Teoria e Aplicações - Prof. Anderson Dias Gonçalves

Matemática
Teoria e Aplicações
Anderson Dias Gonçalves
2007
ii
TODOS OS DIREITOS RESERVADOS – Este material didático foi
desenvolvido única e exclusivamente para o uso nas aulas de Matemática
ministradas pelo Prof. Anderson Dias Gonçalves.
A autorização para a utilização deste material por outros professores deverá
ser concedida pelo autor.
Contato: [email protected]
Copyright© Anderson Dias Gonçalves 2007.
iii
O AUTOR
Anderson Dias Gonçalves
Licenciado em Matemática pelo Centro Universitário de Formiga – UNINFOR,
pós-graduado em Matemática e Estatística pela UFLA, pós-graduado em
Ensino da Matemática pelo UNINFOR, mestre em Matemática pela
Universidade Vale do Rio Verde.
Professor do Instituto Superior de Ensino J. Andrade, Faculdade de Ciências
Econômicas, Administrativas e Contábeis de Divinópolis-FACED e Instituto
Nossa Senhora do Sagrado Coração – INSSC.
iv
PROCESSOS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
MÉTODO “EPEO”
E
ntender o problema -- “Entrar no problema”.
•
•
•
•
•
•
•
Ver o que se pede
Relacionar as incógnitas
Identificar as informações e as condições dadas no problema e distinguir o que
não é necessário. Ver se falta qualquer informação. A informação que falta é um
fato de conhecimento geral?
Esboçar um gráfico ou traçar um diagrama da situação.
Formular uma descrição verbal da relação entre todas as grandezas.
Atribuir notação adequada às quantidades dadas e às incógnitas.
Formular uma estimativa do que pensa que será a solução final.
um Método para a Solução. -- "Pensar, antes de
Planejar
agir”.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Realçar seu gráfico ou diagrama, conforme se afigure adequado.
Achar a fórmula que descreve a situação.
Decidir se a tecnologia pode auxiliar no todo ou em parte da solução.
Construir uma tabela.
Examinar problemas análogos para ver se suas técnicas de resolução são
aplicáveis.
Procurar um padrão.
Trabalhar em caminho inverso.
Começar com um caso especial ou mais simples, a fim de ter uma idéia de como
abordar o problema.
Introduzir uma relação entre os dados e as incógnitas.
Separar o problema em partes que não interceptam e resolver cada caso
individualmente.
Executar o plano de resolução. "Trabalhar com segurança”.
•
•
Manter o registro preciso de seu trabalho, fazer todos os cálculos necessários de
acordo com o plano e escrever todos os detalhes.
Verificar cada etapa de sua solução e conferir o resultado final. (Se utilizar uma
tabela para resolver o problema, procure conferir s solução analiticamente. Se
escolher o processo analítico verifique por um processo gráfico.).
O
rigem do problema. -- "Cheque Mate”.
•
•
Sua solução dá a resposta à questão original?
Sua solução tem sentido à vista da situação original?
•
•
Há uma forma mais simples de resolver o problema?
Pode utilizar essa técnica ou esse resultado em outro problema?
v
COMO ESTUDAR MATEMÁTICA?
1) Estudando Matemática: No estudo da Matemática, o material aprendido em
um dia se baseia em material estudado anteriormente. É preciso manter-se
atualizado com o curso, dia-a-dia.
2) Fazendo um Plano: Faça seu próprio plano de curso agora! Determine o
número de horas semanais a serem dedicadas ao estudo da Matemática. Uma
boa orientação consiste em estudar de duas a quatro horas para cada hora de
aula.
3) Assimilando o Material:
• Antes de assistir à aula, leia a parte do texto que o professor está usando
em seu curso, que será abordado naquela aula, dando especial atenção às
definições, aos teoremas, fórmulas e resumos. Comparecendo à aula
preparado, o estudante se beneficiará muito mais com a apresentação do
professor.
• Assista a todas as aulas e não chegue atrasado. Se tiver de faltar a uma
aula, recorra às notas de um colega ou procure a monitoria (caso exista).
Procure aprender o assunto lecionado na aula a que faltou antes de assistir
à próxima aula.
• Tome nota da aula, com ênfase as sugestões e indicações do professor
sobre o material importante. Em seguida, após a aula, logo que possível,
leia as notas, acrescentando as explicações necessárias para tornar as
notas compreensíveis.
4) Trabalho em Casa: Aprender Matemática equivale a adquirir qualquer outra
habilidade. A prática sob a forma de exercícios para casa, é indispensável para
desenvolver a compreensão. Fazendo o trabalho em casa enquanto os
conceitos estão frescos em sua memória, o leitor aumentará as chances de
reter informações.
5) Escolhendo um Companheiro de Estudo: Ao encontrar dificuldades em
um problema, é conveniente trabalhar em conjunto com um colega. O trabalho
em grupo é uma técnica eficiente de estudo. Mesmo no caso de o estudante
estar mais dando auxílio do que recebendo, verificará que ensinar os outros é
uma excelente maneira de melhorar a compreensão dos conceitos
Matemáticos.
6)Fazendo uma Biblioteca de Matemática: Forme uma biblioteca que possa
servir para o curso que você está fazendo e para cursos futuros. Mesmo após
terminar o curso, é aconselhável conservar este livro, que poderá ser útil não
só em classes futuras, mas também como preparo para exames de pósgraduação, concursos, etc. Os manuais de software e tecnologia constituem
acréscimos valiosos à sua biblioteca de Matemática.
vi
7) Manter-se Atualizado com o Trabalho: Não se deixe ficar par trás no
curso. Se tiver tendo dificuldade, procure ajuda imediatamente. Procure o
professor ou seu assistente, recorra ao serviço de monitoria, converse com seu
colega, apele para outros recursos de estudo - faça alguma coisa. A dificuldade
em um capítulo de seu livro ou apostila muito provavelmente se refletirá no
estudo de capítulos subseqüentes.
8) Confira seu Trabalho: Saber conferir seu trabalho constitui uma parte
importante do aprendizado de Matemática e é particularmente útil para testar
situações. Uma maneira de verificar seu trabalho é perguntar: "Minha resposta
tem sentido? "ou "Está é a resposta que eu esperava obter? ", no contexto de
um problema específico. Com este processo simplesmente, o estudante poderá
se sua resposta tem, ou não, o sinal correto (positivo ou negativo) ou a
grandeza correta. Outras formas de verificar seu trabalho são estudar em grupo
e comparar as respostas, utilizar tecnologia ou um método diferente de
resolução.
9) Estudando para a Prova: Se o estudante manteve em dia com o trabalho e
seguiu as sugestões dadas aqui, está quase pronto para a prova. Para auxiliálo no preparo final, reveja o Resumo do Capítulo, faça os Exercícios de
Revisão. Para a prática adicional em certas áreas, o estudante sempre pode
refazer os exercícios para casa ou os exercícios que não foram marcados.
Analise seu trabalho para detectar possíveis erros.
10) Fazendo a Prova: A maioria dos Professores recomenda que não se
estude até o momento de enfrentar a prova, pois isto pode tornar o estudante
ansioso. O melhor remédio para controlar a ansiedade durante as provas é um
bom preparo. Iniciando o teste, leia cuidadosamente a orientação e procure
trabalhar metodicamente. A presa faz com que o estudante cometa erros ou
descuido. Lembre-se também de que não há regra que mande resolver os
problemas na ordem em que eles são dados. O estudante deverá escolher a
ordem que lhe parecer mais conveniente. Em geral, fazer o primeiro os que se
afiguram mais fáceis reforçará sua confiança. Se terminar cedo, gaste alguns
minutos para conferir sua prova.
11) Aprendendo com os Erros: Quando o estudante recebe de volta sua
prova, deve analisar os erros cometidos. Se não compreender determinada
correção, procure o professor ou fale com um colega. Entender os erros
cometidos evitará sua repetição.
Tenha um bom curso, e lembre-se: "Você pode, você consegue e você
merece.”
Dúvidas, críticas e sugestõesÆ é
1
: [email protected]
2
Capítulo 1
CONJUNTOS
A matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não
só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e
poupar trabalho aos homens.
Renné Descartes
1.1 INTRODUÇÃO
Introduziremos nesse capítulo a linguagem de Conjuntos que será utilizada
sistematicamente nos capítulos posteriores. Todo o estudo sobre funções está solidificado sobre a
teoria dos conjuntos.
Por esta razão vamos dar uma atenção especial na linguagem utilizada para
representação e operações de Conjuntos.
1.2 CONJUNTOS
A noção de conjunto é a mais simples e fundamental da Matemática, pois a partir dela
podemos expressar todos os conceitos matemáticos.
Um conjunto (ou coleção) é formado de objetos, chamados os seus elementos. A relação
básica entre um objeto e um conjunto é a relação de pertinência. Quando um objeto x é um dos
elementos que compõem o conjunto A , dizemos que x pertence a A e escrevemos: 1
x∈ A
Se, porém x não é um dos elementos do conjunto A , dizemos que x não pertence a A e
escrevemos:
x∉ A
Um conjunto A fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra
que permita decidir se um objeto arbitrário x pertence ou não a A .
Podemos definir Conjuntos de diversas maneiras, entre elas:
•
Por extensão. Por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e separados por
vírgula ou ponto-e-vírgula.
A = {1,3,5}
•
Por compreensão. Atribuindo uma característica comum a todos os seus elementos.
•
Através de Diagramas (diagrama de Venn).
B = { x / x é um número ímpar menor que sete}
•1
•3
•5
1
Curso de Análise – Elon Lages Lima
8
Matemática Aplicada
1.2.1
- Principais Conjuntos Numéricos
O conjunto dos números naturais 1,2,3,... será representado pelo símbolo N . Portanto
temos:
N = {1,2,3,...}
O conjunto dos números inteiros (positivos, negativos e zero) será representado pelo
símbolo Z . Assim temos:
Z = {..., −3,−2,−1,0,1,2,3,...}
O conjunto Q , dos números racionais, é formado pelas frações
p
, onde p e q pertencem
q
a Z , sendo q ≠ 0 . Em símbolos temos:
⎫
⎧p
Q = ⎨ / p ∈ Z , q ∈ Z , q ≠ 0⎬
⎭
⎩q
Os números racionais podem ser representados dos seguintes modos:
1 - Decimal finito:
7
= 1,75
4
2 - Decimal infinito
1
= 0,3333....
