais à medida que ∫x aumenta.
2
Dessa maneira é possı́vel esperar que, a partir de x = 2, os acréscimos à área representada pela integral
0
e−x dx
2
sejam tão pequenos que a área total da região não ultrapasse um determinado valor. De fato, avaliando a integral
∫ b
2
e−x dx, para b = 2, temos
0
>
evalf(int(exp(-x^2),x=0..2));
.8820813910
Continuando a calcular o valor desta integral para valores de b sucessivamente maiores, obtemos
evalf(int(exp(-x^2),x=0..5));
.8862269255
>
evalf(int(exp(-x^2),x=0..6));
.8862269255
>
evalf(int(exp(-x^2),x=0..10));
.8862269255
>
evalf(int(exp(-x^2),x=0..15));
.8862269255
>
388
Cap. 28. Integrais Impróprias
Repare que a partir de b = 5 o valor da integral, calculado com 10 dı́gitos, se estabiliza e parece convergir
para um determinado valor. Como o integrando é estritamente positivo, o valor da integral deve crescer à medida
que aumentamos o intervalo de integração. No entanto, o valor desta integral jamais ultrapassa um determinado
limite. Esta
pode ser visualizada no diagrama abaixo. Neste diagrama traçamos o gráfico da função área
∫ x afirmação
2
A(x) = 0 e−t dt, para valores de x cada vez maiores.
.6
.4
.2
.1
0 .2 .4 .6 .8 1.
.8
.6
.4
.2
.8
.6
.4
.2
.8
.6
.4
.2
0
1.
.8
.6
.4
.2
0 1. 2. 3. 4.
0
2.
1. 2. 3.
.8
.6
.4
.2
0 1. 2. 3. 4. 5.
∫
x
De acordo com o diagrama, o gráfico da primitiva
0 1. 2. 3. 4. 5. 6.
e−t dt parece ter uma assı́ntota horizontal. Se usarmos o
2
0
Maple para calcular o limite, obteremos
>
Limit(Int(exp(-t^2),t=0..x),x=infinity):
>
%=limit(int(exp(-t^2),t=0..x),x=infinity);
∫ x
1√
2
lim
e−t dt =
π
x→∞ 0
2
Definimos, então, a área da região ilimitada como sendo igual a este valor limite.
∫ 1
1
√ dx, que também pode ser interpretada como a área da região
Um exemplo do caso 2 é dado pela integral
x
0
ilimitada sob a curva y = √1x , de x = 0 a x = 1.
2
0
0.5
x
∫
1
Como no exemplo 1, calculemos o valor da integral
de zero:
>
F:=a->int(1/sqrt(x),x=a..1):
>
F(0.1);
a
1
1.367544468
>
F(0.01);
1.800000000
>
F(0.00001);
1.993675445
>
F(0.10^15);
>
F(0.1^16);
>
F(0.1^17);
1.5
1
√ dx, para vários valores de a, cada vez mais próximos
x
1.999999937
1.999999980
W.Bianchini, A.R.Santos
389
1.999999994
>
F(0.1^18);
1.999999998
>
F(0.1^19);
>
F(0.1^20);
1.999999999
2.000000000
∫ 1
1
√ dt, se aproxima de 2, quando x se aproxima de 0. De
Os valores acima parecem indicar que a primitiva F(x) =
t
x
∫ 1
1
√ dt, obtemos
fato, usando o Maple para calcular lim+
x→0
t
x
>
Limit(Int(1/sqrt(t),t=x..1),x=0,right)=limit(F(a),a=0);
∫ 1
1
√ dt = 2.
lim
x→0+ x
t
Assim, dizemos que a área da região ilimitada estudada neste exemplo é igual a 2.
Tendo em vista estes dois exemplos, podemos concluir que podemos definir integrais sobre intervalos não limitados
como o limite de integrais sobre intervalos limitados, (como foi feito no exemplo 1) e como o limite de integrais de
funções contı́nuas, no caso de o integrando apresentar descontinuidades infinitas no intervalo de integração, como foi
feito no segundo exemplo. Estas definições são formalizadas nas próximas seções.
28.3
Limites de integração infinitos
Integral imprópria sobre [a, ∞)
Seja f uma função contı́nua no intervalo [a, ∞). Definimos
∫
∫
∞
b
f (x) dx = lim
a
b→∞
f (x) dx,
a
se este limite existir. Neste caso, dizemos que a integral converge ou é convergente. Se o limite não existe, dizemos
que a integral diverge ou é divergente. Se a função f é positiva e a integral converge, ela representa a área sob o gráfico
de f no intervalo [a, ∞).
Exemplo Estude a convergência das seguintes integrais impróprias.
