Teste de Matemática
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Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatı́stica Teste de Matemática CURSO: Ergonomia e Reabilitação Psicomotora 10/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I – (12 valores) (a) Resolva o seguinte sistema pelo método de eliminação de Gauss y − z = 2 −x + y + 2z − w = 0 x + 2y − z − w = 0 −x + y − z + w = 6 (b) Sendo −4 2 0 A = −2 −2 2 0 −2 2 e −1 1 0 0 1 , B = −1 0 −1 2 determine AB 2 . Com base neste resultado, calcule, justificando, A−1 . (c) Determine os vectores de R4 com norma 2 cuja projecção sobre o vector u = (0, 1, −1, 0) é u e que são perpendiculares aos vectores (1, 0, 0, −1) e (1, 0, −1, 0). (d) Determine o ponto sobre a recta definida por 2x + 3y = 1 mais próximo da origem. (e) Estude as seguintes séries quanto à convergência, calculando a sua soma num dos casos. ∞ ∞ X X 3n+1 11n i) ii) n! 22n n=1 n=1 (f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções: 2 i) 2x8/5 + xe−2x + 1 1 + 9x2 ii) x log(7x) II – (4.5 valores) (a) Calcule os seguintes integrais Z π ³ ´ i) 4 sin 32 x + 5 cos(3x) dx Z +∞ 4e−3x − 3e−4x dx ii) 0 0 (b) Considere as regiões do plano definidas por © ª Xβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−3x ∧ 0 < x < β , e © ª Yβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−3x ∧ β < x , onde β é um número real positivo. Determine β por forma a que as áreas de Xβ e Yβ sejam iguais. III – (1.5 valores) Calcule os seguintes limites Z 2x i) lim e x→0 −x2 −1+x x4 2 ii) lim 0 x→0 sin(t2 ) dt x3 . IV – (2 valores) Sejam u1 e u2 dois vectores de Rn tais que α1 u1 + α2 u2 6= 0, quaisquer que sejam os números reais α1 e α2 não simulataneamente nulos. Defina os vectores v1 e v2 por v1 = u1 e v2 = u2 − Pv1 u2 , onde Pv1 u2 denota a projecção do vector u2 sobre o vector v1 . (a) Mostre que os vectores v1 e v2 são perpendiculares. (b) Sendo w = β1 v1 + β2 v2 , mostre que se tem w.vi , i = 1, 2. βi = kvi k2 Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatı́stica Teste de Matemática CURSO: Ergonomia e Reabilitação Psicomotora 10/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I – (12 valores) (a) Resolva o seguinte sistema pelo método de eliminação de Gauss y − z = 2 −x + y − z + w = 6 x + 2y − z − w = 0 −x + y + 2z − w = 0 (b) Sendo 2 0 −4 A = 4 2 −8 4 2 −6 e −1 1 0 B = 0 −1 2 , −1 0 1 determine AB 2 . Com base neste resultado, calcule, justificando, A−1 . (c) Determine o ponto sobre a recta definida por 3x + 2y = 1 mais próximo da origem. (d) Determine os vectores de R4 com norma 2 cuja projecção sobre o vector u = (0, 1, −1, 0) é u e que são perpendiculares aos vectores (1, 0, 0, −1) e (1, 0, −1, 0). (e) Estude as seguintes séries quanto à convergência, calculando a sua soma num dos casos. ∞ ∞ X X 7n 4n+1 ii) i) n! 32n n=1 n=1 (f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções: 2 i) 3x9/5 + xe−3x + 1 1 + 4x2 ii) x log(7x) II – (4.5 valores) (a) Calcule os seguintes integrais Z π ³ ´ i) 4 sin 53 x + 5 cos(5x) dx Z +∞ 4e−2x − 2e−4x dx ii) 0 0 (b) Considere as regiões do plano definidas por © ª Xβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−2x ∧ 0 < x < β , e © ª Yβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−2x ∧ β < x , onde β é um número real positivo. Determine β por forma a que as áreas de Xβ e Yβ sejam iguais. III – (1.5 valores) Calcule os seguintes limites Z 3x i) lim e x→0 −x2 −1+x x4 2 ii) lim 0 x→0 sin(t2 ) dt x3 . IV – (2 valores) Sejam u1 e u2 dois vectores de Rn tais que α1 u1 + α2 u2 6= 0, quaisquer que sejam os números reais α1 e α2 não simulataneamente nulos. Defina os vectores v1 e v2 por v1 = u1 e v2 = u2 − Pv1 u2 , onde Pv1 u2 denota a projecção do vector u2 sobre o vector v1 . (a) Mostre que os vectores v1 e v2 são perpendiculares. (b) Sendo w = β1 v1 + β2 v2 , mostre que se tem w.vi , i = 1, 2. βi = kvi k2 Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatı́stica Exame de Matemática CURSO: Ergonomia e Reabilitação Psicomotora 10/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I – (12 valores) (a) Determine os valores de α para os quais y − z x + 2y − z − w −x + y − z + w −x + y + 2z + αw o sistema = = = = 2 0 6 0 é possı́vel e determinado. Determine a solução quando α = −1. (b) Sendo 0 −3 3 0 3 A = −3 −6 3 0 e 0 1 −1 0 −1 , B= 1 2 −1 0 determine AB 2 . Com base neste resultado, calcule, justificando, A−1 . (c) Determine os vectores de R4 com norma 2 cuja projecção sobre o vector u = (0, 1, −1, 0) é u e que são perpendiculares aos vectores (1, 0, 0, −1) e (1, 0, −1, 0). (d) Determine o ponto sobre a recta definida por 4x + 5y = 1 mais próximo da origem. (e) Estude as seguintes séries quanto à convergência, calculando a sua soma num dos casos. ∞ ∞ X X 4n−1 9n i) ii) n! 32n n=2 n=1 (f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções: 2 i) 3x9/5 + xe−5x + 1 1 + 16x2 ii) x log(9x) II – (4.5 valores) (a) Calcule os seguintes integrais Z π ³ ´ i) 4 sin 32 x + 5 cos(2x) dx Z +∞ 2e−3x − 3e−2x dx ii) 0 0 (b) Considere as regiões do plano definidas por © ª Xβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−4x ∧ 0 < x < β , e © ª Yβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−4x ∧ β < x , onde β é um número real positivo. Determine β por forma a que as áreas de Xβ e Yβ sejam iguais. III – (1.5 valores) Calcule os seguintes limites Z 2x 2 i) −x − 1 + x2 ii) lim lim e x→0 x→0 x4 0 sin(t2 ) dt x3 . IV – (2 valores) Sejam u1 e u2 dois vectores de Rn tais que α1 u1 + α2 u2 6= 0, quaisquer que sejam os números reais α1 e α2 não simulataneamente nulos. Defina os vectores v1 e v2 por v1 = u1 e v2 = u2 − Pv1 u2 , onde Pv1 u2 denota a projecção do vector u2 sobre o vector v1 . (a) Mostre que os vectores v1 e v2 são perpendiculares. (b) Sendo w = β1 v1 + β2 v2 , mostre que se tem w.vi , i = 1, 2. βi = kvi k2
