Complementos de Cálculo Diferencial

Matemática - 2008/09 - Complementos de Cálculo Diferencial
46
Complementos de Cálculo Diferencial
A noção de derivada foi introduzida no ensino secundário. Neste capítulo pretende-se relembrar algumas de…nições e resultados já conhecidos e complementar os conhecimentos adquiridos com vista ao cálculo integral que será dado no capítulo seguinte. Anteriormente foram
estudadas as funções trigonométricas e respectivas derivadas, mas não foram estudadas as
funções inversas das funções trigonométricas. Aqui serão apresentadas as funções inversas
das quatro principais funções trigonométricas, seno, co-seno, tangente e cotagente, para
as quais serão também calculadas as derivadas. Ao longo deste capítulo todas as funções
consideradas são funções reais de variável real.
Revisões
Algumas derivadas conhecidas:
Se c 2 R e f (x) = c, então f 0 (x) = 0 (a derivada de uma função constante é 0)
Para
2 R, (x )0 = x
1
(ex )0 = ex
Para a 2 R+ , (ax )0 = ax ln a
1
(ln x)0 =
x
0
(sin x) = cos x
(cos x)0 =
sin x
1
(tan x)0 =
cos2 x
1
(cot x)0 =
sin2 x
Observação: Lembrando que
p
b
a
xa = x b
(1)
e que, se a > 0;
1
;
(2)
xa
constata-se que a fórmula da derivada de x ; 2 R, também se aplica a derivadas de
x
a
1
= x
2
1
2
=
funções do tipo (1) e (2).
Exemplos:
1. Se f (x) =
p
x, então
p 0
f 0 (x) = ( x) =
1
x2
0
1 1
= x2
2
1
=
1
1
= p
2 x
2x
1
2
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1
2. Se f (x) = p
; então
4
x3
0
f (x) =
1
p
4
x3
0
1
=
3
x4
!0
=
0
3
4
x
3
x
4
=
3
1
4
=
3
x
4
7
4
3
=
7
4x 4
Relações trigonométricas
tan x =
cos x
sin x
, cot x =
cos x
sin x
Fórmula fundamental da trigonometria
cos2 x + sin2 x = 1
p
1
1
2
=
1
+
tan
x
,
=
1 + tan2 x
cos2 x
cos x
p
1
1
= 1 + cot2 x
Se sin x 6= 0, 2 = 1 + cot2 x ,
sin x
sin x
Se cos x 6= 0,
cos (x + y) = cos x cos y
cos (x
sin x sin y
y) = cos x cos y + sin x sin y
sin (x + y) = cos x sin y + cos y sin x
sin (x
y) = cos y sin x
cos (2x) = cos2 x
cos x sin y
sin2 x
sin (2x) = 2 cos x sin x
cos2 x =
sin2 x =
1 + cos 2x
2
1
sin x cos y =
cos x cos y =
cos 2x
2
sin (x + y) + sin (x
2
cos (x
y)
y) + cos (x + y)
2
Alguns valores das funções trigonométricas
0
sin
0
cos
1
tan
0
cot
nd
6
=30o
1
p2
3
p2
3
3
p
3
=45o
=60o
4 p
3 p
1
p
2
p2
2
2
1
3
2
1
2
p
3
3
3
2
=90o
=180o
1
0
0
1
2
90o
=
1
0
nd
0
nd
0
nd
0
=
3
p
4
4 x7
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Regras de derivação
De…nição: Uma função é diferenciável em x 2 R se tiver derivada …nita em x:
Teorema: Se uma função f é diferenciável em x 2 R, então f é contínua em x:
Derivada do produto escalar: Se k 2 R e f é uma função diferenciável num ponto x 2 R,
