IV -3 - Análise matricial simplificado
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APOSTILA SETORIAL ESTRUTURAS PARA LINHAS DE TRANSMISSÃO Área: LINHAS DE TRANSMISSÃO Código: 001 – LTS IV - 3 www.colunaengenharia.com.br [email protected] 4 – ANÁLISE MATRICIAL Método matricial - A análise estrutural das estruturas reticuladas, pelo método da flexibilidade (ou das forças) ou pelo método da rigidez (ou dos deslocamentos) é uma das aplicações da análise matricial. A resolução dos sistemas de equações, com várias incógnitas ficou viável, através da álgebra matricial, surgindo métodos de análise estrutural mais afetivos. A condição de treliça espacial passou a ser considerada na análise, e os esforços puderam ser obtidos com maior precisão. Abandonou-se a prática do cálculo manual. O advento do computador veio completar a ferramenta que faltava para permitir a resolução do grande número de equações envolvidas. Nos métodos matriciais o número de simplificações sobre o modelo real é mais reduzido, embora as cargas sejam ainda consideradas atuando apenas nos nós. Em situações especiais de construção e montagem, as cargas concentradas nas barras continuam sendo analisadas isoladamente. Define-se matriz de ordem m x n, ao conjunto ordenado de elementos ajk , dispostos na forma de m linhas e n colunas ,sendo (j = 1,2,3,,, m e k = 1,2,3,...n). Pode ser um quadro, uma tabela de números ou funções de uma ou mais variáveis reais ou irreais, chamados de operadores diferenciais, ordenadamente distribuídos. Uma matriz, geralmente, é apresentada da seguinte forma: [A]= n = m= a11 a12...............................a1n a21 a22...............................a2n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ am1 am2..............................amn colunas linhas [ A ] = [ ajk ] (j = 1,2,3, ............. m e k = 1,2,3, ........ n) As matrizes assumem diversas casas particulares (matriz retangular, matriz quadrada, matriz coluna, matriz linha, matriz diagonal, matriz inversa, matriz nula, etc.), e podem ser submetidas à inúmeras operações matemáticas (igualdade, inversão, adição, multiplicação por escalar, transposição, produto, partição, etc.). A diagonal de uma matriz chamada de largura da banda é muito importante para o tempo de resolução da mesma (quanto menor a banda, mais rápido é a solução da matriz) e a sua configuração pode influir nas condições de determinações de um sistema de equações lineares. a11 . x1 + a12 . x2 + a13 . x3 + ....... + a1n . xn = b1 a21 . x1 + a2 . x2 + a23 . x3+ .......... + a2n . xn = b2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - am1 . x1 + am2 . x2 + am3 . x3 + .... + amn . xn= bm Página: 1 No da Revisão: 00 Data: 13.09.2016 Elaboração: Roberval Luna da Silva APOSTILA SETORIAL ESTRUTURAS PARA LINHAS DE TRANSMISSÃO Área: LINHAS DE TRANSMISSÃO Código: 001 – LTS IV - 3 www.colunaengenharia.com.br [email protected] Ou seja: Matriz de coeficientes x matriz de incógnitas = matriz do termo independente Que na forma de matriz associada seria: a11 a21 a12 a22 a13 ..........a1n a23 ......... a2n x1 x2 x am1 am2 am3 ......... amn b1 b2 = x3 bm Tanto o processo da rigidez qunto o processo dos deslocamentos, produzem sucessivas equações de natureza linear (semelhante à análise nodal de circuitos elétricos) que podem ser processados matematicamente pela Álgebra Matricial, de preferência utilizando um computador. As estruturas reticuladas produzem matrizes numéricas e as estruturas analisadas por elementos finitos, utilizam matrizes de variáveis. No módulo