3
No segundo modo temos as chamadas dízimas periódicas. Números racionais que
expressos na forma de decimal resultam em números com casas decimais infinitas.
Efetuar a divisão e encontrar dízimas periódicas não há dificuldades; porém fazer a
operação inversa requer um pouco mais de trabalho. A fração que dá origem a uma dízima
periódica recebe o nome de fração geratriz. Veja os exemplos abaixo:
Exemplo1. Encontre a fração geratriz da dízima 0,555... .
Seja x = 0,555... então x é uma fração geratriz na forma
p
. Algebricamente podemos realizar
q
sem perda de generalidade algumas operações com x . Vejamos:
x = 0,555... (multiplicando os dois termos por 10)
10 x = 5,555 ... (podemos separar a parte inteira, da parte decimal)
10 x = 5 + 0,555 ... (sabemos que x = 0,555... )
10 x = 5 + x
10 x − x = 5
9x = 5 → x =
5
9
A fração geratriz da dízima periódica 0,555... é
5
.
9
9
Capítulo 1 – Conjuntos
Uma dízima periódica possui períodos, podendo ser simples ou composto. Veja o exemplo
abaixo com os principais elementos de uma dízima.
Exemplo 2. Seja o número 3,4565656 ... . Temos o seguinte:
3 : representa a parte inteira da dízima (I);
4 : representa o anti-período da dízima, ou seja, a parte que não se repete aos a vírgula (A);
56 : representa a parte periódica composta da dízima, nesse caso, período dois (2). No exemplo
1 o período da dízima é simples (1).
Vamos encontrar a fração geratriz da dízima 3,4565656 ... . De forma análoga ao exemplo 1,
temos:
x = 3,4565656 ... (multiplicando por 10 os dois termos)
10 x = 34,565656 ... (I) (multiplicando por 100 os dois termos)
1000 x = 3456,5656 ... (II) (vamos agora resolver o sistema linear formado por (I) e (II))
⎧1000 x = 3456,5656...( II )
(subtraindo II de I)
⎨
⎩ 10 x = 34,5656...( I )
990x = 3422
3422 1711
que é a fração geratriz da dízima 3,4565656 ...
x=
=
990
495
Regra prática para encontrar a fração geratriz
IAP − IA
999...00..
(1)
onde:
I : parte inteira da dízima periódica;
A :anti-período da dízima periódica;
P :parte periódica da dízima;
999... : um(1) nove para cada período;
00... : um(1) zero para cada ante-período.
Exemplo 3. Encontre a fração geratriz da dízima dada por 3,4565656 ...
I =3
A=4
P = 56
Aplicando a fórmula (1) temos:
IAP − IA 3456 − 56 3422 1711
=
=
=
999...00..
990
990
495
Assim como existem números decimais que podem ser transformados em fração, com
numerador e denominador inteiros, há os que não admitem tal representação.
O número cuja representação não pode ser transformada em uma fração é um número
irracional, e seu conjunto é representado por Ι .
Veja alguns exemplos:
•
•
O número 0,21211211 1.... não é uma dízima periódica, pois os algarismos depois da
vírgula não se repetem.
Os números
2 = 1,4142136 ... ,
3 = 1,7320508 ... e π = 3,141592 ... , por não
apresentarem representação infinita periódica, também são números irracionais.
10 Matemática Aplicada
Os conjuntos numéricos N , Z e Q cumprem as relações de inclusão N ⊂ Z e Z ⊂ Q .
Abreviadamente, temos N ⊂ Z ⊂ Q .
1.2.1.1 – O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS.
O conjunto formado pelos números racionais (Q ) e irracionais (Ι ) é chamado de conjunto
dos números reais, e é representado por R . Em outras palavras podemos dizer que:
R = Q∪Ι
Podemos representar o conjunto dos Reais em uma reta que chamamos Reta Real, veja a
figura abaixo. Nela podemos representar todo e qualquer número real.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Complete com ∈ ou ∉
a) − 7 ___ N
c)
1
___ Ι
2
b) 2 ___ Q
9
___ Q
4
− 64 ___ R
d)
e) 0,16666 .... ___ Q
f)
g) 3,232 ___ Q
h)
3
− 27 ___ Z
2) Determine, por extensão, os seguintes conjuntos:
a) {x ∈ N / 1 ≤ x ≤ 4}
b) {x ∈ Z / − 3 < x ≤ 3}
c) {x ∈ Z / 0 ≤ x < 5}
d) {x ∈ N / x ≤ −3}
e) {x ∈ Z / 0 ≤ x < 4}
3) Encontre as frações geratrizes para cada uma das dízimas abaixo.
2,4333 ...
0,144 ...
31,5343434 ...
0,2919191. ..
3,4676767 ...
a
4) Seja
a fração geratriz da dízima 1,363636 ... . Qual a dízima periódica equivalente à fração
b
b
?
a
a)
b)
c)
d)
e)
11
Capítulo 1 – Conjuntos
1.3 – SUBCONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B , dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento
de A é também elemento de B . Para indicar este fato, usa-se a notação 2
A⊂ B
Quando A ⊂ B , diz-se também que A é parte de B , que A está incluído em B , ou
contido em B . A relação A ⊂ B chama-se relação de inclusão.
A relação de inclusão A ⊂ B é
Reflexiva - A ⊂ B , seja qual for o conjunto A;
Anti-simétrica – se A ⊂ B e B ⊂ A , então A = B ;
Transitiva – se A ⊂ B e B ⊂ C , então A ⊂ C .
1.4 - OPERAÇÃO ENTRE CONJUNTOS
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto, designado por A ∪ B , formado por todos os
elementos que pertencem a A ou B . Em outras palavras:
A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplo 4. Sejam os conjuntos A = {1,2,3,5} e B = {3,4,5,7} , então A ∪ B = {1,2,3,4,5 ,7} .
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto designado por A ∩ B , formado pelos
elementos comuns a A e B . Assim, afirmar que x ∈ A ∩ B significa dizer que se tem, ao mesmo
tempo, x ∈ A e x ∈ B . Em outras palavras:
A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B}
Exemplo 5. Sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B = {2,3,4,5,6 } então A ∩ B = {2,3} .
Quando a interseção entre os conjuntos A e B é um conjunto vazio, ou seja, A ∩ B = {
, A e B é chamado de conjuntos disjuntos.
}
Exemplo 6. Sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B = {4,5,6} então A ∩ B = {} .
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto A − B , formado pelos elementos de A
que não pertencem a B . Em outras palavras:
A − B = {x / x ∈ A e x ∉ B}
Exemplo 7. Sejam os conjuntos A = {1,2,3,6,7 } e B = {2,3,4,5,6 } então A − B = {1,7} .
Quando se tem B ⊂ A , a diferença A − B chama-se complementar de B em relação à
A , e escreve-se:
A − B = CAB
Exemplo 8. Sejam os conjuntos A = {1,2,3,5,7 ,9} e B = {3,5,9} então A − B = C A B = {1,2,9} .
2
Curso de Análise – Elon Lages Lima
12 Matemática Aplicada
1.5 – NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO
Se A é um conjunto finito, designamos por n ( A) o número de elementos de A . Por
exemplo, se A = {0,1,5} , então n( A) = 3 .
Para determinar o número de elementos da reunião de dois conjuntos A e B dividimos o
problema em dois casos:
1º caso: Os conjuntos A e B são disjuntos. Neste caso, é claro que:
n( AUB ) = n( A) + n( B )
2º caso: Os conjuntos A e B não são disjuntos. Neste caso, quando somamos n ( A) com n ( B )
contamos os elementos de A ∩ B duas vezes. Portanto:
n( AUB ) = n( A) + n( B ) − n( A ∩ B )
3º caso: Os conjuntos A , B e C não são disjuntos. Neste caso, quando somamos n ( A) , n ( B ) e
n(C ) temos:
n( AUB ∪ C ) = n( A) + n( B ) + n(C ) − n( A ∩ B ) − n( A ∩ C ) − n( B ∩ C ) + ( A ∩ B ∩ C )
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
5) Sejam A = {1,2,3,4} e B = {2,3,5,7} . Determine:
a)
b)
c)
d)
A∪ B
A∩ B
A− B
B− A
6) Sejam A = {0,1,2,3,5} e B = {1,2,3,4} . Determine:
a)
b)
c)
d)
n( A ∪ B )
n( A ∩ B )
n( A − B )
n( B − A)
7) Numa pesquisa sobre preferência de detergentes realizada numa população de 100 pessoas,
constatou-se que 62 consomem o produto A; 47 consomem o produto B e 10 pessoas não
consomem nem A nem B. Pergunta-se: quantas pessoas dessa população consomem tanto o
produto A quanto o produto B?
8) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte
(E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses
programas.
Programas
Telespectadores
E
400
N
1220
H
1080
EeN
220
EeH
180
NeH
800
E, N e H
100
Nenhum
x
Capítulo 1 – Conjuntos
13
1.6 – INTERVALOS
Chamamos de intervalo a determinados subconjuntos dos números reais. Assim, dados
dois números reais a e b , com a < b , temos:
1 - Intervalo aberto: (a, b ) = {x ∈ R / a < x < b}
2 - Intervalo fechado: [a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}
3 - Intervalo semi-aberto à direita: (a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}
4 - Intervalo semi-aberto à esquerda: [a, b) = {x ∈ R / a ≤ x < b}
5 - Intervalos infinitos
( a,+∞ ) = {x ∈ R / x > a}
[a,+∞ ) = {x ∈ R / x ≥ a}
( −∞ , a ) = {x ∈ R / x < a}
( −∞ , a ] = { x ∈ R / x ≤ a}
Observação: ( −∞ ,+∞ ) = R
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
9) Se A = {x ∈ R / 2 ≤ x < 5} e B = {x ∈ R / 3 ≤ x < 8}, determine A ∩ B A ∪ B e A − B .
10) Se A = {x ∈ R / − 2 ≤ x ≤ 0} e B = {x ∈ R / 2 ≤ x < 3} , determine A ∩ B A ∪ B e A − B .
