Apostila de Revisão de Números Complexos Prof. Maluf 01

Apostila de Revisão de Números Complexos
a)
5
b)
2 5
c)
5
d)
5 5
e)
25
Prof. Maluf
01 - (PUC SP)
Considere o seguinte problema: “Vito ganhou R$
3,20 de seu pai em moedas de 5 centavos, 10
centavos e 25 centavos. Se recebeu um total de
50 moedas, quantas moedas de 5 centavos ele
recebeu?”. O problema proposto
a)
não admite solução
b)
admite uma única solução
c)
admite apenas duas soluções
d)
admite apenas três soluções
O conjunto de todos os pontos (x,y)  IR2 tais que
x + iy = (-5 + 2cost) + i(3 + 2sent), para t  IR,
com i2 = -1, é descrito como
e)
admite mais do que três soluções
a)
uma reta que passa pelo ponto (-5,3) e tem
declividade 2.
b)
uma circunferência de centro em (-5,3) e
raio 2.
c)
um par de retas concorrentes que se
interceptam no ponto (-5,3).
d)
uma parábola cujo vértice é o ponto (-5,3).
05 - (UFU MG)
02 - (MACK SP)
102
1 i 


 1 i 
a)
i
b)
–i
c)
1
d)
1+i
, i  - 1 , é igual a:
06 - (UFU MG)
e) – 1
03 - (MACK SP)
O complexo z = a + bi, de módulo 1, que satisfaz
a condição  z – i  = 2 é um número:
a)
da forma bi, com b > 0.
b)
da forma bi, com b < 0
c)
tal que a > 0 e b > 0
d)
tal que a < 0 e b > 0
e)
tal que a > 0 e b < 0
Seja o número complexo z = cos15º + isen15º,
onde i2 = -1. Se w é um outro número complexo
tal que |w| = |z| = |z – w|, então pode-se afirmar
que um valor possível para w nessas condições é
a)
w = cos315º + isen315º
b)
w = cos60º + isen60º
c)
w = cos165º + isen165º
d)
w = cos225º + isen225º
07 - (EFEI MG)
Determine o conjunto-solução da equação
Z.Z(ZZ)134i , sendo Z = a + bi e Z = a –
2
04 - (PUCCampinas SP)
Sejam x e y os números reais que satisfazem a
igualdade i(x – 2i) + (1 + yi) = (x + y) – i, onde i é
a unidade imaginária. O módulo do número
complexo z = (x + yi)2 é:
= -1.
08 - (UFJF MG)
O número complexo z de módulo
representado abaixo no plano
Podemos afirmar que z é igual a:
3
está
complexo.
No plano complexo, cada ponto representa um
número complexo. Nesse plano, considere o
hexá-gono regular, com centro na origem, tendo
i, a unidade imaginária, como um de seus
vértices.
Im

6
Re
z
a)
3 i 3
2
b)
3i 3
2
c)
 3 3i
2
3 3i
2
d)
09 - (UFU MG)
As representações gráficas dos números
complexos z1 = cos 30º + i sen 30º e z2 = cos
102º + i sen 102º no plano complexo
correspondem a vértices consecutivos de um
polígono regular inscrito em uma circunferência
com centro na origem. O número de lados desse
polígono é igual a
a)
Determine os vértices do hexágono.
b)
Determine os coeficientes de um polinômio
de grau 6, cujas raízes sejam os vértices do
hexágono.
12 - (FUVEST SP)
Dentre os números complexos z = a + bi, não
nulos, que têm argumento igual a