anterior, verificamos pela teoria de Hooke que uma barra j-k da treliça, produz as seguintes equações, onde o termo E . A) / L é a rigidez da barra, sendo igual à força que produz um deslocamento unitário: Fj = [(E . A) / L] . Di = r . Di Fk = [(E . A) / L] . Dk = r . Dk Vamos agora escrever estas equações na forma matricial: Fi = Fk = 1 -1 -1 1 r Di x Dk Ou de uma forma simbólica: [F]=[r]x[D] [ F ] – matriz dos esforços [ r ] – matriz dos coeficientes de rigidez [ D ] – matriz dos deslocamentos Página: 2 No da Revisão: 00 Data: 13.09.2016 Elaboração: Roberval Luna da Silva ESTRUTURAS PARA LINHAS DE TRANSMISSÃO APOSTILA SETORIAL Área: LINHAS DE TRANSMISSÃO Código: 001 – LTS IV - 3 www.colunaengenharia.com.br [email protected] Vamos considerar agora, o conjunto de equações lineares, e reescreve-lo na forma matricial: A1 = r11.D1 + r12.D2 + r13.D3 + ....... + r1n.Dn A2 = r21.D1 + r22.D2 + r23.D3+ ........ + r2n.Dn - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - Am = rm1.D1 + rm2.D2 + rm3.D3 + .... + rmn.Dn A forma matricial para este conjunto de equações, com um número maior de ações A1, A2, A3, ... An correspondendo a diversos deslocamentos D1, D2, D3, ... Dn, numa estrutura linearmente elástica, pelo princípio da continuidade, seria: A1 a2 A3 ..... Am r11 r12 r13 .......... r1n r21 r22 r13 ........... r2n r31 r32 r33 ........... r3n ........................................... rm1 rm2 rm3 ........... rmn = X D1 D2 D3 ..... Dn Simbolicamente, podemos escrever: [A]=[r]x[D] Vamos considerar um exemplo simples de aplicação dos métodos matriciais. Ou seja uma viga em balanço, sujeita aos esforços indicados na figura. V1 M1 H1 l Temos: E – Módulo de elasticidade do material A – Área da seção da peça I – Momento de inércia V1 – carga vertical aplicada no ponto 1 H1 – carga horizontal aplicada no ponto 1 Página: 3 No da Revisão: 00 Data: 13.09.2016 Elaboração: Roberval Luna da Silva ESTRUTURAS PARA LINHAS DE TRANSMISSÃO APOSTILA SETORIAL Área: LINHAS DE TRANSMISSÃO Código: 001 – LTS IV - 3 www.colunaengenharia.com.br [email protected] M1 – Momento externo aplicado no ponto 1 D1 , D2 e D3 – os deslocamentos respectivos. Matriz dos esforços: F= V1 H1 M1 F=S x D Matriz dos deslocamentos: D= D1 D2 D3 S11 - corresponde ao esforço que daria um deslocamento unitário D1 = 1, sendo D2 e D3 nulos, e , assim, analogamente. V1 = S11 . D1 + S12 . D2 + S13 . D3 H1 = S21 . D1 + S22 . D2 + S23 . D3 M1 = S31 . D1 + S32 . D2 + S33 . D2 A1 = S11 x 1 + 0 + 0 Aplicando a lei de Hooke , teremos; A1 =[( E. A ) / l] x 1 Analogamente: A2 = 0 + (12. E . I) / l3 – (6. E. I) / l2 A3 = 0 - (6. E . I) / l2 + (4. E. I) / l S= S11 S21 S31 S12 S22 S32 S13 S23 S33 = (E.A) / l 0 0 0 (12.E.I) / l3 -(6.E.I) / l2 0 -(6.E.I) /l2 (4.E.I) / l A prática da análise estrutural adota artifícios de cálculo em determinadas situações.Nos modelos hiperestáticos para eliminar a hiperestaticidade, devemos substituir os vínculos superabundantes por esforços externos (considerados como incógnitas do problema) Página: 4 No da Revisão: 00 Data: 13.09.2016 Elaboração: Roberval Luna da Silva APOSTILA SETORIAL ESTRUTURAS PARA LINHAS DE TRANSMISSÃO Área: LINHAS DE TRANSMISSÃO Código: 001 – LTS IV - 3 www.colunaengenharia.com.br [email protected] visando obter a estrutura restrigida isostática fundamental de tal forma que a soma dos efeitos produzidos seja nula: [ AH ]+ [ AI ] + [ A’I ] = 0 [ AH ] = [ AI ] + [ A’I ] O primeiro termo [ AH ] representa as ações na estrutura real correspondente aos deslocamentos desconhecidos. A parcela [ AI ] representa uma estrutura isostática equivalente submetida ao carregamento real, acrescida de reações fictícias que representam os vínculos eliminados na estrutura real (ações determinadas na estrutura isostática restrigida, incluindo o efeito das cargas, variações de temperatura, deformação inicial e deslocamentos de apoio. A parcela [ A’I ] respeito as ações na estrutura restringida, após a eliminação dos vínculos. Para que a equação matricial seja válida, a segunda parcela A’I deve ser igual a A’I = S x D, onde S representa a estrutura restrigida (após a eliminação dos vínculos da estrutura real), submetido a um carregamento capaz de produzir deslocamentos unitários. D – deslocamentos desconhecidos de nós; S – ações na estrutura isostática restrigida devido a valores unitários dos deslocamentos (coeficientes de rigidez) correspondentes aos deslocamentos desconhecidos. AH = AI + S x D Partindo da equação matricial AH = AI + S x D , podemos conhecer os deslocamentos D, uma vez que AH , AI e S são conhecidos ou podem ser obtidos à partir da estrutura restrigida. D = 1/S (AH – AI) = S-1 (AH – AI ) AH = matriz do tipo d x 1 de ações na estrutura original correspondente a d deslocamentos desconhecidos de nó. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& Página: 5 No da Revisão: 00 Data: 13.09.2016 Elaboração: Roberval Luna da Silva ESTRUTURAS PARA LINHAS DE TRANSMISSÃO APOSTILA SETORIAL Área: LINHAS DE TRANSMISSÃO Código: 001 – LTS IV - 3 www.colunaengenharia.com.br [email protected] ANEXO I - CARACTERISTICAS DAS MATRIZES 1 – Matriz linha 1 x n A = a1 a2 ..........an m – linhas n - colunas 2 – Matriz coluna m x 1 A = a1 a2 a3 ........ am 3 – Matriz quadrada A = m x n = n x m a11 a12 ...................a1n a21 a22.....................a2n ...................................... ......................................... an1 an2 ....................ann a11, a22,........., ann – diagonal principal 4 – Matriz diagonal A = a11 0.............. ............0 0 a22.............. ..........0 .................................... ..0 ........................................... 0 0 ....................amn a11, a22,........., amn – diferentes de zero 5 – Matriz unitária A = 1 0..........................0 0 1..........................0 ...................................0 ....................................... 0 0 ......................1 Página: 6 No da Revisão: 00 a11, a22,........., amn – iguais a 1 Data: 13.09.2016 Elaboração: Roberval Luna da Silva APOSTILA SETORIAL ESTRUTURAS PARA LINHAS DE TRANSMISSÃO Área: LINHAS DE TRANSMISSÃO Código: 001 – LTS IV - 3 www.colunaengenharia.com.br [email protected] 6 – Matriz escalar A = a11 0.........................0 0 a11........................0 ....................................0 ......................................... 0 0 .....................a11 7 – Matriz triangular superior ou inferior. A = a11 a12....................a1n 0 a22....................a2n ........................................ ........................................... 0 0 .....................amn 8 – Matriz esparsa A = 0 a12........................0 0 0..........................a2n ...................................... ........................................... am1 0 ....................amn grande número de elementos nulos 9 – Matriz simétrica A -A = = a11 a12.....................a1n a21 a22......................a2n ....................................... ........................................... am1 am2 ..................amn - a11 . - a12............-.a1n - a21 . - a22............