∫ ∞
∫ ∞
∫ ∞
∫ ∞
1
1
(−x)
e
dx
(b)
sen(x) dx
(d)
(a)
dx
(c)
dx
x
(x
+
1)3
0
1
0
1
Solução
∫ ∞
∫
(−x)
(a)
e
dx = lim
b→∞
0
b
0
b
e(−x) dx = lim −e−x 0 = lim 1 − e(−b) = 1.
b→∞
b→∞
Logo, a integral é convergente. Como o integrando é sempre
positivo, o valor desta integral representa a área da região
ilimitada sob o gráfico da função e−x , para x > 0.
∫
∞
(b)
1
∫
(c)
0
∞
1
0
2
x
4
1
b
dx = lim [ln(x)]x=1 = lim ln(b) = + ∞. Logo, a integral é divergente.
b→∞
b→∞
x
b
sen(x) dx = lim [−cos(x)]x=0 = lim (1 − sen(b)). Como este limite não existe, a integral é divergente.
b→0
b→∞
390
Cap. 28. Integrais Impróprias
∫
∞
(d)
1
[
]b
)
(
1
1
1
1
1
dx = lim −
+
= .
= lim −
3
2
2
b→0
(x + 1)
2 (x + 1) x=1 b→∞
2 (b + 1)
8
8
2
Logo, a integral é convergente e representa a área da região
ilimitada mostrada ao lado.
0
2
4
x
Integral imprópria sobre (−∞, b]
Seja f contı́nua no intervalo (−∞, b]. Definimos
∫
∫
b
b
f (x) dx = lim
a→−∞
−∞
f (x) dx
a
se este limite existe. Neste caso dizemos que a integral converge ou é convergente. Se o limite não existe, dizemos que
a integral diverge ou é divergente. Se f é positiva no intervalo (−∞, b], podemos interpretar esta integral como a área
de uma região, como foi feito nos casos anteriores.
Exemplo
Estude a convergência das seguintes integrais impróprias:
∫ 2
∫ −1
8
1
(a)
dx
(b)
dx
2
(4
−
x)
x
−∞
−∞
Solução (a)
∫
2
−∞
8
dx = lim
a→−∞
(4 − x)2
∫
2
a
]2
[
8
8
8
dx = lim −
= lim 4 −
=4
a→−∞
(4 − x)2
4 − x a a→−∞
4−a
2
Logo, a integral é convergente e seu valor representa a área
da região ilimitada mostrada ao lado.
–6
∫
−1
(b)
−∞
1
dx =
x
lim
a→(−∞)
–4
x
0
–2
2
−ln(|a|) = −∞. Logo, a integral diverge.
Integral imprópria sobre (−∞, ∞)
Seja f uma função contı́nua na reta,isto é, em (−∞, ∞). Definimos
∫ ∞
∫ c
∫
f (x) dx =
f (x) dx +
−∞
−∞
∞
f (x) dx
c
para qualquer escolha conveniente de c, desde que ambas as integrais impróprias à direita sejam convergentes.
Observação : A integral
∫
∫∞
f (x) dx não é necessariamente igual a lim
−∞
c→∞
ercı́cio 3, deste capı́tulo).
Exemplo
Estude a convergência das seguintes integrais impróprias:
∫
∞
(a)
−∞
[arctg(x)]2
dx
1 + x2
∫
∞
(b)
x dx
−∞
c
f (x) dx (Veja Exemplo (b) e Ex−c
W.Bianchini, A.R.Santos
391
Solução (a)
∫
∞
−∞
∫ ∞
[arctg(x)]2
[arctg(x)]2
dx
+
dx
1 + x2
1 + x2
−∞
0
∫ 0
∫ b
[arctg(x)]2
[arctg(x)]2
=
lim
dx
+
lim
dx
a→−∞ a
b→∞ 0
1 + x2
1 + x2
[arctg(b)]3
[arctg(a)]3
+ lim
=
lim −
a→−∞
b→∞
3
3
π3
π3
π3
+
=
=
24
24
12
[arctg(x)]2
dx =
1 + x2
(
(b) Observe que lim
x→∞
∫ c
que lim
x dx = 0.
c→∞
28.4
x2
c2
−
2
2
∫
0
)
= ∞, para qualquer escolha de c. Logo, a integral é divergente. Repare, porém,
−c
Integrandos infinitos em intervalos finitos
1. Se f é contı́nua em (a, b] e lim+ f (x) = ∞, define-se
x→a
∫
∫
b
f (x) dx = lim+
f (x) dx.
t→a
a
b
t
2. Se f é contı́nua em [a, b) e lim− f (x) = ∞, define-se
x→b
∫
a
∫
b
f (x) dx = lim−
t→b
t
f (x) dx.
a
Em ambos os casos, se o limite existe, diz-se que a integral converge ou é convergente. Se o limite não existe,
diz-se que a integral diverge ou é divergente.