, aquele
4
cuja representação geométrica está sobre a
parábola y = x² é
a)
1+i
b)
1–i
c)
–1+i
d)
2  2i
e)
 2  2i
13 - (FUVEST SP)
a)
12
b)
6
c)
5
Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) perguntase: quantos números reais a existem para os
quais (a + i)4 é um número real?
d)
10
a)
1
b)
2
c)
3
d)
4
e)
infinitos
10 - (UFU MG)
A soma das raízes distintas da equação z2 +
2R(z) + 1 = 0, onde x é um número complexo e
R(z) denota a parte real de z, é igual a
a)
0
b)
1
c)
–1
d)
2i
z é um complexo diferente de zero. Os pontos A,
O e B são as imagens, no plano complexo, de z,
0 e iz, respectivamente. O ângulo AÔB mede:
e)
–2i
a)
90°
b)
60°
c)
45°
d)
30°
11 - (FUVEST SP)
14 - (Gama Filho RJ)
e)
0°
18 - (ITA SP)
Sejam x e y números reais, com x  0,
satisfazendo (x + iy)2 = (x + y) i. Então:
15 - (ITA SP)
Considere
os
z  2 i 2
b)
z 2  w 3  6  2i
complexos
w  1 i 3 .
e
w 6  3z 4  4i
m
a)
números
Se
a)
x e y são números irracionais.
b)
x>0ey<0
c)
x é uma raiz da equação x3 + 3x2 + 2x – 6 =
0
d)
x<0ey=x
e)
x2 + xy + y2 = 0,5
, então m vale:
34
26
c)
16
d)
4
e)
1
19 - (ITA SP)
Considere as afirmações:
1.
16 - (ITA SP)
Considere, no plano complexo, um hexágono
regular centrado em z0 = i.Represente por z1, z2,
..., z6, seus vértices, quando percorridos no
sentido anti-horário. Se z1 = 1 então 2z3 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
2.
(cos  + i sen )10 = cos (10 ) + i sen (10 ),
para todo   R.
5i
 1 2 i
2i
3.
(1 – i)4 = -4
4.
Se z2 = ( z )2 então z é real ou imaginário
puro.
5.
O polinômio x4 = x3 – x – 1 possui apenas
raízes reais.
2 + 4i
 3 1  3  3i
6
2
 2  2i


Podemos conculir que:
3 1  2 3  3 i
2
 6  2i
17 - (ITA SP)
Seja S o conjunto dos númeos complexos que
satisfazem, simultaneamente, às equações: z –
3 i= 3 e z + i= z – 2 – i
O produto de todos os elementos de S é igual a:
a)
2i 3
b)
2 2  3i 3
c)
a)
Todas sao verdadeiras.
b)
Apenas quatro são verdadeiras.
c)
Apenas três são verdadeiras.
d)
Apenas duas são verdadeiras.
e)
Apenas uma é verdadeira.
20 - (ITA SP)
2
Resolvendo a equação x  2  z no conjunto
dos números complexos, conclui-se sobre as
suas soluções que:
a)
nenhuma delas é um número inteiro.
2 2  3i 3
b)
a soma delas é 2.
d)
– 3 + 3i
c)
estas são em número de 2 e são distintas.
e)
– 2 + 2i
d)
estas são em número de 4 e são 2 a 2
distintas.
e)
uma delas é da forma s = si com b real não
nulo.
1
1
{2 4 (cos 78  i sen 78 ), 2 4 (cos 4  i sen 4 )}
e)
n.d.a
Nota: Por ā denotamos o conjugado do
número complexo a.
23 - (ITA SP)
Sejam w = a + bi com b  0 e a, b, c  R. o
conjunto dos números complexos z que verificam
21 - (ITA SP)
Considere o número complexo z = a + 2i cujo
argumento está no intervalo (0,  ). Sendo S o
2
conjunto dos valores de a para os quais z6 é um
número real, podemos afirmar que o produto dos
elementos de S vale:
a)
d)
e)
wz  wz  c  0 , descreve.
a)
Um par de retas paralelas.
b)
Uma circunferência.
c)
Uma elepse.
d)
Uma reta com coeficiente angular
e)
n.d.a.
4
4
3
b)
c)
a equação
8
8
3
a
b
24 - (ITA SP)
n.d.a.
Se z = cos t + i sen t, onde 0 < t < 2, então
podemos afirmar que
22 - (ITA SP)
Sabe-se que 2(cos  + i sen  ) é uma raiz
20
20
quíntupla de w. Seja S o conjunto de todas as
raízes de z4 – 2z2 +
m
w 16 2i
8 2
 0 . Um
a)
i cotg
b)
i tg
c)
i cotg t
d)
i tg t.
e)
n.d.a.
w
1 z
é dado por:
1 z
t
2
t
2
subconjunto de S é:
a)
1
2
1
2
{2 (cos 78  i sen 78 ), 2 (cos 8  i sen 8 )}
25 - (ITA SP)
b)
1
1
{2 2 (cos 98  i sen 98 ), 2 2 (cos 58  i sen 58 )}
c)
1
1
{2 4 (cos 74  i sen 74 ), 2 4 (cos 4  i sen 4 )}
d)
Considere as equações z3 = i e z2 + (2 + i) z + 2i
= 0, onde z é complexo. Seja S1 o conjunto das
raízes da primeira equação e S2 o da segunda.
Então:
a)
S1  S2 é vazio.
b)
S1  S2  R
c)
S1 possui apenas dois elementos distintos.
d)
S1  S2 é unitário.
e)
S1  S2 possui dois elementos.
e)
2
26 - (ITA SP)
A igualdade 1 + z = 1 + z, onde z  C, é
satisfeita:
29 - (PUC RJ)
a)
Para todo z  C tal que Rez = 0 e Imz < 0.