então a função kf também é diferenciável em x e:
(kf )0 (x) = k (f 0 (x))
0
0
Exemplo: (3x2 ) = 3 (x2 ) = 3 (2x) = 6x:
Derivada da soma e do produto: Se f e g são funções diferenciáveis em x 2 R, então as
funções f + g e f g também são diferenciáveis em x e:
Derivada da soma:
(f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) [abreviadamente (f + g)0 = f 0 + g 0 ]
Derivada do produto:
(f g)0 (x) = f 0 (x) g (x) + f (x) g 0 (x) [abreviadamente (f g)0 = f 0 g + f g 0 ]
Exemplos:
1. Se f (x) = 3x2 e g (x) = 2x então:
0
0
(f + g)0 (x) = (3x2 + 2x) = (3x2 ) + (2x)0 = 6x + 2
2. A derivada de q (x) = 3x5
q 0 (x) = 3x5
0
2x4 + x2
0
2x4 + x2
3x + 8 é
0
(3x)0 + (8)0 = 15x4
8x3 + 2x
3
3. Se f (x) = ex e g (x) = ln x então:
(f + g)0 (x) = (ex + ln x)0 = (ex )0 + (ln x)0 = ex +
1
x
(f g)0 (x) = (ex ln x)0 = (ex )0 ln x + ex (ln x)0 = ex ln x + ex
4. Se f (x) = sin x e g (x) = cos x então:
(f + g)0 (x) = (sin x + cos x)0 =
= (sin x)0 + (cos x)0 = cos x
sin x
1
1
= ex ln x +
x
x
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(f g)0 (x) = (sin x cos x)0 =
= (sin x)0 cos x + sin x (cos x)0 =
= cos x cos x + sin x ( sin x) = cos2 x
sin2 x
Derivada do cociente: Se f e g são funções diferenciáveis em x 2 R e se g (x) 6= 0, então
f
também é diferenciável em x e:
g
f
g
0
(x) =
f 0 (x) g (x) f (x) g 0 (x)
[abreviadamente
(g (x))2
f
g
0
=
f 0g + f g0
]
g2
Exemplos:
1. Se f (x) = ln x e g (x) = x então:
f (x)
g (x)
0
0
ln x
=
x
1
x ln x
(ln x)0 x ln x (x)0
1 ln x
x
=
=
=
2
2
x
x
x2
=
2. Através da regra da derivada do cociente podemos deduzir a derivada da função tan x.
f (x)
sin x
De facto, se f (x) = sin x e g (x) = cos x então
=
= tan x: Assim,
g (x)
cos x
0
sin x
=
cos x
(sin x)0 cos x sin x (cos x)0
=
(cos x)2
cos x cos x sin x ( sin x)
=
cos2 x
cos2 x + sin2 x
1
=
2
cos x
cos2 x
0
(tan x) (x) =
=
=
=
Derivada da função composta: Se f e g são funções, f diferenciável em x 2 R eg diferenciável em f (x), então a função g f é diferenciável no ponto x e:
(g f )0 (x) = g 0 (f (x)) f 0 (x)
Exemplos:
1. Sejam f (x) = ln x e g (x) = x2 : Então
(a) (g f ) (x) = (ln x)2 e (ln x)2
(b) (f
0
0
= 2 ln x: (ln x)0 =
g) (x) = ln (x2 ) e (ln (x2 )) =
1
2x
2 0
:
(x
)
=
x2
x2
2 ln x
x
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2. Seja h (x) =
p
50
cos x:
p
Considerando as funções f (x) = x e g (x) = cos x veri…ca-se que h = f
1
1 0
p
sin x
0
p
h0 (x) = ( cos x) = (cos x) 2 = 21 (cos x) 2 (cos x)0 =
2 cos x
g: Então:
A partir da regra da derivada da função composta podem-se deduzir expressões gerais para
as derivadas de muitas funções.