3. Se f é contı́nua em [a, b], exceto em um ponto c de (a, b), e se um ou ambos os limites laterais são infinitos,
define-se
∫ b
∫ b
∫ c
f (x) dx,
f (x) dx +
f (x) dx =
a
a
c
desde que ambas as integrais impróprias à direita sejam convergentes.
Exemplo Estude a convergência das seguintes
integrais impróprias:
∫ 4
∫ √2
∫ 4
∫ √2
1
1
1
1
√ dx
√
(a)
dx
(d)
(b)
dx
(c)
dx.
√
√
2
x
2 − x2
0
− 2
− 2 2−x
−2 x
∫
4
4
1
√ dx =
x
√
lim (4 − 2 a) = 4. Logo
Solução (a) lim+
a→0+
a→0
a
∫ 4
1
√ dx = 4. Neste caso, como o integrando é positivo, este
x
0
valor representa a área da região ilimitada sob o gráfico de
y = √1x , no intervalo [0, 4].
2
0
∫
4
(b)
−2
1
dx =
x
∫
0
−2
1
dx +
x
∫
4
0
1
dx, se estas integrais forem convergentes.
x
2 x
4
392
Cap. 28. Integrais Impróprias
A segunda integral
∫
4
Logo, a
−2
∫
(c)
√
2
√
− 2
∫
4
0
1
dx = lim+
x
a→0
√
− 2
1
√
dx +
2 − x2
∫
4
1
dx = lim+ (ln(4) − ln(a)) = +∞
x
a→0
a
1
dx é divergente.
x
1
√
dx =
2 − x2
∫
0
√
∫
2
0
√
1
dx.
2 − x2
A integral
∫
√
2
0
∫
1
√
dx = lim
√ −
2 − x2
b→ 2
b
1
√
dx = lim
√ −
2 − x2
b→ 2
0
(
arcsen(
b
√
2
2
)
)
=
π
.
2
Da mesma maneira,
∫
0
√
− 2
∫
(d)
√
2
√
− 2
1
dx =
2 − x2
∫
0
√
− 2
∫
1
π
√
dx =
2
2
2−x
1
dx +
2 − x2
√
∫
2
0
e, portanto,
√
2
√
− 2
√
2
0
∫
Portanto a integral
28.5
√
2
√
− 2
∫
1
dx = lim
√ −
2 − x2
b→ 2
1
dx = π
2 − x2
1
dx.
2 − x2
A integral
∫
√
0
b
√
1
dx = lim
√ −
2 − x2
b→ 2
√
b+ 2
2 ln( √
)
2−b
4
= +∞ .
1
dx é divergente.
2 − x2
O Teste da comparação
Algumas vezes é impossı́vel calcular o valor exato de uma integral imprópria, mas, mesmo assim, é importante decidir
se tal integral é convergente ou divergente. O teorema a seguir é útil em tais casos.
Teorema: Teste da Comparação
Suponha que f e g sejam funções contı́nuas tais que f (x) ≥ g(x) ≥ 0, para todo x ≥ a, onde a é um número real.
∫
∫
∞
(a) Se
∞
f (x) dx é convergente, então
g(x) dx também é convergente.
a
∫
a
∫
∞
(b) Se
∞
g(x) dx é divergente, então
a
f (x) dx também é divergente.
a
Um teorema análogo pode ser enunciado para integrais impróprias do segundo tipo.
Não faremos a demonstração∫deste teorema,∫ porém este resultado é geometricamente intuitivo. Como para x ≥ a,
∞
f e g são positivas, as integrais
∞
f (x) dx e
a
g(x) dx representam áreas. Assim, se a área sob a curva y = f (x)
a
é finita, então a área sob a curva y = g(x), que está abaixo da outra, pois f (x) ≥ g(x) para x ≥ a, também deve
ser finita. Por outro lado, se a área sob a curva y = g(x) é infinita, o mesmo deve acontecer com a área sob a curva
y = f (x).
W.Bianchini, A.R.Santos
393
a
∫
∞
Exemplo : Mostre que
e−x dx é convergente.
2
0
Solução Não podemos calcular este limite diretamente, pois não existe uma função
∫ elementar que seja a primitiva
∞
da função y = e−x . Por isso vamos aplicar o teste da comparação para mostrar que
2
e−x dx é convergente.