11) Determine A ∩ B A ∪ B e A − B quando:
a) A = {x ∈ R / 0 < x < 3} e B = {x ∈ R / 1 < x < 5}
b) A = {x ∈ R / − 4 < x ≤ 1} e B = {x ∈ R / 2 ≤ x ≤ 3}
c) A = {x ∈ R / − 2 ≤ x < 2} e B = {x ∈ R / x ≤ 0}
12) Determine em termos de desigualdades os seguintes intervalos:
a) ]− 10,5[
b) [3,6]
c) [0,9]
d) [− 4,8[
e) ]− 5,+∞[
Capítulo 2
FUNÇÕES
Para Tales...a questão primordial não era o que sabemos, mas como
sabemos.
Aristóteles
2.1 INTRODUÇÃO
Nesse capítulo, você notará como muitas situações práticas nas áreas de administração,
economia e ciências contábeis podem ser representadas por funções matemáticas. Nas análises
iniciais dessas funções, serão ressaltados conceitos como conceito de função, valor de uma
função, domínio de uma função, operações com funções e representação gráfica, sempre
associada a aplicações nas áreas administrativas, econômica e contábil.
O conceito de função é verdadeiramente fundamental em matemática. No linguajar do
dia-a-dia dizemos “o comportamento do mercado de ações é uma função da confiança do
consumidor” ou “a pressão arterial do paciente é uma função dos medicamentos que lhe foram
prescritos”. Em cada caso, a palavra função expressa a idéia de que o conhecimento de um fato
nos informa de outro fato. Em matemática, as funções mais importantes são tais que, conhecendo
um número, obtemos outro número.
A parte da Matemática moderna gira em torno dos conceitos de função, limite, cálculo
diferencial e integral, e ocupa lugar de destaque em vários eixos temáticos dela, bem como em
outras áreas de conhecimento.
2.2 CONCEITO DE FUNÇÃO
Referência Histórica: Leonhard Euler (1707-1783), médico, teólogo, astrônomo e
matemático suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura e
Aplicada, com destaque para a Análise - estudo dos processos infinitos - desenvolvendo a
idéia de função. Foi o responsável também pela adoção do símbolo f (x ) para representar
uma função de x . Hoje, função é uma das idéias essenciais em Matemática.
Um fabricante gostaria de saber como o lucro de sua empresa está relacionado com o
nível de produção; um biólogo gostaria de saber como o tamanho da uma população de certa
cultura de bactérias mudará ao longo do tempo; um psicólogo gostaria de conhecer a relação
entre o tempo de aprendizado de um indivíduo e o tamanho do seu vocabulário; e u químico
gostaria de saber como a velocidade inicial de uma reação química está relacionada à quantidade
de substrato utilizada. Em cada uma dessas situações estamos preocupados com a mesma
questão; como uma quantidade depende da outra? A relação entre duas quantidades é
convenientemente descrita em matemática pelo uso do conceito de função.
Uma função é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um único elemento de
um conjunto B.
Definição: Uma função f : A → B consta de três partes: um conjunto A , chamado de
domínio da função (ou conjunto onde a função é definida), um conjunto B , chamado de
contradomínio da função, ou o conjunto onde a função toma valores, e uma regra que permite
associar, de modo bem determinado, a cada elemento x ∈ A , um único elemento y = f ( x ) ∈ B ,
chamado o valor que a função assume em x .
15
Capítulo 2 – Funções
Exemplo 1 - Um exemplo de função é dado pela conhecida relação entre a área de um círculo e
seu raio. Denotando por x e y o raio e a área de um círculo, respectivamente, sabemos da
geometria elementar que:
y = πx 2
Essa equação define y como uma função de x , já que a cada valor admissível de x (isto é, a
cada número não-negativo representando o raio de certo círculo) corresponde precisamente a um
número y = πx 2 que fornece a área do círculo. A regra definindo está “função área” pode ser
escrita como:
f ( x ) = πx 2
Para calcular a área de um círculo de raio 5 cm , simplesmente substituímos x na função acima
pelo número 5. Assim, a área do círculo é dada por:
f (5) = π 5 2 = 25π cm 2
De modo geral, para calcularmos uma função num valor específico de x , substituímos x por tal
valor.
Exemplo 2 - Considere a função f definida pela regra f ( x) = 2 x 2 − x + 1 . Calcule:
a) f (1)
f (1) = 2(1) 2 − (1) + 1 = 2 − 1 + 1 = 2
b) f ( a + h)
f (a + h) = 2(a + h) 2 − (a + h) + 1 = 2(a 2 + 2ah + h 2 ) − a − h + 1 = 2a 2 + 4ah + 2h 2 − a − h + 1
2.2.1
– Determinando o domínio de uma função
Suponhamos que nos é dada a função y = f ( x ) . Então a variável x é chamada de
variável independente. A variável y , cujo valor depende de x , é chamada de variável
dependente.
Para determinarmos o domínio de uma função, precisamos encontrar quais restrições
devem ser colocadas sobre a variável independente x , caso existam.
Em geral, se uma função é definida por uma regra relacionando x a f ( x ) sem menção
explícita de seu domínio, entende-se que o domínio consistirá em todos os valores de x para os
quais f ( x ) é um número real. Como relação a isso, você deve ter em mente que (1) divisão por
zero não é permitida e (2) a raiz quadrada (ou de ordem par) de um número negativo não está
definida.
Exemplo 3 – Determine o domínio de cada uma das funções abaixo.
a) f ( x ) = x − 1
Como a raiz quadrada de um número negativo não está definida no conjunto dos números reais,
temos a restrição de que x − 1 ≥ 0 , resolvendo a desigualdade encontramos x ≥ 1 . Logo, o
domínio de f é o intervalo [1, ∞ ) , ou ainda, D = {x ∈ R / x ≥ 1} .
16 Matemática Aplicada
b) f ( x ) =
1
x −4
2
A única restrição em x é que x 2 − 4 seja diferente de zero, uma vez que a divisão por zero não é
permitida. Dessa forma temos que:
x2 − 4 ≠ 0
x≠ 4
x2 ≠ 4
x ≠ ±2
Logo, domínio de f , nesse caso, consiste em todos os números reais diferentes de 2 e − 2 , ou
seja, D = {x ∈ R / x ≠ ±2} .
c) f ( x) = x 2 − 3
Nesse exemplo, qualquer número real satisfaz a equação, e, portanto o domínio de f é o conjunto
dos números reais, ou seja, D = R
3. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Referência Histórica: Ao desenvolver o plano cartesiano, no início do século XVII, René
Descartes revolucionou a maneira de encarar a matemática. Anteriormente a Descartes, a
álgebra e a geometria constituíam ramos separados da matemática, com a pequena
superposição. Introduzindo as coordenadas na geometria, Descartes abriu aos matemáticos a
possibilidade de resolver problemas algebricamente e graficamente. Nos anos de 1980, a
introdução de instrumentos gráficos de fácil manejo, acarretou outra revolução na forma de
estudar matemática. Com esta nova tecnologia, podemos estabelecer a analisar modelos
matemáticos de forma muito mais simples do que anteriormente.
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares (ângulo
reto) entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo Ox ) e o
eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo Oy ). Associando a cada um dos eixos o conjunto de
todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal. Cada ponto P = ( a , b) do plano
cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e
a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.
Quadrante I
Quadrante II
1
Origem
1
Quadrante III
Quadrante IV
FIG. 2.1 O plano cartesiano
17
Capítulo 2 – Funções
3.1 MARCANDO OS PONTOS NO PLANO CARTESIANO
A beleza do sistema cartesiano reside no fato de permitir visualizar relações entre duas
variáveis. Para marcar os pontos no plano, procedemos da seguinte maneira:
Seja o ponto P = (3,4) , o número 3 é a coordenada da abscissa, ou seja deve ser
marcada no eixo x , já o número 4 é a coordenada da ordenada e deve ser marcado no eixo y ;
imagine se você pudesse traçar uma reta perpendicular a cada um dos eixos nos pontos
marcados, teríamos a seguinte figura.
P=(3,4)
4
1
1
3
FIG. 2.2 Marcação de pontos.
3.2 GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO
Se f é uma função com domínio A , então cada número real x de A está associado
precisamente um número real f ( x ) . Podemos também expressar este fato utilizando pares
ordenados de número reais. Desta forma obtemos um par ordenado ( x, f ( x )) para cada x em A .
Como pares ordenados de números reais correspondem a pontos no plano, encontramos assim
uma maneira de exibir uma função graficamente.
GRÁFICO DE UMA
FUNÇÃO DE UMA
VARIÁVEL
O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos ( x, y ) n plano
cartesiano xy tal que x está no domínio de f e y = f ( x )
A figura abaixo nos mostra o gráfico de uma função. Observe que o domínio de f é o conjunto
dos números reais do eixo x , enquanto a imagem f se encontra sobre o eixo y .
FIG 2.3 O gráfico de f
18 Matemática Aplicada
3.2.1 Representação gráfica de uma função
Vamos agora construir gráficos de funções determinadas por leis de formação y = f ( x )
em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Para construir o gráfico de uma função
dada por y = f ( x ) , com x ∈ D , no plano cartesiano, devemos:
•
•
•
Construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente em D e com valores
correspondentes para y = f ( x ) ;
A cada par ordenado ( x, y ) da tabela associar um ponto no plano cartesiano;
Marcar um número suficiente de pontos, até que se tenha uma idéia do gráfico da função
(esboço do gráfico).
Exemplo 4 – Construa o gráfico da função dada por f ( x ) = 2 x + 1 .
Inicialmente escolhemos alguns números aleatórios no domínio da função dada para colocarmos
na tabela. Como nesse caso temos como domínio o conjunto dos números reais, podemos
escolher qualquer um. Veja a tabela abaixo.
x
-2
-1
0
1
2
y = f ( x) = 2 x + 1
f ( − 2 ) = 2 ( − 2) + 1 = − 3
f ( −1) = 2( −1) + 1 = −1
f ( 0 ) = 2( 0 ) + 1 = 1
f (1) = 2(1) + 1 = 3
f ( 2 ) = 2 ( 2) + 1 = 5
Pontos
(−2,−3)
( −1,−1)
(0,1)
(1,3)
( 2,5)
Agora, colocamos no plano cartesiano os pares ordenados encontrados na tabela acima. Desta
forma, temos um esboço do gráfico da função dada por f ( x ) = 2 x + 1 .
