Teste de Matemática

Faculdade de Motricidade Humana
Matemática Aplicada e Estatı́stica
Teste de Matemática
CURSO: Ergonomia e Reabilitação Psicomotora
10/I/12
Duração: 2h
Justifique cuidadosamente todas as suas respostas.
I – (12 valores)
(a) Resolva o seguinte sistema pelo método de eliminação de Gauss

y − z
= 2



−x + y + 2z − w = 0
x + 2y − z − w = 0


 −x + y − z + w = 6
(b) Sendo


−4
2 0
A =  −2 −2 2 
0 −2 2

e

−1
1 0
0 1 ,
B =  −1
0 −1 2
determine AB 2 . Com base neste resultado, calcule, justificando,
A−1 .
(c) Determine os vectores de R4 com norma 2 cuja projecção sobre
o vector u = (0, 1, −1, 0) é u e que são perpendiculares aos
vectores (1, 0, 0, −1) e (1, 0, −1, 0).
(d) Determine o ponto sobre a recta definida por 2x + 3y = 1 mais
próximo da origem.
(e) Estude as seguintes séries quanto à convergência, calculando a
sua soma num dos casos.
∞
∞
X
X
3n+1
11n
i)
ii)
n!
22n
n=1
n=1
(f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções:
2
i) 2x8/5 + xe−2x +
1
1 + 9x2
ii) x log(7x)
II – (4.5 valores)
(a) Calcule os seguintes integrais
Z π
³ ´
i)
4 sin 32 x + 5 cos(3x) dx
Z
+∞
4e−3x − 3e−4x dx
ii)
0
0
(b) Considere as regiões do plano definidas por
©
ª
Xβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−3x ∧ 0 < x < β ,
e
©
ª
Yβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−3x ∧ β < x ,
onde β é um número real positivo. Determine β por forma a
que as áreas de Xβ e Yβ sejam iguais.
III – (1.5 valores) Calcule os seguintes limites
Z 2x
i)
lim e
x→0
−x2
−1+x
x4
2
ii) lim
0
x→0
sin(t2 ) dt
x3
.
IV – (2 valores) Sejam u1 e u2 dois vectores de Rn tais que α1 u1 +
α2 u2 6= 0, quaisquer que sejam os números reais α1 e α2 não simulataneamente nulos. Defina os vectores v1 e v2 por
v1 = u1 e v2 = u2 − Pv1 u2 ,
onde Pv1 u2 denota a projecção do vector u2 sobre o vector v1 .
(a) Mostre que os vectores v1 e v2 são perpendiculares.
(b) Sendo w = β1 v1 + β2 v2 , mostre que se tem
w.vi
, i = 1, 2.
βi =
kvi k2
Faculdade de Motricidade Humana
Matemática Aplicada e Estatı́stica
Teste de Matemática
CURSO: Ergonomia e Reabilitação Psicomotora
10/I/12
Duração: 2h
Justifique cuidadosamente todas as suas respostas.
I – (12 valores)
(a) Resolva o seguinte sistema pelo método de eliminação de Gauss