Exemplos:
1. Seja f (x) uma função qualquer. Para
2 R, qual é a derivada def (x) ? Esta função
é a composição de f (x) com a função g (x) = x : Usando a regra da derivação da
0
função composta obtemos (f (x) ) = f (x)
1
f 0 (x)
2. Seja f (x) uma função qualquer. Para calcular a derivada de ln f (x) ; basta observar
que ln f (x) é a composição de f (x) com a função g (x) = ln x. Pela regra (ln f (x))0 =
1 0
f 0 (x)
f (x) =
f (x)
f (x)
Resumimos as fórmulas assim obtidas na seguinte tabela (que já inclui as derivadas das
funções trigonométricas inversas que deduziremos de seguida):
Derivadas
Se x é uma variável:
0
(x ) = x
x 0
x
(e ) = e
1
;
2R
x 0
Se f é uma função:
(f )0 = f
f 0
e
f
= e :f
1
0
:f 0 ;
2R
f 0
(a ) = ax ln a; a 2 R+
1
(ln x)0 =
x
0
(sin x) = cos x
= af : ln a:f 0 ; a 2 R+
f0
(ln f )0 =
f
0
(sin f ) = cos f:f 0
(cos x)0 =
(cos f )0 =
sin x
1
(tan x)0 =
cos2 x
1
(cot x)0 =
sin2 x
1
(arcsin x)0 = p
1 x2
1
(arccos x)0 = p
1 x2
1
(arctan x)0 =
1 + x2
1
(arccot x)0 =
1 + x2
a
sin f:f 0
f0
0
(tan f ) =
cos2 f
f0
0
(cot f ) =
sin2 f
f0
0
p
(arcsin f ) =
1 f2
f0
(arccos f )0 = p
1 f2
0
f
(arctan f )0 =
1 + f2
f0
(arccot f )0 =
1 + f2
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Funções trigonométricas inversas
Função inversa da função seno
Seja f (x) = sin x
Domínio: R
Contradomínio: [ 1; 1]
Grá…co:
y
-5
-4
-3
-2
1
-1
1
2
3
4
5
x
-1
sin x
Como a função seno não é injectiva, para de…nir a inversa temos de restringir
h
i a função a
um intervalo em que seja injectiva. Para isso escolhemos o intervalo
; , no qual a
2 2
função seno é estritamente crescente e assume todos os valores do seu contradomínio. Ao
valor da função inversa do seno num ponto x deste intervalo chama-se habitualmente arco
cujo seno é x; simbolicamente arcsin x: Como sin x e arcsin x são funções inversas, é claro
que sin (arcsin x) = x: Tem-se então:
f
1
(x) = arcsin x
Domínio: [ 1; 1]h
i
;
Contradomínio:
2 2
Grá…co:
y
1.5
1.0
0.5
-1.0
-0.5
0.5
-0.5
-1.0
-1.5
arcsin x
1.0
x
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Função inversa da função co-seno
Seja f (x) = cos x
Domínio: R
Contradomínio: [ 1; 1]
Grá…co:
1.0
y
-5
-4
-3
-2
-1
0.5
1
-0.5
2
3
4
5
x
-1.0
cos x
Também neste caso, para de…nir a função inversa temos de restringir a função co-seno a
um intervalo em que seja injectiva. Para isso escolhemos o intervalo [0; ], no qual a função
co-seno é estritamente decrescente e assume todos os valores do seu contradomínio. Ao valor
da função inversa do co-seno num ponto x deste intervalo chama-se habitualmente arco cujo
co-seno é x; simbolicamente arccos x: Como cos x e arccos x são funções inversas, é claro
que cos (arccos x) = x: Tem-se então:
f 1 (x) = arccos x
Domínio: [ 1; 1]
Contradomínio: [0; ]
Grá…co:
y3
2
1
-1.0
-0.5
0.0
arccos x
0.5
1.0
x
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Função inversa da tangente:
Seja f (x) = tan
n x (ou f (x) = otg x)
Domínio: R
+k :k 2Z
2
Contradomínio: R
Grá…co:
10
y
5
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
-5
-10
tan x
Nestei caso, para
h calcular a função inversa da tangente, efectuamos a sua restrição ao intervalo
;
no qual a função é estritamente crescente e assume todos os valores do seu
2 2
contradomínio. Ao valor da função inversa da tangente num ponto x deste intervalo chamase habitualmente arco cuja tangente é x; simbolicamente arctan x ou arctg x: Como tan x
e arctan x são funções inversas, é claro que tan (arctan x) = x: Tem-se então:
f 1 (x) = arctan x (ou f 1 (x) = arctg x)
Domínio: R
i
h
Contradomínio:
;
2 2
Grá…co:
y
-5
-4
-3
-2
1
-1
1
-1
arctan x
2
3
4
5
x
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Função inversa da cotangente:
f (x) = cot x (ou f (x) = cotg x)
Domínio: R fk : k 2 Zg
Contradomínio: R
Grá…co:
y
10
5
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
-5
-10
cot x
Neste caso, para calcular a função inversa da cotangente, efectuamos a sua restrição ao
intervalo ]0; [ no qual a função é estritamente decrescente e assume todos os valores do
seu contradomínio. Ao valor da função inversa da tangente num ponto x deste intervalo
chama-se habitualmente arco cuja cotangente é x; simbolicamente arccot x ou arccotg x:
Como cot x e arccot x são funções inversas, é claro que cot (arccot x) = x: Tem-se então:
f 1 (x) = arccot x (ou f 1 (x) = arccotg x)
Domínio: R
Contradomínio: ]0; [
Grá…co:
y3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
arccot x
1
2
3
4
5
x
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Derivada da função inversa
O teorema que se enuncia de seguida permite calcular a derivada da função inversa de uma
função dada a partir da derivada da função inicial.