FIG 2.4 – Pontos no plano cartesiano
Com base nos pontos plotados do gráfico acima que tipo de gráfico seria mais adequado para a
representação desses pontos?
Vemos que a melhor aproximação para esse conjunto de pontos é uma reta. Veja a figura 2.5.
19
Capítulo 2 – Funções
FIG 2.5 O gráfico de f ( x ) = 2 x + 1
Exemplo 5 – Construa o gráfico da função dada por f ( x) = x 2 − 2 x − 3
x
Pontos
y = f ( x) = x 2 − 2 x − 3
-2
f (−2) = (−2) 2 − 2(−2) − 3 = 5
( −2,5)
-1
f (−1) = (−1) 2 − 2(−1) − 3 = 0
( −1,0)
0
f (0) = (0) − 2(0) − 3 = −3
(0,−3)
1
f (1) = (1) 2 − 2(1) − 3 = −4
(1,−4)
2
f (2) = (2) 2 − 2(2) − 3 = −3
( 2,−3)
3
f (3) = (3) 2 − 2(3) − 3 = 0
(3,0)
4
f (4) = ( 4) 2 − 2(4) − 3 = 5
(3,5)
2
FIG 2.6 – Pontos no plano cartesiano
Com base nos pontos plotados do gráfico acima que tipo de gráfico seria mais adequado para a
representação desses pontos?
Vemos que a melhor aproximação para esse conjunto de pontos é uma parábola. Veja a figura
2.7.
20 Matemática Aplicada
FIG 2.7 O gráfico de f ( x) = x 2 − 2 x − 3
EXERCICIOS PROPOSTOS
1) Seja f definida por f ( x ) =
x +1
.
x
a) Determine o domínio de f
b) Calcule f (3)
c) Calcule f ( a + h)
2) Calcule o domínio de cada uma das funções abaixo
x +1
2x − 8
10 x + 3
c) f ( x ) = 2
x −9
b) f ( x) =
a) f ( x ) =
d) f ( x ) =
3
x−5
e) f ( x) = x 2 − 10 x + 4
x+4
3) Seja f : R * → R uma função definida por f ( x ) = x +
2
.
x
⎛1⎞
⎝ 2⎠
c) Calcule f ( K + 1)
b) Calcule f ⎜ ⎟
a) Calcule f (3)
4) Sejam as funções definidas por f ( x ) = 2 x − 3 e g ( x ) = 3 x + a . Determine o valor de a
sabendo que f ( 2) + g ( 2) = 8 .
5) Marque no plano cartesiano os pontos abaixo
a) (3,1)
b) (5,5)
c) ( −2,6)
d) (0,4)
e) ( −3,0)
6) O gráfico de uma função f é mostrado na figura abaixo. Com base nessa figura responda:
a) Qual o valor aproximado de f (5) ? E o valor de f ( − 1) ?
b) Qual o domínio de f ?
c) Qual a imagem de f ?
21
Capítulo 2 – Funções
7) Seja f a função definida por f ( x ) = 5 x + 6 . Calcule f (3) , f ( −3) , f ( − a ) e f ( a + 3) .
⎧ − x2
⎪
+ 3, se x > 1
8) Seja f a função definida por f ( x) = ⎨ 2
, calcule f ( −1) , f (0) , f (1) e f ( 2) .
2
⎪⎩ 2 x + 1, se x ≤ 1
9) Considere o gráfico da função f mostrado na figura a seguir:
a) Determine o valor de f (0) .
b) Determine os valores de x para os quais (i ) f ( x ) = 4 e (ii ) f ( x ) = 0
c) Determine o domínio de f .
d) Determine a imagem de f .
10) Seja a função f definida pela regra f ( x) = x 2 − x − 6 .
a) Determine o domínio de f
1
2
b) Calcule f ( x ) para x = −3,−2,−1,0, ,1,2,3
c) Use os resultados obtidos em (a) e (b) para esboçar o gráfico de f .
Capítulo 3
FUNÇÃO LINEAR
Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que
não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo
real.
Lobachevsky
3.1 INTRODUÇÃO
Nesse capítulo, você analisará as funções constantes, linear e suas aplicações estudando
conceitos como taxa de variação; função receita, custo, lucro, demanda, oferta e break-even point
(ponto de equilíbrio). Você estudará também diferentes maneiras de obter e interpretar
graficamente a função linear e a obtenção de uma equação linear que passa por dois pontos.
3.2 MODELOS LINEARES
Analisaremos agora as funções lineares (1º grau); estas representam um dos tipos de
funções mais simples e de grande utilização.
Função Linear
No exemplo a seguir, a tabela traz o custo para a produção de camisetas.
Quantidade (q)
Custo (R$)
0
5
10
20
50 100
100 110 120 140 200 300
Notamos que, quando há um aumento de 5 unidades produzidas, o custo aumenta
R$10,00 ; se há um aumento de 10 unidades, o custo aumenta em R$20,00 . Concluímos que
uma variação na variável independente gera uma variação proporcional na variável dependente. É
isso o que caracteriza uma função linear.
Para um maior entendimento da função linear desse exemplo, podemos calcular a taxa de
variação média, ou simplesmente taxa de variação da variável dependente, C , em relação à
variável independente, q , pela razão:
m = inclinação =
Variação vertical
variação em C 110 − 100 10
=
=
=
=2
Variação horizontal variação em q
5−0
5
m=
120 − 110 10
=
=2
10 − 5
5
Nesse exemplo, a razão m = 2 dá o acréscimo no custo correspondente ao acréscimo de
1 unidade na quantidade.
Notamos ainda que, mesmo se não forem produzidas camisetas, haverá um custo fixo de
R$100,00 . Tal custo pode ser atribuído à manutenção das instalações, impostos, despesas com
pessoal etc.
De modo geral, podemos dizer que a função custo é obtida pela soma de uma parte
variável, o Custo Variável, com uma parte fixa, o Custo Fixo. Em outras palavras temos:
C = C F + CV
Para nosso exemplo, podemos modelar a função custo pela relação:
C ( q ) = 2q + 100
23
Capítulo 3 – Função Linear
O gráfico da função linear é uma reta, onde m = 2 nos dá a inclinação da reta e termo
independente 100 representa o ponto em que a reta intersecta o eixo vertical ( y ) .Observe o
gráfico abaixo.
C =2q+100
C
200
variação em C =60
140
va riação em q=3 0
100
20
50
q
FIG 3.1 Produção de camisetas
Dada a função custo para a produção das camisetas, vamos analisar agora a função
Receita obtida com a comercialização das unidades.
Para um produto, a receita R é dada pela multiplicação do preço unitário, p , pela
quantidade, q , comercializada, ou seja, R = p.q .
Supondo por exemplo que o preço para a comercialização de cada camiseta seja de
R$7,00 , obtemos a função Receita, que é dada por:
R (q ) = 7q
O gráfico para essa função é uma reta que passa pela origem dos eixos coordenados. Veja o
gráfico abaixo.
R=7q
R
280
variação em R=210
70
variação em q=30
10
40
q
FIG 3.2 Função Receita
Das funções Custo e Receita é natural que passemos a questionar sobre o a função
Lucro. De modo geral, podemos expressar a função Lucro fazendo "Receita menos Custo", ou
seja:
Lucro = Receita - Custo
Para nosso exemplo, se chamarmos L o lucro e supondo que as quantidades produzidas
de camisetas são as mesmas comercializadas, então temos:
24 Matemática Aplicada
L = R−C
L(q ) = 7 q − (2q + 100)
L(q ) = 5q − 100
Nesse caso, notamos que a função Lucro também é uma função linear, cujo gráfico é uma reta de
inclinação m = 5 e que corta o eixo da vertical em -100. Veja o gráfico abaixo.
L =5 q -1 0 0
L
10 0
20
40
q
-1 0 0
FIG 3.3 Função Lucro
Podemos observar pelo gráfico que a reta que corta o eixo horizontal em q = 20 . Na verdade,
podemos obter facilmente esse valor fazendo L ( q ) = 0 , ou seja:
L(q) = 0
5q − 100 = 0
5q = 100
q = 20
Podemos fazer a seguinte análise:
• se q < 20 , temos lucro negativo
• se q > 20 , temos lucro positivo
Na verdade, podemos obter a quantidade que resulta em lucro zero fazendo Receita=Custo, ou
seja,
L(q) = 0
R(q ) − C (q ) = 0
R(q ) = C (q )
Graficamente, o ponto em que a receita é igual ao custo é chamado de break-even pointi
(ponto de equilíbrio) e é dado pelo encontro das curvas que representam a Receita e o Custo. Em
nosso exemplo, é dado pelo encontro das retas R (q ) = 7 q e C ( q ) = 2 q + 100 . A interpretação do
break-even point é mostrado nos gráficos abaixo.
25
Capítulo 3 – Função Linear
R,C
R=7q
C=2q+100
140
b reak -even point
100
20
q
L
L=5q-100
0
20
q
-100
FIG 3.4 Ponto de Equilíbrio
Como podemos observar, a função linear pode ser útil para representar o custo, a receita e o lucro
na comercialização de um determinado produto.
3.3 INCLINAÇÃO E TAXA DE VARIAÇÃO
Vamos utilizar o símbolo Δ (a letra grega delta maiúscula) para indicar “variação em”, onde
Δx significa variação em x e Δy variação em y .
A inclinação de uma função linear y = f ( x ) pode ser calculada a partir de valores da
função em dois pontos, x1 e x 2 , por meio da seguinte fórmula:
m = inclinação =
Variação vertical
Δy f ( x 2 ) − f ( x1 )
=
=
Variação horizontal Δx
x 2 − x1
f ( x 2 ) − f ( x1 )
é chamada de quociente das diferenças, pois isto é exatamente o
x 2 − x1
Δy
que ela é. Como a inclinação =
, a inclinação representa a taxa de variação de y em relação a
Δx
x . As unidades da inclinação são as unidades de y divididas pelas unidades de x .