y − z
= 2



−x + y − z + w = 6
x + 2y − z − w = 0


 −x + y + 2z − w = 0
(b) Sendo


2 0 −4
A =  4 2 −8 
4 2 −6

e

−1
1 0
B =  0 −1 2  ,
−1
0 1
determine AB 2 . Com base neste resultado, calcule, justificando,
A−1 .
(c) Determine o ponto sobre a recta definida por 3x + 2y = 1 mais
próximo da origem.
(d) Determine os vectores de R4 com norma 2 cuja projecção sobre
o vector u = (0, 1, −1, 0) é u e que são perpendiculares aos
vectores (1, 0, 0, −1) e (1, 0, −1, 0).
(e) Estude as seguintes séries quanto à convergência, calculando a
sua soma num dos casos.
∞
∞
X
X
7n
4n+1
ii)
i)
n!
32n
n=1
n=1
(f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções:
2
i) 3x9/5 + xe−3x +
1
1 + 4x2
ii) x log(7x)
II – (4.5 valores)
(a) Calcule os seguintes integrais
Z π
³ ´
i)
4 sin 53 x + 5 cos(5x) dx
Z
+∞
4e−2x − 2e−4x dx
ii)
0
0
(b) Considere as regiões do plano definidas por
©
ª
Xβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−2x ∧ 0 < x < β ,
e
©
ª
Yβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−2x ∧ β < x ,
onde β é um número real positivo. Determine β por forma a
que as áreas de Xβ e Yβ sejam iguais.
III – (1.5 valores) Calcule os seguintes limites
Z 3x
i)
lim e
x→0
−x2
−1+x
x4
2
ii) lim
0
x→0
sin(t2 ) dt
x3
.
IV – (2 valores) Sejam u1 e u2 dois vectores de Rn tais que α1 u1 +
α2 u2 6= 0, quaisquer que sejam os números reais α1 e α2 não simulataneamente nulos. Defina os vectores v1 e v2 por
v1 = u1 e v2 = u2 − Pv1 u2 ,
onde Pv1 u2 denota a projecção do vector u2 sobre o vector v1 .
(a) Mostre que os vectores v1 e v2 são perpendiculares.
(b) Sendo w = β1 v1 + β2 v2 , mostre que se tem
w.vi
, i = 1, 2.
βi =
kvi k2
Faculdade de Motricidade Humana
Matemática Aplicada e Estatı́stica
Exame de Matemática
CURSO: Ergonomia e Reabilitação Psicomotora
10/I/12
Duração: 2h
Justifique cuidadosamente todas as suas respostas.
I – (12 valores)
(a) Determine os valores de α para os quais

y − z



x + 2y − z − w
−x
+ y − z + w


 −x + y + 2z + αw
o sistema
=
=
=
=
2
0
6
0
é possı́vel e determinado. Determine a solução quando α = −1.
(b) Sendo


0 −3 3
0 3 
A =  −3
−6
3 0

e

0
1 −1
0 −1  ,
B= 1
2 −1
0
determine AB 2 . Com base neste resultado, calcule, justificando,
A−1 .
(c) Determine os vectores de R4 com norma 2 cuja projecção sobre
o vector u = (0, 1, −1, 0) é u e que são perpendiculares aos
vectores (1, 0, 0, −1) e (1, 0, −1, 0).
(d) Determine o ponto sobre a recta definida por 4x + 5y = 1 mais
próximo da origem.
(e) Estude as seguintes séries quanto à convergência, calculando a
sua soma num dos casos.
∞
∞
X
X
4n−1
9n
i)
ii)
n!
32n
n=2
n=1
(f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções:
2
i) 3x9/5 + xe−5x +
1
1 + 16x2
ii) x log(9x)
II – (4.5 valores)
(a) Calcule os seguintes integrais
Z π
³ ´
i)
4 sin 32 x + 5 cos(2x) dx
Z
+∞
2e−3x − 3e−2x dx
ii)
0
0
(b) Considere as regiões do plano definidas por
©
ª
Xβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−4x ∧ 0 < x < β ,
e
©
ª
Yβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−4x ∧ β < x ,
onde β é um número real positivo. Determine β por forma a
que as áreas de Xβ e Yβ sejam iguais.
III – (1.5 valores) Calcule os seguintes limites
Z 2x
2
i)
−x
− 1 + x2 ii) lim
lim e
x→0
x→0
x4
0
sin(t2 ) dt
x3
.
IV – (2 valores) Sejam u1 e u2 dois vectores de Rn tais que α1 u1 +
α2 u2 6= 0, quaisquer que sejam os números reais α1 e α2 não simulataneamente nulos. Defina os vectores v1 e v2 por
v1 = u1 e v2 = u2 − Pv1 u2 ,
onde Pv1 u2 denota a projecção do vector u2 sobre o vector v1 .
(a) Mostre que os vectores v1 e v2 são perpendiculares.
(b) Sendo w = β1 v1 + β2 v2 , mostre que se tem
w.vi
, i = 1, 2.
βi =
kvi k2