b)
Para todo z  C tal que Rez  0 e Imz = 0.
a)
1
c)
Para todo z  C tal que z = 1
b)
–1
d)
Para todo z  C tal que Imz = 0
c)
i
e)
Para todo z  C tal que z < 1
d)
–i
e)
0
Nota: C denota o conjunto dos números
complexos, Rez a parte real de z e Imz parte
imaginária de z.
2
2
(1  i)

2
30 - (UNIUBE MG)
27 - (FUVEST SP)
O valor da potência
a)

3 i
Determine todas as soluções, no campo
complexo, da equação z = iz2 , onde i é a
a)
212
unidade imaginária, isto é, i = –1 = e z é o
conjugado de z.
b)
212i
c)
212 cos 6  i sen 6
d)
212 cos 3  i sen 3
e)
–212
2
b) Represente essas soluções no plano
complexo, usando o sistema de coordenadas
desenhado ao lado.




31 - (UERJ)
O valor de
1  2i
1 i
a)
3 1
 i.
2 2
b)

3 1
 i.
2 2
c)

3 1
 i.
2 2
d)
3 1
 i.
2 2
28 - (PUC RJ)
Seja z o número complexo
i   1 . Então,
a)
–2
b)
–1
c)
1 i 3
d)
1
1
z z
2
é:
1 i 3
2
, em que
e)
3.
é
12 é
32 - (UERJ)
Os ângulos agudos de um triângulo retângulo
são  e B. Se i é a unidade imaginária dos
números complexos, então o produto:
( cos  + i sen  ) . ( cos B + i sen B )
b)
z
3 3 3

i
2
2
c)
z
1
3

i
2 2
d)
3 3 3
 i
2
2
e)
1
3

i
6 6
é igual a:
a)
-i
b)
i
c)
-1
d)
0
e)
1
36 - (EFOA MG)
O número complexo z 
33 - (ITA SP)
Seja a equação em C z4 – z2 + 1 = 0 . Qual
dentre as alternativas abaixo é igual à soma de
duas das raízes dessa equação?
a)
2 3
b)
 3
e i 2  1 , tem módulo 1 e parte real igual ao
dobro da parte imaginária. Então é CORRETO
afirmar que a  b é:
a)
4/5
b)
7/5
c)
2/5
d)
3/5
e)
6/5
2
3
2
c)
d)
– i.
e)
i
2
37 - (FMTM MG)
Em relação ao número complexo z  a  bi ,
sabe-se que a < 0, b < 0 e |z| < 1. Nessas
condições, dos pontos indicados na figura,
aquele que pode representar o afixo de z2 é
34 - (ITA SP)
Sejam a e b dois números complexos não-nulos,
tais que a2 + b2 = 0. Se z, w  C satisfazem a
z.w  z.w  6a