Derivada da função inversa: Seja I um intervalo real, f : I ! R uma função monótona
1
e contínua e f
0
: f (I) ! R a inversa de f: Se f é diferenciável num ponto x 2 I e
1
f (x) 6= 0; então f
é diferenciável em y = f (x) e:
f
1 0
(y) =
1
f 0 (f
1
(3)
(y))
Exemplos: Os exemplos que apresentamos mostram como utilizar este teorema no cálculo
de derivadas já conhecidas.
1. Vamos calcular a derivada da função ln x usando o facto de ser a função inversa de
f (x) = ex : Com é sabido f 0 (x) = ex :
Neste caso f
1
(y) = ln y: Aplicando a fórmula (3) obtemos:
(ln y)0 = f
1 0
(y) =
1
f0
(f
2. Vamos calcular a derivada da função x 3 =
p
3
1
1
(y))
1
=
e(ln y)
=
1
y
x usando o facto de ser a função inversa
de f (x) = x3 : Com é sabido f 0 (x) = 3x2 :
p
Neste caso f 1 (y) = 3 y: Aplicando a fórmula (3) obtemos:
1
y3
0
p
= ( 3 y)0 = f
1 0
(y) =
1
f0
1
(f
(y))
=
3
1
p
3
y
2
1
= y
3
2
3
Derivadas das funções trigonométricas inversas
arcsin x
Se f (x) = sin x então f 0 (x) = cos x e f
1
(y) = arcsin y. Aplicando a fórmula (3) da
página 55, obtem-se:
(arcsin y)0 =
1
cos (arcsin y)
=
#
ve r p g . 4 7
arccos x
Se f (x) = cos x então f 0 (x) =
sin x e f
p
1
1
1
2
sin (arcsin y)
=p
1
1
y2
(y) = arcsen y. Aplicando a fórmula (3)
da página 55, obtem-se:
(arccos y)0 =
1
sin (arccos y)
=
#
ve r p g . 4 7
1
p
1
cos2
(arccos y)
=
p
1
1
y2
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56
arctan x
Se f (x) = tan x então f 0 (x) =
da página 55, obtem-se:
(arctan y)0 =
1
ef
cos2 x
1
1
2
cos (arctan y)
1
(y) = arctan y. Aplicando a fórmula (3)
=
1
1
=
1 + tan (arctan y)
1 + y2
2
#
ve r p g . 4 7
arccot x
Se f (x) = cot x então f 0 (x) =
da página 55, obtem-se:
(arccot y)0 =
Conclusão:
(arcsin x)0 = p
1
x2
1
1
(arccos x)0 =
p
(arctan x)0 =
1
1 + x2
(arccot x)0 =
1
x2
1
1 + x2
1
ef
sen2 x
1
=
1
#
ve r p g .
2
sin (arccot y)
1
(y) = arccot y. Aplicando a fórmula (3)
1
=
1 + cot (arccot y)
2
47
1
1 + y2