A quantidade
FIG 3.5 Coeficiente de inclinação
26 Matemática Aplicada
3.4 FUNÇÃO LINEAR GERAL
Uma função linear é dada por:
y = f ( x ) = mx + b
Seu gráfico é uma reta tal que:
•
•
m é a inclinação ou taxa de variação, ou ainda coeficiente angular;
b é chamado de coeficiente linear que é a interseção da reta com o eixo vertical, ou o valor
de y quando x é zero;
Graficamente m , dá a inclinação da reta que representa a função.
Como já foi dito, m no dá a taxa de variação da função, que representa se a função está
crescendo ou decrescendo e, graficamente, m representa a inclinação da reta, sendo mais ou
menos inclinada positiva ou negativamente.
Se m > 0 , temos uma taxa de variação positiva, logo a função é crescente e a reta será inclinada
positivamente e, quanto maior for o valor de m , maior será o crescimento de y a cada aumento
de x , tendo a reta maior inclinação positiva.
Se m < 0 , temos uma taxa de variação negativa, logo a função é decrescente e a reta será
inclinada negativamente.
3.5 OBTENÇÃO DE UMA FUNÇÃO LINEAR
Trabalhando com fenômenos que permitem a representação do modelo matemático por
meio de uma função linear, é importante a obtenção correta da expressão que representa tal
função. Em outras palavras, se pudermos representar o modelo por meio de uma expressão do
tipo y = mx + b , é importante obtermos de maneira correta os parâmetros m e b .
Para a obtenção de m (coeficiente de inclinação), devemos estar atentos para as
informações que dizem respeito às taxa de variação, ou seja, qual a variação da variável
dependente em relação à variável dependente, assim podemos utilizar a equação:
m=
Δy
Δx
Para a obtenção do valor de b , utilizaremos um valor de x , seu correspondente y e o valor de
m obtido anteriormente, substituindo tais valores em y = mx + b , desta forma obteremos o valor
de b .
Exemplo 1: Um operário tem seu salário dado por um valor fixo mais uma parte variável que é
diretamente proporcional ao número de horas extras trabalhadas. Sabe-se que em um mês em
que são feitas 12 horas extras, o salário é de R$ 840,00, e que em um mês em que são feitas 20
horas extras, o salário é de R$1000,00. Obtenha a relação que dá o salário em função das horas
extras.
Solução:
Pelo enunciado, a função pode ser obtida pela expressão y = mx + b , onde y representa o
salário e x o número de horas extras, então teremos as correspondências:
x = 12 → y = 840
x = 20 → y = 1000
27
Capítulo 3 – Função Linear
Obteremos o coeficiente de inclinação da seguinte maneira:
m=
Δy 1000 − 840 160
=
=
= 20
20 − 12
8
Δx
Para encontrarmos o valor de b substituiremos o valor de m = 20 na equação y = mx + b e um
dos pares de x e y dados, como por exemplo, ( x; y ) = (12;840) , desta forma temos o seguinte:
y = 20 x + b
840 = 20(12) + b
b = 600
Assim, a função do salário é dada por y = f ( x ) = 20 x + 600 .
Exemplo 2: Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos e (5,30) e (15,10).
Solução:
Pelo enunciado, a função pode ser obtida pela expressão y = mx + b . Obteremos o coeficiente de
inclinação da seguinte maneira:
m=
Δy 10 − 30 − 20
=
=
= −2
10
Δx 15 − 5
Para encontrarmos o valor de b substituiremos o valor de m = −2 na equação y = mx + b e um
dos pares de x e y dados, como por exemplo, ( x; y ) = (5;30) , desta forma temos o seguinte:
y = −2 x + b
30 = −2(5) + b
b = 40
Assim, a função do salário é dada por y = f ( x ) = −2 x + 40 .
3.6 RETAS PARALELAS E RETAS PERPENDICULARES
O coeficiente de inclinação de uma reta constitui um recurso conveniente para determinar
se duas retas são paralelas ou perpendiculares.
1. Duas retas distintas não-verticais são paralelas se e somente se seus coeficientes angulares
são iguais, ou seja,
m1 = m2
2. Duas retas distintas não-verticais são perpendiculares se e somente se o produto de seus
coeficientes angulares for igual a -1, ou seja,
m1 .m2 = −1
Exemplo 3: Determine a equação de reta que passa pelo ponto ( 2;−1) e é:
a) Paralela à reta 2 x − 3 y = 5 ;
b) Perpendicular à reta 2 x − 3 y = 5 ;
Solução:
Inicialmente, vamos colocar a equação linear da forma reduzida.
−3 y = −2 x + 5 (-1)
28 Matemática Aplicada
3 y = 2x − 5
2
5
y = x−
3
3
Assim, temos que m =
2
.
3
a) A equação de reta tem de passar pelo ponto ( 2;−1) e ser paralela à equação y =
2
5
x − que
3
3
2
. Pela definição acima, vemos que duas retas são paralelas se e somente se,
3
apresentarem o mesmo coeficiente de inclinação. Desta forma a reta que passa pelo ponto ( 2;−1)
2
também deve ter o coeficiente de inclinação igual à . Assim, temos o seguinte:
3
y = mx + b
apresenta m =
y=
2
x+b
3
Substituindo o ponto ( 2;−1) , na equação acima encontramos o valor de b .
2
x+b
3
2
− 1 = ( 2) + b
3
7
b=−
3
y=
2
7
x − é a equação de reta que passa pelo ponto ( 2;−1) e é paralela à
3
3
equação de 2 x − 3 y = 5 .
Logo, temos que y =
b) Agora queremos encontrar uma reta que passe pelo ponto ( 2;−1) , porém que seja
2
, e ainda, duas retas
3
são perpendiculares se seus coeficientes quando multiplicados resulta em − 1 .
2
m1 . = −1
3
3
m1 = −
2
A equação da reta que passa pelo ponto ( 2;−1) e é perpendicular à reta de equação 2 x − 3 y = 5
3
apresenta m = − . Sendo assim temos:
2
perpendicular à equação de reta dada por 2 x − 3 y = 5 . Sabemos que m =
y=−
3
x+b
2
Substituindo o ponto ( 2;−1) , na equação acima encontramos o valor de b .
y=−
3
x+b
2
Capítulo 3 – Função Linear
29
3
( −1) = − (2) + b
2
b=2
3
x + 2 é a equação de reta que passa pelo ponto ( 2;−1) e é
2
perpendicular à equação de 2 x − 3 y = 5 .
Logo, temos que y = −
3.6 INTERSECÇÕES DE RETAS
Finalmente, lembramos que, quando trabalhamos simultaneamente com duas ou mais
funções lineares, podemos investigar se tais funções têm valores em comum, ou seja, se há
encontro das retas que representam as funções.
Uma aplicação comum em administração, economia e contábeis, que envolve os pontos de
intersecção, é a análise do ponto de equilíbrio (break-even point). O lançamento de um novo
produto exige tipicamente um investimento especial. Uma vez vendido um número suficiente de
unidades, de modo que a receita total passe a superar a custo total, a venda do produto atinge
seu ponto de equilíbrio. O custo total da produção de x unidades é representado por C e a
receita total da venda de x unidades do produto é representada por R . Podemos então achar o
ponto de equilíbrio igualando o custo C à receita R ,(como já foi mostrado anteriormente) e
resolvendo a equação em função de x . Matematicamente, isso significa dizer que estamos
resolvendo um sistema de equação linear.
Para investigação dos pontos comuns de duas retas diferentes, basta resolvermos o
sistema formado por elas, ou seja, resolver o sistema:
⎧ y = m1 x + b1
S=⎨
⎩ y = m 2 x + b2
Observações:
Se S tiver apenas uma solução, notamos que as retas se encontram em um único ponto comum,
dizemos que tal sistema é possível e determinado;
Se S não tiver solução, notamos que as retas não se interceptam, ou seja, são paralelas e
dizemos que o sistema é impossível.
FIG 3.6 Interpretação gráfica da solução de um sistema.
30 Matemática Aplicada
Exemplo 4: Encontre os pontos de intersecção (se houver) das funções y = − x + 2 e y = 2 x − 1
Existem várias maneiras de se resolver um sistema linear de duas equações (comparação,
substituição, soma, escalonamento e determinante), porém, utilizaremos aqui o método da
comparação.
⎧y = −x + 2
⎨
⎩ y = 2x − 1
Na primeira equação temos que y = − x + 2 e na segunda y = 2 x − 1 , como y = y , então:
− x + 2 = 2x − 1
− x − 2 x = −1 − 2
− 3x = −3 (-1)
3x = 3
x =1
Se x = 1 , substituindo em qualquer uma das equações (na primeira, por exemplo) temos:
y = −1 + 2 = 1 , logo a solução para esse sistema é S = (1,1) .
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Em um posto de combustível, o preço da gasolina é de R $2,60 por litro.
a) Determine uma expressão que relacione o valor pago (V ) em função da quantidade de litros
( q ) abastecidos por consumidor.
b) Supondo que o tanque de combustível de um carro comporte 50 litros, esboce o gráfico da
função obtida no item anterior.
2) Um vendedor de planos de saúde recebe de salário R$300,00 , mais uma comissão de R $5,00
por plano vendido.
a) Determine uma expressão que relacione o salário total ( S ) em função da quantidade de planos
( x ) vendidos.
b) Sabendo que seu salário em um mês foi de R$1550 ,00 , qual foi a quantidade de planos
vendidos?
c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a).
3) O valor inicial de um carro é R$20.000,00 , e a cada ano esse valor é depreciado em
R$1.250,00 .
a) Determine uma expressão que relacione o valor do carro em função do número de anos
passados após a compra.
b) Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial?
c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a).
4) O custo de um produto é calculado pela fórmula C ( q ) = 10 + 20 q , na qual indica o custo (em
reais) e q , a quantidade produzida (em unidade).
a) Construa o gráfico da função C ( q ) .
b) Observando no gráfico, qual seria o custo para a produção de 9 unidades do produto?
5) Um fabricante vende um produto por R $0,80 a unidade. O custo do produto consiste numa taxa
fixa de R $40,00 mais o custo de produção de R $0,30 por unidade.
a) Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem prejuízo?
