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Determinante Determinante de uma matriz quadrada É um escalar pertencente ao corpo Ω de definição dos elementos da matriz. O cálculo do determinante de uma matriz de ordem n pode ser calculado com base: . no Teorema de Laplace . no cálculo das permutações pares e ímpares de n objectos ÁLGEBRA Determinantes - 1 Determinante Determinante de uma matriz quadrada O determinante uma matriz A de ordem n sobre um corpo Ω é um escalar pertencente Ω, denotado por det(A) ou |A|, calculado por: 1. se A tem dimensão 1, det(A) = A11; 2. se A tem dimensão 2, det(A) = A11 A22 -A12 A21; 3. se A tem dimensão n, o determinante de A pode exprimir-se como a soma dos produtos de cada um dos elementos de uma fila de A (linha ou coluna) pelo determinante de uma matriz (n-1)×(n-1) obtida eliminando em A a linha e a coluna contendo o elemento em questão; antes da soma ser efectuada, as parcelas produto são afectadas de um sinal positivo ou negativo. ÁLGEBRA Determinantes - 2 Desenvolvimento Laplaciano Cofactor ou complemento algébrico do elemento A21 A= A11 A21 A2 " A1n A22 " A2 n # An1 # % # An 2 " Ann + A22 (−1) 2+ 2 = A21 (−1) 2+1 A11 A21 A2 " A1n A22 " A2 n # An1 # % # An 2 " Ann A11 A21 A2 " A1n A22 " A2 n # An1 # % # An 2 " Ann + ... + A2 n (−1) 2+ n + A11 A21 A2 " A1n A22 " A2 n # An1 # % # An 2 " Ann Desenvolvimento Laplaciano ao longo da 2ª linha da matriz ÁLGEBRA Determinantes - 3 Regra de Sarrus Cálculo de determinantes de matrizes de ordem 3 a1 b1 c1 A = a2 b2 c2 = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − c1b2 a3 − c2b3a1 − c3b1a2 a3 b3 c3 A regra de Sarrus só é válida para determinantes de 3ª ordem ÁLGEBRA + a1 + a2 b1 b2 c1 − c2 − + a3 b3 c3 − a1 a2 b1 b2 c1 c2 + + + a1 b1 c1 a1 b1 a2 a3 b2 b3 c2 a2 c3 a3 b2 b3 − − − Determinantes - 4 Propriedades dos determinantes D1 – Se a matriz B resulta da matriz A por troca de duas filas paralelas (linhas ou colunas), então |B| = - |A| D2 – Se a matriz B resulta da matriz A por multiplicação de cada um dos elementos de uma fila (linha ou coluna) por um escalar λ, então |B| = λ |A| D3 – Se a matriz B resulta da matriz A por adição à fila (linha ou coluna) j de um múltiplo da fila (linha ou coluna) i, então |B| = |A| Operações elementares alteram de forma controlada os valores dos determinantes das matrizes ÁLGEBRA Determinantes - 5 Propriedades dos determinantes D4 – |In| = 1 D5 – Se A tem duas filas paralelas iguais, |A| = 0 D6 – Se A tem uma fila com elementos todos nulos, |A| = 0 D7 – As filas paralelas de uma matriz A são linearmente independentes se e só se o determinante da matriz é não nulo D8 – O determinante de uma matriz triangular (diagonal) é o produto dos elementos da diagonal principal D9 – |A| = |At| D10 – Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, |AB|=|A||B| ÁLGEBRA Determinantes - 6 Cálculo da matriz inversa Cálculo da matriz inversa usando determinantes Uma matriz A, quadrada de ordem n, tem inversa A-1 se e só se o seu determinante é diferente de zero. São afirmações equivalentes: - a matriz tem característica n; - as linhas/colunas da matriz são linearmente independentes; - a matriz tem determinante não nulo; - a matriz tem inversa. O determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz. A−1 = 1 A ÁLGEBRA Determinantes - 7 Cálculo da matriz inversa Matriz dos cofactores A matriz dos cofactores da matriz A, C(A), é a matriz que se obtém substituindo cada elemento Aij pelo respectivo cofactor. Esta matriz também é designada por matriz dos complementos algébricos. C11 C12 C C22 21 # # C ( A) = Ci1 Ci 2 # # Cn1 Cn 2 ÁLGEBRA " C1 j " C1n " C2 j " C2 n % # # # " Cij " # # # % # " Cnj " Cnn Cij = (−1)i + j A11 A12 A21 # A22 # Ai1 # Ai 2 # An1 An 2 " A1 j " A1n " A2 j " A2 n % # # # " # " Aij # Anj " # % # " Ann Determinantes - 8 Cálculo da matriz inversa Matriz adjunta clássica A matriz adjunta clássica da matriz A, Adj(A), é a matriz transposta da matriz dos cofactores. C11 C21 C C22 t 12 Adj( A) = [C ( A) ] = # # C1n C2 n " Cn1 " Cn 2 % # " Cnn Matriz inversa A matriz inversa pode ser calculada pela fórmula A −1 = ÁLGEBRA 1 1 t Adj( A) = [C ( A) ] A A Determinantes - 9