- a2n ..................................... ........................................ - am1 - am2 ...........-.amn Página: 7 No da Revisão: 00 Data: 13.09.2016 Elaboração: Roberval Luna da Silva APOSTILA SETORIAL ESTRUTURAS PARA LINHAS DE TRANSMISSÃO Área: LINHAS DE TRANSMISSÃO Código: 001 – LTS IV - 3 www.colunaengenharia.com.br [email protected] 10 – Matriz igual A B = a11 a12.....................a1n a21 a22.....................a2n ................................... ..................................... am1 am2 .................amn = a11 a12......................a1n a21 a22..................... a2n ....................................... ........................................... am1 am2 ..................amn 11 – Matriz transposta . a11 a21 = a12.....................a1n a22......................a2n ............................... ....................................... am1 am2 ..................amn Anm = a11 a12.....................a1m a21 a22.................... a2m .................................... ........................................... an1 an2 ...................anm Amn 12 – Matriz regular. A = a11 a12.....................a1n a21 a22.....................a2n ................................... ....................................... am1 am2 .................amn Página: 8 No da Revisão: 00 mxn - Data: 13.09.2016 m diferente de n Elaboração: Roberval Luna da Silva R1 R2 R3 R4 FDL1 FDL2 APOSTILA SETORIAL ESTRUTURAS PARA LINHAS DE TRANSMISSÃO Área: LINHAS DE TRANSMISSÃO Código: 001 – LTS IV - 3 www.colunaengenharia.com.br [email protected] 13 – Matriz nula A = 0 0.........................0 0 0 .......................0 ....................................... .......................................... 0 ...................................0 = 0 14 – Sub matriz A = a11 a12.....................a1n a21 a22......................a2n ....................................... ........................................... am1 am2 ..................amn A1 a11 a12 a21 a22 = 15 – Matriz de banda ou banda da matriz. A = a11 a12 .......................0 a21 a22 .........................0 ...................d...................... .............................................. 0 0 am-1n amn Página: 9 No da Revisão: 00 d – largura da banda Data: 13.09.2016 Elaboração: Roberval Luna da Silva ESTRUTURAS PARA LINHAS DE TRANSMISSÃO APOSTILA SETORIAL Área: LINHAS DE TRANSMISSÃO Código: 001 – LTS IV - 3 www.colunaengenharia.com.br [email protected] ANEXO II – OPERAÇÕES COM MATRIZES 1 – Igualdade de matrizes. Amn = Bmn m – linhas m – colunas 2 – Inversão de matrizes Amn = -1x Amn = - Amn 3 – Adição de matrizes. Smn = Amn + Bmn 4 – Subtração de matrizes Dmn = Amn - Bmn = Dmn = Amn + - Bmn 5 – Multiplicação por um escalar. Kx Amn = K x Amn 6 – Multiplicação de matrizes Mmn = ∑ Amn Página: 10 x Bmn No da Revisão: 00 Data: 13.09.2016 Elaboração: Roberval Luna da Silva R1 R2 R3 R4 FDL1 FDL2 ESTRUTURAS PARA LINHAS DE TRANSMISSÃO APOSTILA SETORIAL Área: LINHAS DE TRANSMISSÃO Código: 001 – LTS IV - 3 www.colunaengenharia.com.br [email protected] 7 – Partição de matrizes A = a a11 a21 a31 a12 a22 a32 a11 a12 a31 a32 a13 a23 a33 = 8 – Transposição de matrizes. A = a11 a21 a31 a12 a22 a32 a11 a12 a13 a14 a21 a31 a22 a32 a23 a33 a24 a34 a13 a14 a23 a24 a33 a34 3x4 A’ = 4x3 9 – Rotação de matrizes. RT - Matriz de rotação AXYZ = RT X Axyz DXYZ = RT X Dxyz AXYZ = S X DXYZ AXYZ x RT = S AXYZ = S X RT X Página: 11 X DXYZ RT-1 No da Revisão: 00 x X RT DXYZ Data: 13.09.2016 Elaboração: Roberval Luna da Silva