31
Capítulo 3 – Função Linear
b) Se vender 200 unidades desse produto, o comerciante terá lucro ou prejuízo? De quanto será o
lucro ou prejuízo?
6) Observe o gráfico abaixo. Qual a função linear deu origem a este gráfico?
7) Um produto, quando comercializado, apresenta as funções Custo e Receita dada,
respectivamente, por C ( q ) = 2q + 36 e R ( q ) = 5q , onde q é a quantidade comercializada que se
supõe ser a mesma para o custo e receita.
a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de custo e receita. Determine também e
indique no gráfico o break - even point.
b) Obtenha a função Lucro, L, esboce o seu gráfico e determine as quantidades necessárias para
que o lucro seja negativo, nulo e positivo.
8) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto dado e é paralela à reta dada e perpendicular
à reta dada. Faça o gráfico das três equações no mesmo sistema de eixos coordenados.
a) ( −3,2) e x + y = 7
c) ( 2,1) e 4 x − 2 y = 3
b) ( −6,4) e 3 x + 4 y = 7
d) (1,1) e − 2 x + 3 y = −3
9) Encontre se possível, em cada caso, o ponto de encontro de cada uma das retas abaixo.
a) 2 x + y = 10 e 3 x − 2 y = 1
b) 2 x + 3 y = 10 e 4 x − y = −1
10) Um industrial fabrica um produto ao custo de R $0,65 por unidade e vende-o a R $1,20 por
unidade. O investimento inicial para fabricar o produto foi de R$10.000,00 . Quantas unidades o
industrial deve vender para atingir o ponto de equilíbrio?
11) Encontre os pontos de intersecção (se houver) das funções.
a) 2 x − 3 y = 13 e 5 x + 3 y = 1
b) x + y = 7 e 3 x − 2 y = 11
12) Uma empresa de telefonia cobra uma taxa de R $25,00 mais R $0,05 por minuto. Obtenha uma
fórmula para o pagamento mensal P , em reais, como função do número de minutos, m , de uso
do telefone.
Capítulo 4
FUNÇÃO QUADRÁTICA
As leis da natureza nada mais são que pensamentos
matemáticos de Deus.
Kepler
4.1 INTRODUÇÃO
Nesse capítulo, você estudará situações práticas envolvendo as funções quadráticas (do
segundo grau) a partir da construção e análise de seu gráfico. No esboço gráfico da função
quadrática, será dada atenção especial para a construção da parábola. Você notará que as
coordenadas do vértice são úteis para determinação de valores máximos e mínimos e intervalos
de crescimento (ou decrescimento) das funções associadas.
4.2 UM MODELO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA
Algumas situações práticas podem ser representadas pelas funções polinomiais do
segundo grau, chamadas simplesmente de funções do segundo grau. Uma dessas situações é a
obtenção da função receita quando consideramos o preço e a quantidade comercializada de um
produto.
Sabemos que a receita R é dada pela relação:
R = p.q
em que p representa o preço unitário e q a quantidade comercializada do produto. Por exemplo,
se o preço dos sapatos de uma determinada marca variar de acordo com a relação:
p = −2q + 200
podemos estabelecer a receita para a venda de sapatos pela expressão:
R = p.q
R = (−2q + 200).q
R(q ) = −2q 2 + 200q
Para uma melhor visualização dessa situação, vamos traçar um gráfico a partir de uma tabela com
algumas quantidades de sapatos vendidos e receitas correspondentes:
Receita para a venda de pares de sapatos
Quantidade(q)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Receita($)
0 1800 3200 4200 4800 5000 4800 4200 3200 1800
0
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
20
40
60
80
FIG 4.1 Receita para a venda de sapatos.
100
33
Capítulo 4 – Função Quadrática
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
20
40
60
80
100
FIG 4.2 – Parábola para as vendas de sapatos
Nessa parábola, convém observar alguns aspectos interessantes associados à função:
R(q ) = −2q 2 + 200q
•
•
•
•
A concavidade está voltada para baixo, pois o coeficiente do termo − 2q 2 é negativo.
O ponto em que a curva corta o eixo R é obtido fazendo q = 0 .
R (0) = −2(0) 2 + 200(0) = 0
Os pontos em que a curva corta o eixo q , ou seja, as raízes da função são obtidos
fazendo R ( q ) = 0 .
R (q ) = −2q 2 + 200q = 0
q = 0 ou q = 100
O vértice V = (50,5000 ) da parábola em que q v = 50 é a média aritmética das raízes e
Rv = 5000 é a receita correspondente.
•
Especificamente para essa função quadrática (do 2° grau), o vértice é importante, pois nos
dá a quantidade q v = 50 que deve ser comercializada para que a receita seja máxima
Rv = 5000 .
4.3 CARACTERIZAÇÃO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Uma função quadrática é dada por:
y = f ( x) = ax 2 + bx + c , com a ≠ 0
Para a obtenção do gráfico, conhecido como parábola, devemos observar e seguir os passos
abaixo:
•
O coeficiente determina se a concavidade é voltada para cima ( a > 0) ou para baixo
( a < 0) :
34 Matemática Aplicada
a>0
a<0
y
y
FIG 4.3 Parábola para cima
FIG 4.4 Parábola para cima
•
O termo independente c dá o ponto em que a parábola corta o eixo y e pode ser obtido
fazendo x = 0 ;
• Se existirem, os pontos em que a parábola corta o eixo x são dados pelas raízes da
função y = f ( x) = ax 2 + bx + c e podem ser obtidos fazendo y = 0 ;
• Para tal resolução dessa equação, utilizaremos a fórmula resolutiva de uma equação do 2°
grau, (também conhecida por muitos como fórmula de Báskara):
Vamos mostrar como se origina essa fórmula:
Sabemos que para encontrarmos as raízes temos que fazer y = 0 , ou seja, encontrar os valores
de x tal que f ( x ) = 0 :
f ( x) = ax 2 + bx + c = 0
ax 2 + bx + c = 0
ax 2 + bx = − c (vamos dividir todos os membros por a )
b
c
x 2 + x = − (vamos agora transformar o 1º membro em um quadrado perfeito)
a
a
2
2
2
b
c ⎛ b ⎞
⎛ b ⎞
⎛ b ⎞
x + ⎜ ⎟ = − + ⎜ ⎟ (adicionando ⎜ ⎟ nos dois termos não altera o valor da
a
a ⎝ 2a ⎠
⎝ 2a ⎠
⎝ 2a ⎠
equação e ainda conseguimos um quadrado perfeito no 1º membro)
x2 +
2
2
2
b ⎞
c ⎛ b ⎞
b ⎞
c b2
⎛
⎛
⎜x+
⎟ = − +⎜ ⎟ → ⎜x+
⎟ =− + 2
a ⎝ 2a ⎠
2a ⎠
2a ⎠
a 4a
⎝
⎝
b ⎞
b 2 − 4ac
⎛
(extraindo a raiz quadrada de ambos os termos)
⎜x+
⎟ =
2a ⎠
4a 2
⎝
2
b ⎞
b 2 − 4ac
b ⎞
⎛
⎛
→ ⎜x+
⎜x+
⎟ =
⎟=
2
2a ⎠
4a
2a ⎠
⎝
⎝
2
x=
b
b 2 − 4ac
b 2 − 4ac
±
→ x=−
2a
2a
2a
− b ± b 2 − 4ac
, se chamarmos de Δ = b 2 − 4ac podemos reescrever essa equação:
2a
35
Capítulo 4 – Função Quadrática
x=
•
•
−b+ Δ
−b− Δ
−b± Δ
, onde temos as raízes: x1 =
e x2 =
.
2a
2a
2a
O número de raízes, ou pontos em que a parábola corta o eixo x , depende do
discriminante (Δ ) , em resumo temos:
Δ = 0 A função possui apenas uma raiz real (a parábola intercepta o eixo x em apenas um
ponto):
y
FIG. 4.5 Função com apenas uma raiz real.
•
Δ > 0 A função possui duas raízes reais (a parábola intercepta o eixo x em dois
pontos):
y
FIG. 4.6 Função com duas raízes reais distintas
•
Δ < 0 A função não possui nenhuma raiz real (a parábola não intercepta o eixo x ):
y
FIG. 4.7 Função sem raiz real
Observação: As três parábolas mostradas nas figuras acima estão indicadas como sendo a > 0 ,
caso, tivéssemos a < 0 , as parábolas estariam com a concavidade voltada para baixo.
36 Matemática Aplicada
4.3.1 Vértice da parábola de uma função quadrática.
O vértice de uma parábola é o ponto onde ela muda de sentido. Veja a figura abaixo:
FIG. 4.8 Vértice de uma parábola
Coordenadas do vértice de uma parábola é dado por: x v =
−b
−Δ
e yv =
, e assim temos que o
2a
4a
⎛−b −Δ⎞
;
⎟.
⎝ 2a 4a ⎠
vértice é o ponto V = ⎜
4.3.2 Principais pontos de uma parábola.
FIG. 4.9 Principais pontos de uma parábola
Como já vimos anteriormente, para a construção e estudo de uma parábola é necessário
encontrar os principais pontos de uma parábola. No gráfico acima, estão listados esses pontos.
4.4 IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA -- VALOR MÁXIMO E VALOR MÍNIMO
A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite
determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo e mínimo. Veja o exemplo:
Encontre a imagem da função dada por f ( x) = 2 x 2 − 8 x .
Inicialmente, vamos encontrar o vértice da função. O vértice determina se o ponto é mínimo ou
máximo, em função do valor de “ a ”, e a partir daí podemos encontrar a imagem de f ( x ) .
