Folha 10 - Departamento de Matemática

Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra
Álgebra Linear e Geometria Analı́tica
Folha 10
Engenharia Biomédica
Ano lectivo 2007/2008


1 1 2
160. Considere a matriz A =  0 1 0  .
0 1 3
(a) Determine os valores próprios de A.
(b) Diga se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, indique duas matrizes diagonalizantes
diferentes.
9
3 4
161. Calcule
.
5 2
7 −4
162. Considere a matriz A =
.
9 −5
(a) Calcule os valores próprios de A.
(b) Sem calcular os vectores próprios de A, mostre que A não é diagonalizável.
163. Seja A uma matriz real de ordem três tal que
   
   
1
1
0
0
A 1  =  1  A 1  =  1 
1
1
2
2

e
  
0
0
A 0  =  0 .
1
2
(a) Indique os valores próprios de A.
(b) Indique, se existir, uma matriz diagonal semelhante a A.
(c) Determine, explicitamente, uma matriz A nas condições do enunciado.
VI. Espaços vectoriais com produto interno
164. No espaço R3 , considere os vectores u = (1, 2, 3) e v = (−3, 0, 1).
(a) Verifique que u e v são ortogonais.
(b) Calcule as normas de u e de v.
(c) Escreva os vectores
u
kuk
e
v
kvk .
√
√
√
3 cujos vértices são u = ( 2, 0, − 2), v = (1, − 2, 1) e w =
165. Mostre
que
o
triângulo
em
R
√
(−1, 2, −1) é rectângulo e isósceles.
166. Que mudança se dá no ângulo entre os vectores não nulos x e y se
(a) se multiplicar x por um número positivo?
(b) se multiplicar x por um número negativo?
(c) se multiplicar x e y por números negativos?
167. Calcule o ângulo que o vector (1, 1, ..., 1) ∈ Rn faz com os vectores da base canónica.
168. Deduza, a partir da desigualdade triangular, que, kx − yk ≤ kx − zk + kz − yk, sendo x, y e z
quaisquer vectores de um espaço Euclidiano. Qual é o significado geométrico desta desigualdade
em R2 e em R3 ?
169. Seja V um espaço vectorial real com produto interno, e sejam x, y ∈ V . Demonstre que:
(a)
(b)
(c)
(d)
Se
Se
Se
Se
x e y forem ortogonais, então kx − yk2 = kxk2 + kyk2 (Teorema de Pitágoras).
kx − yk2 = kxk2 + kyk2 , então x e y são ortogonais.
kxk = kyk, então os vectores x + y e x − y são ortogonais.
x e y forem ortogonais então kx + yk = kx − yk.
Interprete geometricamente, para V = R2 e R3 , as alı́neas (c) e (d).
170. Seja V um espaço vectorial real com produto interno. Sendo x, y ∈ V e sendo θ o ângulo entre
eles, mostre que kx − yk2 = kxk2 + kyk2 − 2 kxk kyk cos θ. (Se V = R2 ou R3 , isto é o clássico
Teorema dos Cossenos, ou Teorema de Carnot, sobre triângulos.) Note que este enunciado
generaliza o Teorema de Pitágoras.
171. Que múltiplo de v1 = (1, 1) devemos subtrair de v2 = (4, 0) para que o resultado seja ortogonal
a v1 ? Interprete geometricamente.
172. Utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, obtenha uma base ortonormada
para R3 a partir dos vectores (1, 0, 1), (1, 0, −1) e (0, 3, 4).
173. Seja S um subconjunto de um espaço vectorial V com produto interno. O conjunto dos vectores
de V que são ortogonais a todos os vectores de S chama-se complemento ortogonal de S. A
notação habitual é S ⊥ . Simbolicamente
S ⊥ = {v ∈ V : hv, si = 0, para todo o s ∈ S}.
Prove que S ⊥ é um subespaço de V .
174. Verifique que o núcleo de uma matriz A é o complemento ortogonal do espaço das linhas de A.
175. Seja A uma matriz simétrica.
(a) Indique qual é o complemento ortogonal do espaço das colunas de A.
(b) Prove que, se Ax = 0 e Az = 5z então x é ortogonal a z.
176. Seja S o subespaço de R3 gerado pelo vector (1, 1, 1). Determine S ⊥ e indique uma base
ortogonal para este subespaço.
177. Seja F o subconjunto de R4 constituı́do pelos vectores ortogonais a (1, −1, 1, −1) e a (2, 3, −1, 2).
Determine uma base para F . A partir dessa base determine uma base ortonormada para F .
178. Seja F o subespaço de R4 gerado pelos vectores (1, 1, −1, −2), (−2, 1, 5, 11), (0, 3, 3, 7) e
(3, −3, −3, −9). Determine a dimensão de F e encontre uma base ortonormada para F .
179. Projecte o vector b = (1, 3, 2) sobre os vectores (não ortogonais) v1 = (1, 0, 0) e v2 = (1, 1, 0).
Mostre que, ao contrário do caso ortogonal, a soma das duas projecções não dá a projecção
ortogonal de b sobre o subespaço gerado por v1 e v2 .
180. Calcule a projecção ortogonal do vector (2, −2, 1) sobre o plano gerado pelos vectores (1, 1, 1)
e (0, 1, 3).
181. Calcule a projecção ortogonal do vector (7, 3, −1, 0) sobre o subespaço F do exercı́cio 177.
182. (a) Determine a solução no sentido dos mı́nimos quadrados do sistema

 x1 = 1
x2 = 1

x1 + x2 = 0.
(b) Designando por A a matriz do sistema, por b o vector dos segundos membros, e por x a
solução encontrada, determine a projecção p = Ax de b sobre o espaço das colunas de A.
(c) Calcule o erro kAx − bk.
(d) Verifique que b − p é perpendicular às colunas de A.