z.w  z.w  8b
determine o valor de |a| de forma que |z w| = 1.
35 - (FGV )
O ponto P é o afixo de um número complexo z e
pertence à circunferência de equação x2 + y2 = 9.
Sabendo-se que o argumento de z é 60º, podese afirmar que
a)
a  bi
, onde a , b  R
1 i
z
3 1
 i
2 2
a)
A.
b)
B.
c)
C.
d)
D.
e)
E.
41 - (UFRJ)
38 - (UFJF MG)
50
Se i é a unidade imaginária, então
i
Determine o menor inteiro n para o qual
( 3  i) n é um número real positivo.
n
vale:
n 1
a)
1 – i;
b)
1 + i;
c)
0;
d)
– 1 + i;
e)
– 1 – i.
42 - (UFRRJ)
A soma de um número complexo z com seu
conjugado é igual a 3 vezes a parte imaginária de
z e o produto de z pelo seu conjugado vale 52.
determine z, sabendo que sua parte real é
positiva.
43 - (FUVEST SP)
39 - (UFJF MG)
Considere a equação z  z  (  1) z , onde
2
A figura abaixo mostra, no plano complexo, o
círculo de raio 1, os afixos de cinco números
complexos e as bissetriz dos quadrantes. O
número complexo
z
imaginária e
iz ,
onde “i” é a unidade
 é um número real e z indica o conjugado do
número complexo z.
a)
Determinar os valores de a para os quais a
equação tem quatro raízes distintas.
b)
Representar, no plano complexo, as raízes
dessa equação quando  = 0.
é o conjugado de z, é igual a:
.
r
.
z
44 - (UFRRJ)
s
a)
z;
b)
w;
c)
r;
d)
s;
e)
t;
.
..
w
Em um jogo de sinuca, uma mesa está localizada
com centro na origem do plano complexo,
conforme mostra a figura abaixo. Após uma
tacada do centro 0, a bola preta segue na direção
de Z = 1 + i, bate em A, indo em seguida até B e
parando, conforme demonstra a figura abaixo.
Encontre o ponto Z1 = a + bi, onde a bola branca
teria parado se a tacada tivesse sido dada, com a
mesma intensidade, na direção e sentido do
conjugado de Z.
t
(- 2 + 3i)
B
(2 + 3i)
A
40 - (UNIMONTES MG)
Os possíveis valores da expressão A  i n 
onde i é a unidade imaginária e n  IN , são
a)
0 e 2.
b)
-i, 0 e i.
c)
1
d)
-2, 0 e 2.

i, 0 e 2.
1
in
-2
2
(- 2 - 3i)
(2 - 3i)
,
45 - (EFOA MG)
Seja z  x  i y um número complexo não nulo,
sendo x e y números reais. Se a e b são números
reais tais que
x  iy
 a  ib , é correto afirmar
x  iy
que:
a)
|a| + |b| < 1
b)
a = b
c)
a=b=1
d)
a2 + b2 = 1
e)
|a| + 2|b| > 1
49 - (UNIFICADO RJ)
A figura mostra, no plano complexo, o círculo de
centro na origem raio 1, e as imagens de cinco
números complexos.
O complexo 1/z é igual a:
.
.
w
r
.
z
46 - (UNESP SP)
.
Considere o número complexo z = i, onde i é a
unidade
imaginária.
O
valor
de
1
z z z z é
z
4
3
s
.
t
2
a)
z
a)
–1
b)
w
b)
0
c)
r
c)
1
d)
s
d)
i
e)
t
e)
–i
50 - (UNIFICADO RJ)
47 - (UNICAMP SP)
Um triângulo eqüilátero, inscrito em uma
circunferência de centro na origem, tem como um
de seus vértices o ponto do plano associado ao
a)
um par de retas paralelas
b)
um par de retas concorrentes
Que números complexos estão associados
aos outros dois vértices do mesmo
triângulo? Faça a figura desse triângulo.
c)
uma reta
d)
uma circunferência
Qual a medida do lado desse triângulo?
e)
uma parábola
número complexo
a)
b)
3 i .
51 - (UNIFICADO RJ)
48 - (UNICAMP SP)
Dado um número complexo z = x + iy, o seu
conjugado é o número complexo
a)
Resolva
as
z2  z 2 .
b)
O lugar geométrico das imagens dos complexos
z tais que z2 é real, é :
equações:
1 é:
z2
z  x  iy .
z.z  4
Se Z = 1 + i, o argumento principal do complexo
e
Ache os pontos de intersecção dos lugares
geométricos que representam as soluções
dessas equações.
a)
zero
b)
/4
c)
/2
d)

e)
3/2
52 - (UNIFICADO RJ)
Um complexo z possui módulo igual a 2 e
c)
32 i
d)
-32 i
e)
nenhuma das anteriores
argumento  . Sendo z o conjugado de z, a
3
forma algébrica do complexo z é:
a)
1 i 3
b)
3 i
c)
3 i
d)
1 3i
e)
2