37
Capítulo 4 – Função Quadrática
xv =
− Δ − (b − 4ac) − [(−8) − 4(2)(0)]
− b − (−8) 8
=
=
= −8
=
= = 2 e yv =
4a
4a
4(2)
2a
2(2)
4
2
2
Daí segue que V = ( 2,−8) . Desta forma se fizermos o esboço do gráfico da função f ( x ) termos a
seguinte figura:
FIG. 4.10 Imagem de uma função
Neste caso podemos observar facilmente que o mínimo da função é − 8 , e segue-se que a
imagem é dada por:
Im( f ) = {y ∈ R / y ≥ −8}
De forma geral, seja f : R → R , onde f ( x) = ax 2 + bx + c com a ≠ 0 e vértice igual a
V = ( xv , y v ) , então a sua imagem é dada por:
•
•
a > 0 → yv é o valor mínimo da função, então Im( f ) = {y ∈ R / y ≥ yv }
a < 0 → yv é o valor máximo da função, então Im( f ) = {y ∈ R / y ≤ yv }
4.5 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
O crescimento de uma função quadrática depende do valor do coeficiente "a" da função
f : R → R , definida por y = f ( x) = ax 2 + bx + c com a ≠ 0 . Para descobrirmos em qual intervalo a
função é crescente e ou decrescente, devemos analisar os valores em x (domínio), para assim
estabelecermos o intervalo de crescimento e ou decrescimento da função, observe as figuras
abaixo.
38 Matemática Aplicada
1º Caso: a > 0
FIG. 4.11 Crescimento e Decrescimento.
2º Caso: a < 0
FIG. 4.12 Crescimento e Decrescimento
Observações:
No 1° caso a função f é decrescente na intervalo (−∞ , xv ) e crescente no intervalo ( xv ,+∞ ) .
No 2° caso a função f é crescente no intervalo (−∞ , xv ) e decrescente no intervalo ( xv ,+∞ ) .
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Faça o estudo completo de cada uma das funções abaixo.
a) f ( x) = x 2 − 3 x − 4
b) f ( x) = −3 x 2 + 2 x + 1
c) f ( x) = x 2 + 4 x + 4
d) f ( x) = x 2 + 4 x + 4
2) Em certa plantação de feijão, a produção P, de feijão depende da quantidade q , de fertilizante
utilizada, e tal dependência pode ser expressa por P (q ) = −3q 2 + 90q + 525 . Considerando nessa
lavoura a produção medida em Kg e a quantidade de fertilizante em g/m² , faça um esboço do
gráfico, comente os significados dos principais pontos, determine a quantidade de fertilizante para
que a produção seja máxima, bem como a produção máxima.
3) Um vendedor anotou as vendas de um eletrodoméstico nos 21 dias em que trabalhou na seção
de utilidades de uma loja de departamentos e notou que o número de aparelhos vendidos, dados
por N , em um função do número de dias, dado por t , pode ser obtido por N (t ) = 0,25t 2 − 4t + 16 .
Diante dessa situação, esboce o gráfico da função salientando os principais pontos e seus
significados.
Capítulo 4 – Função Quadrática
39
4) Em um ano, o valor v , de uma ação negociada na bolsa de valores, no decorrer dos meses,
indicados por t , é dado pela expressão v(t ) = 2t 2 − 10t + 60 . Sabendo que o valor da ação é dado
em reais (R$), faça um esboço do gráfico, comente o significado dos principais pontos e determine
a variação percentual da ação após um ano.
5) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto é dado por
C ( x) = x 2 − 80 x + 3000 . Nessas condições, calcule:
a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo;
b) o valor mínimo do custo;
6) Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R − C , em que L é o lucro
total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades,
verificou-se que R ( x) = 6000 x − x 2 e C ( x) = x 2 − 2000 x . Nessas condições, qual deve ser a
produção x para que o lucro da empresa seja máximo?
7) Para um determinado produto comercializado, a receita e o custo são dados, respectivamente,
por R (q ) = −2q 2 + 1000q e C ( q ) = 200 q + 35000 . Obtenha então:
a) Os gráficos da receita e custo do produto comercializado.
b) Os intervalos de crescimento e decrescimento da função receita, a quantidade para que a
receita seja máxima e a receita máxima.
c) Os break-even points e seu significado.
d) As regiões em que o lucro é positivo e em que o lucro é negativo.
e) A função lucro e o seu gráfico.
f) A quantidade pra que o lucro seja máximo e o lucro máximo correspondente.
8) O número N, de apólices vendidas por um vendedor de seguros pode ser modelado pela
expressão N (t ) = − t 2 + 14t + 32 , onde representa o mês da venda.
a) Esboce o gráfico dessa função a partir de uma tabela com o número de apólices vendidas para
os dez primeiros meses de vendas.
b) De acordo com os dados obtidos anteriormente, em que mês foi vendido o máximo número de
apólices e qual o número máximo vendido?
c) Qual a média de apólice vendidas por mês para os cinco primeiros meses? E para os dez
primeiros meses?
9) Para cada item a seguir, esboce o gráfico a partir da concavidade, dos pontos em que a
parábola cruza os eixos e o vértice.
a) y = x 2 − 4 x − 5
b) y = x 2 − 8 x + 16
c) y = −3 x 2 + 6 x + 9
d) y = − x 2 + 4 x − 6
10) Para a comercialização de relógios,um lojista nota que a receita é dada por
R (q ) = 3q 2 + 120q e o custo é dado por C (q) = 2q 2 + 20q + 375 .
a) Esboce o gráfico da receita e custo sobre o mesmo sistema de eixos coordenados.
b) Determine os break-even points.
c) Indique no gráfico do item anterior as quantidades para as quais o lucro é positivo.
d) Obtenha a função lucro e esboce o gráfico, indicando os principais pontos.
e) Qual a quantidade de relógios a ser comercializada para que o lucro seja máximo? Qual o lucro
máximo?
f) Para quais quantidades comercializadas o lucro é positivo?
_
Capítulo 5
FUNÇÃO EXPONENCIAL
A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de
raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, então, na
pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida.
Jacques Bernoulli
5.1 INTRODUÇÃO
Nesse capítulo, você analisará as funções exponenciais obtendo-as a partir do fator
multiplicativo. Você estudará aplicações da função exponencial como montante de uma dívida ou
aplicação, juros compostos, o crescimento populacional, entre outros. Você estudará também
diferentes maneiras de obter e interpretar a função exponencial.
5.2 POTÊNCIA
Consideremos a seguinte situação:
Ao lançarmos uma moeda, temos dois resultados possíveis: cara ou coroa. Se lançarmos duas
moedas diferentes, por exemplo, uma de R$ 0,10 e outra de R$ 0,50, teremos quatro
possibilidades diferentes: (cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara) ou (coroa, coroa). Se lançarmos
três moedas diferentes, serão oito resultados possíveis. E assim por diante.
Então, a relação entre o número de moedas e o número de resultados é mostrada na tabela
abaixo:
Número de Moedas
1
2
3
4
5
Número de resultados
2
4
8
16
32
⋮
⋮
Tabela 5.1 – Lançamento de moedas
Vemos através da tabela que: 4 = 22 ; 4=2²; " a " ; e assim por diante. Essa situação ilustra a
operação de potenciação que iremos recordar nesse capítulo.
5.2.1 Potência de um expoente racional
Seja " a " um número real positivo. Para todo n ∈ N , a potência a n , de base a e expoente
n é definida como produto de n fatores iguais a " a " . Para n = 1 , como não há produto de um só
fator, põe-se a1 = a , por definição.
De modo geral, para quaisquer m, n ∈ N * , tem-se:
a m .a n = a m + n
Essa propriedade continua válida para um número qualquer de fatores. Para m1 , m2 ,..., m p
quaisquer pertencentes a N * , temos:
a m1 .a m2 .....a
mp
=a
m1 + m2 + ...+ m p
Convenção: a 0 = 1
41
Capítulo 5 – Função Exponencial
5.2.2 Propriedades de potência de um número real
As propriedades mostradas abaixo não serão demonstradas devido a finalidade do curso,
porém o estudante que quiser fazê-las, terá como base a equação a m .a n = a m + n
Sendo a e b reais e m e n racionais, valem as seguintes propriedades:
[1] a m .a n = a m + n
am
= a m− n
n
a
n
[3] ( a.b ) = a n .b n
[2]
n
an
⎛a⎞
[4] ⎜ ⎟ = n
b
⎝b⎠
( )
[5] a m
n
⎛a⎞
[6] ⎜ ⎟
⎝b⎠
−n
[7] ( a )
= a m.n
⎛b⎞
=⎜ ⎟
⎝a⎠
1
= n
a
−n
1
[8] a n =
n
n
a , ∀a ∈ R *
n
a m , ∀a ∈ R *
m
[9] a n =
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Calcule as potências
a) ( −2 )
⎛ 3⎞
b) ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
3
3
⎛ −5 ⎞
c) ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
3
1
d) ( 9 ) 2
5
⎛ 1⎞
e) ⎜ − ⎟
⎝ 2⎠
f) 7 4.73
g) 58 : 55 5⁸:5⁵
−1
2
⎡
⎛ 1⎞ ⎤
⎢4−⎜− ⎟ ⎥
⎝ 2⎠ ⎥ .
2) Calcule o valor de y = ⎢
⎢ ⎛ 3 ⎞2 ⎥
⎢3+ ⎜ − ⎟ ⎥
⎣ ⎝ 2⎠ ⎦
42 Matemática Aplicada
3) Sabendo que 2 x + 2− x = 5 , calcule o valor de 4 x + 4− x .