2
0
Para x ≥ 1, temos que x2 ≥ x ⇒ −x2 ≤ −x ⇒ e−x ≤ e−x . Assim, temos que
∫ ∞
∫ ∞
−x2
e
dx ≤
e−x dx.
(∗)
2
1
∫
A integral
∞
1
e−x dx é fácil de calcular. De fato,
1
∫
∞
−x
e
∫
dx = lim
1
t→∞
1
t
[
]t
e−x dx = lim −e−x 1 = lim (−e−t + e−1 ) = e−1 .
t→∞
t→∞
∫
∞
Tendo em vista (*) e (**), o teste da comparação garante que
(∗∗)
e−x dx converge. Mas,
2
1
∫
∞
e−x dx =
2
0
∫
1
e−x dx +
2
0
∫
∞
e−x dx = A1 + A2 ,
2
1
onde A1 e A2 são as áreas das regiões assinaladas na figura:
1
0.8
0.6
0.4
A1
0.2
A2
0
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
∫ ∞Como A1 é a área de uma região finita e, como mostramos acima, A2 é convergente, podemos concluir que
2
e−x dx converge.
0
28.6
Exercı́cios
1. Estude a convergência das seguintes integrais:
∫ ∞
∫ ∞ (−√x)
e
(−10 x)
√
10 e
dx
(e)
dx
(a)
x
0
0
∫
∫ 1
∞
2(−x) dx
(f)
(b)
ln(x) dx
1
0
∫ ∞
∫ 2a
1
(g)
e(−|x|) dx
dx
(c)
2
(x − a)
0
∫−∞
∞
∫ π2
1
(h)
dx
(d)
tg(x) dx
x ln2 x
0
e
∫
5
(i)
1
∫
√
x
dx
5−x
1
x ln(x) dx
(j)
0
∫
(k)
0
4
1
dx
(x − 3)2
394
Cap. 28. Integrais Impróprias
2. A trombeta de Gabriel é a superfı́cie de revolução obtida ao
girarmos a curva y = x1 , 1 ≤ x, em torno do eixo x, conforme
mostra a figura ao lado.
(a) Mostre que a área sob a curva y =
1
x,
1 ≤ x, é infinita.
1
0.5
0.5
1
–1
0
1.5
2
2.5
3
–1
(b) Mostre que o volume do sólido de revolução delimitado
pela trombeta de Gabriel é finito.
(c) Mostre que a área da superfı́cie (veja o Cap. 24.12 ) da trombeta de Gabriel é infinita. Sugestão: Compare
com a parte (a)).
Moral da história: Para pintar a trombeta de Gabriel, primeiro encha-a de tinta, depois balance e jogue a
tinta fora!!!
∫ ∞
∫ c
1+x
1+x
3. Mostre que
dx diverge, mas que lim
dx = π.
2
c→∞
1
+
x
1
+ x2
−∞
−c
plana limitada acima pelo gráfico de
4. A região
√
x
f (x) = x e− 4 , x ≥ 0 e abaixo pelo eixo x (veja o
gráfico ao lado) é girada em torno do eixo x, obtendo-se um
sólido de revolução. Calcule o volume deste sólido.
0.5
0
2
4
x
6
8
10
5. Use o teste da comparação para decidir se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
∫ ∞
∫ ∞
∫ 1 −x
sen2 x
1
e
√
√ dx
(a)
(c)
dx
(e)
dx
3+1
x
x
x
1
1
0
∫ ∞
∫ π2
dx
dx
(b)
(d)
x + e2 x
x
sen
x
1
0
∫ ∞
1
√
6. Calcule a integral
dx.
x
(1
+ x)
0
Observação: Repare que o intervalo de integração é ilimitado e que o integrando se torna ilimitado em x = 0.
7. Ache os valores de p para os quais as integrais abaixo convergem:
∫1
∫1
(b) 0 xp ln x dx
(a) 0 x1p dx
8. Se f (t) é contı́nua para t ≥ 0, a transformada de Laplace de f é a função F definida por
∫ ∞
F (s) =
f (t) e−st dt.
0
O domı́nio de F é o conjunto de todos os números s para os quais a integral converge.
(a) Ache a transformada de Laplace de f (t) = 1; f (t) = et e f (t) = t.
(b) Mostre que se 0 ≤ f (t) ≤ M eat , para t ≥ 0, onde M e a são constantes, então a transformada de Laplace
F (s) existe para s > a.
(c) Suponha que 0 ≤ f (t) ≤ M eat e 0 ≤ f ′ (t) ≤ K eat para todo t ≥ 0 onde f ′ é contı́nua. Se a transformada
de Laplace de f (t) é F (s) e a transformada de Laplace de f ′ (t) é G(s), mostre que
G(s) = s F (s) − f (0), s > a.