3 i
56 - (USP SP)
Seja z o produto dos números complexos
3 i
e 3 (1  3i) . Então o módulo e o argumento de
2
z são, respectivamente:

a)
4 e 30º
b)
12 e 80º
6 e 90º
c)
d)
6 e 90º
53 - (INTEGRADO RJ)
Considere u = 2 + 2i e v = 2 – 2i. Então, u28 . v–27
é igual a:
a)
2 – 2i
b)
-2 + 2i
c)
2 + 2i
d)
–2 –2i
e)
57 - (FAMECA SP)
Sabendo que z, 1 , 1 – z tem módulos iguais,
z
então z será:
a)
1  3 i ou 1  3 i
2
2
2
2
b)
1  3 i ou 1  3 i
4
2
4
2
c)
1  3 i ou 1  3 i
6
2
6
2
d)
1  6 i ou 1  6 i
2
2
2
2
–i
54 - (INTEGRADO RJ)
Seja o complexo z = .(cos + i sen) escrito na
forma trigonométrica. Então z.z é:
a)
3
b)
2(cos2 - i sen2)
c)

d)
2(cos2 + i sen2)
e)
cos2  + I sen2
58 - (OSEC SP)
Dado o complexo z = 4 – 3i, o módulo de z é:
2+
a)
1
7
b)
c)
5
d)
7
e)
n.d.a
55 - (UNIMEP RJ)
O valor de (1 + i)10 onde i é a unidade
imaginária, é:
a)
64 i
b)
128 i
59 - (USP SP)
O argumento principal do número complexo z = -i
é:
28) Gab: B
29) Gab: C
30) Gab: A
31) Gab: A
32) Gab: B
33) Gab: D
a)
0
b)
/4
34) Gab: |a| =  1 35) Gab: B
5
36) Gab: D
c)
/2
37) Gab: E
38) Gab: D
39) Gab: A
d)

40) Gab: D
41) Gab: n = 12
e)
3/2
42) Gab: z = 6 + 4i
43) Gab:
60 - (FEI SP)
a)
Achar o módulo e o ângulo polar (argumento) do
3
número complexo z  1 i .
1 i
3
1
3
1
α  0 e α   α  e α 
4
2
4
2
b)
GABARITO:
1) Gab: D
2) Gab: E
3) Gab: B
4) Gab: C
5) Gab: B
6) Gab: A
7) Gab: z1 = 3 + 2i e z2 = -3 + 2i
8) Gab: B
9) Gab: C
10) Gab: C
11) Gab:
a)
44) Gab: B’= 1 Gab: E
3i
45) Gab: D
46)
47) Gab:
(0, 1), (0, -1),



3 1
, ,
2 2 



3 1 
,
,
2 2 
  3 , 1  ,   3 , 1  ;
 2 2  2 2 

 

- 3
a)
e
b)
2 3
+i
48) Gab:
b)
Os coeficientes, nesta ordem, k, 0, 0, 0, 0, 0,
k, com k  C*.
12) Gab: A
13) Gab: C
14) Gab: A
15) Gab: A
16) Gab: B
17) Gab: D
18) Gab: C
19) Gab: B
20) Gab: C
21) Gab: A
22) Gab: D
23) Gab: D
24) Gab: A
25) Gab: D
26) Gab: B

3 1  3 1 


27) Gab: a) S  0; i;
 i;
 i
2
2
2
2




b)
a)
as soluções são respectivamente, S1 {(x, y)
 R²  x² + y² = 4} e S2 {(x, y)  R²  x = 0 ou
y = 0}
b)
os pontos comuns são: (0, 2), (0, -2), (2, 0) e
(-2, 0)
49) Gab: E
50) Gab: B
51) Gab: E
52) Gab: A
53) Gab: A
54) Gab: C
55) Gab: C
56) Gab: D
57) Gab: A
58) Gab: C
59) Gab: E
60) Gab: |z| = 1; arg(z) = 3
2