4) Simplifique as expressões abaixo.
a)
3x + 2 − 3x +1
3x
b)
5x −3 − 5x + 5x − 2
5 x −1
5.3 MODELOS DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Estudaremos nesta secção problemas e situações práticas que envolvem modelos
exponenciais. Vamos considerar uma pessoa que toma emprestada a quantia de R$10.000, 00 e
cujo montante da dívida seja corrigido a uma taxa de juros de 5% que incide mês a mês sobre o
montante do mês anterior. Podemos determinar tal montante utilizando um fator multiplicativo:
•
Após o 1º mês:
M(1)=Valor inicial+5% do valor inicial
5
M(1)=10.000+
.10.000
100
M(1)=10.000+0,05.10.000
M(1)=10.000(1+0,05)
M(1)=10.000(1,05)
M(1)=10.500
Notamos por esses passos que, se quisermos aumentar em 5% uma quantia, basta
multiplicá-la pelo fator 1, 05 . Chamaremos esse fator de aumento de fator multiplicativo. Para
determinação do montante após dois meses de maneira análoga aos passos anteriores,
ressaltaremos o aparecimento do fator multiplicativo. Desta maneira temos:
•
Após o 2º mês:
M(2)=Montante após o 1° mês+5% do Montante após o 1° mês
M(2)=M(1)+5%M(1)
M(2)=10.500+5%.10.500
M(2)=10.500+0,05.10.500
M(2)=10.500(1+0,05)
M(2)=10.500(1,05)
Mas por outro, temos que M (1) = 10.500 = 10.000(1, 05) , então segue que:
M(2)=10.000(1,05).(1,05)
M(2)=10.000(1,05)²
Após três meses, representando o montante por M (3) temos que:
M(3)=10.000(1,05)³
43
Capítulo 5 – Função Exponencial
Para o cálculo dos montantes mês a mês, utilizamos o fator multiplicativo incidindo no
montante do mês anterior, porém podemos simplificar ainda mais tais cálculos e obter o montante
de qualquer mês sem, no entanto recorrer ao mês anterior. Na verdade, é possível obter o
montante em um mês qualquer a partir do valor inicial e do fator multiplicativo se considerarmos
os seguintes raciocínios:
Observemos que o montante de cada mês é calculado multiplicando-se o valor anterior pelo fator
1, 05 , então temos que:
M(1)=10.000(1,05)
M(2)=10.000(1,05)²
M(3)=10.000(1,05)³
M(4)=10.000(1,05)4
De modo geral, podemos escrever o montante para x meses da seguinte forma:
M(x)=10.000(1,05) x
Nesse exemplo temos que o capital inicial (C ) era de R$10.000, 00 e a taxa (i ) era de 5% a.m..
Desta forma podemos reescrever a fórmula acima da seguinte maneira:
i ⎞
⎛
M(x)=C. ⎜ 1+
⎟
⎝ 100 ⎠
x
Montante do exemplo anterior é mostrado na figura abaixo.
70
y
60
50
40
30
20
10
x
10
20
30
40
50
60
70
FIG 5.1 – Montante para R$10.000, 00
Observação: Notamos que tal função é crescente, e isso se deve ao fato de sua base 1,05 ser
um número maior que 1.
Exemplo 1: Outro exemplo de função exponencial é dado quando consideramos uma máquina
cujo valor é depreciado no decorrer do tempo a uma taxa fixa que incide sobre o valor da máquina
no ano anterior. Nessas condições, se o valor inicial da máquina é de R$240.000, 00 e a
depreciação é de 15% ao ano, vamos obter o fator multiplicativo e, na seqüência, a função que
representa o valor no decorrer do tempo.
44 Matemática Aplicada
Solução:
Antes vale considerar que depreciação é a perda (diminuição) no valor do bem, sendo assim, a
cada ano, o bem reduz uma determinada taxa, nesse caso, 15% .
i ⎞
⎛
D(x)=C. ⎜ 1⎟
⎝ 100 ⎠
x
⎛ 15 ⎞
D(x)=240.000. ⎜ 1⎟
⎝ 100 ⎠
D(x)=240.000. ( 0,85 )
x
x
O fator multiplicativo para esse exemplo é 0,85 , e, portanto menor que 1 .
A função D(x)=240.000. ( 0,85 )
x
representa o valor da máquina ao longo do tempo, veja a
figura abaixo que nos mostra a representação gráfica dessa função.
y
80
60
40
20
x
20
40
60
80
FIG 5.2 Depreciação de uma máquina
5.4 CARACTERIZAÇÃO GERAL DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição: uma função exponencial é dada por:
y = f ( x) = b.a x , com a > 0, a ≠ 1 e b ≠ 0 .
O coeficiente b representa o valor da função quando x = 0 e nos dá o ponto em que a curva
corta o eixo y ;
• Se a > 1 , a função é chamada de função crescente;
• Se 0 < a < 1 , a função é chamada de função decrescente.
5.4.1 Gráfico de uma função exponencial
O gráfico de uma função exponencial é uma curva, em que devem ser observadas algumas
particularidades:
•
•
o gráfico nunca corta o eixo das abscissas (Ox), ou seja, a função não tem zeros (raízes);
o gráfico corta o eixo das ordenadas (Oy) no ponto ( 0,1) ;
•
os valores de y são sempre positivos.
45
Capítulo 5 – Função Exponencial
Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é o conjunto dos números reais
positivos. Ou seja:
D( f ) = R
Im( f ) = R+*
Quanto à base da função, devemos considerar dois casos:
1º Caso:
• Base maior que um (a > 1) → f ( x) = a x ;
• A função é crescente;
• D( f ) = R ;
•
Sua imagem são os reais positivos, ou seja, Im( f ) = R+* ;
•
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ f ( x2 ) > f ( x1 ) .
Exemplo 2: Esboce o gráfico da função dada por f ( x) = 2 x (nesse caso a = 2 logo, a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y , obtemos a tabela e
o gráfico abaixo:
x
y
−2
1
4
−1
1
2
0
1
5
1
2
2
4
y
4
3
2
1
x
−3
−2
−1
1
2
3
−1
−2
FIG 5.3 Função Exponencial
2º Caso:
• Base entre zero e um (0 < a < 1) → f ( x) = a x ;
• A função é decrescente;
• D( f ) = R ;
•
Sua imagem são os reais positivos, ou seja, Im( f ) = R+* ;
•
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ f ( x2 ) < f ( x1 ) .
46 Matemática Aplicada
x
1
⎛1⎞
Exemplo 3: Esboce o gráfico da função dada por f ( x) = ⎜ ⎟ (nesse caso a = logo, 0<a<1)
2
⎝ 2⎠
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y , obtemos a tabela e
o gráfico abaixo:
−2
4
x
y
−1
2
0
1
5
1
1
2
2
1
4
y
4
3
2
1
x
−3
−2
−1
1
2
3
−1
−2
FIG 5.4 Função Exponencial
As funções exponenciais são usadas para representar muitos fenômenos nas ciências
naturais e sociais. A base mais comumente usada é o número e = 2, 7182... , número irracional
chamado número de Euler.
A função exponencial f ( x) = e x é chamada de função exponencial natural. Para simplificar
a tipografia, esta função é, algumas vezes, escrita como exp( x) . Assim, por exemplo, você pode
ver a relação e x1 + x2 expressa como exp( x1 + x2 ) = exp( x1 ).exp( x2 )
Esta notação é também usada por recursos computacionais, e é típico acessar a função
e x com alguma variação do comando EXP . Voltaremos a falar de exponencial e x , mas como a
sua inversa que chamaremos de ln( x) .
5.5 LOGARÍTMO
Definição: Dados os números reais positivos a e b , com b ≠ 1 , chamamos de logaritmo de a na
base b , o número real c , que deve ser o expoente de b , para que a potência seja igual ao
número a , ou seja:
log a = c ⇔ a = b c , com a>0, b>0 e b≠1.
b
Neste caso " a " é chamado de logaritmando, " b " é chamado de base e " c " é o logaritmo.
Esses logaritmos são chamados de logaritmos decimais. De modo análogo à base de 10,
ao trabalhar na base e denotamos simplesmente por ln c = x (chamado de logaritmo natural). Em
outras palavras, temos log = ln .
e
Enfatizaremos o logaritmo escrito na base e , também conhecido como logaritmo natural,
pois tal base é comum em muitos fenômenos naturais, bem como em várias aplicações nas áreas
de administração e economia. As calculadoras científicas possuem as teclas log e ln que
47
Capítulo 5 – Função Exponencial
calculam o valor do logaritmo nessas bases. As calculadoras financeiras possuem pelos menos a
tecla ln , que fornece o logaritmo natural, por esse motivo estaremos priorizando essa notação
para o desenvolvimento das propriedades e dos problemas adiante.
Exemplo 4: De acordo com a definição, podemos escrever:
log 2 8 = c ⇔ 2c = 8 ⇒ 2c = 23 ⇒ c = 3
Nesse exemplo vemos que, 2 é a base; 8 o logaritmando ou antilogaritmo e 3 é o
logaritmo. Notamos que respeitadas as condições de existências, podemos escrever logaritmos
em diversas bases, porém as bases mais usadas nos cálculos matemáticos e nos estudos de
fenômenos naturais são a base 10 e a base e .
Quando se trabalha na base 10, denotamos log 10 x simplesmente por log x .
5.5.1 Propriedades dos logaritmos
Na manipulação dos logaritmos, podemos trabalhar com muitas propriedades, entretanto,
conforme proposto, vamos estabelecer apenas as propriedades necessárias para a resolução das
equações que seguem nos problemas envolvendo funções exponenciais. Cabe ainda lembrar que
as propriedades desenvolvidas a seguir são expressas na base e , sendo válidas de forma similar,
para outras bases. No que se segue, temos que a > 0 , b > 0 , e k ∈ R .
[1] ln(a·b) = ln(a ) + ln(b)
⎛a⎞
⎟ = ln(a) - ln(b)
⎝b⎠
[3] ln(a ) k = k .ln(a )
[2] ln ⎜
Exemplo 5: Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a uma taxa de 1,2% a.m. para
triplicar seu valor inicial?
x
i ⎞
⎛
Utilizando a fórmula algébrica para o montante em juros compostos: M ( x) = C ⎜ 1 +
⎟ temos:
⎝ 100 ⎠
Suponha um capital inicial de R$ 100,00. Desta forma segue-se:
n
1,2 ⎞
⎛
300 = 100⎜ 1 +
⎟ Resolvendo essa equação encontramos:
⎝ 100 ⎠
(1,012) n = 3 Aplicando logaritmo natural nos dois membros da equação temos:
ln(1, 012) n = ln(3)
n.ln(1, 012) = ln(3)
ln(3)
n=
ln(1, 012)
n ≅ 92
48 Matemática Aplicada
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Cada uma das funções adiante corresponde à quantidade de uma substância presente no
instante t . Em cada caso, calcule a quantidade presente inicialmente (em t = 0 ), determine se a
função é crescente ou decrescente.
a) f (t ) = 100(1, 07)t
b) f (t ) = 5,3(1, 054)t
c) f (t ) = 3500(0,93)t
d) f (t ) = 12(0,88)t
2) AS funções a seguir descrevem a população de quatro cidades ao longo do tempo t , medido
em anos.
a) P (t ) = 600(1,12)t
b) P (t ) = 1000(1, 03)t
c) P (t ) = 200(1, 08)t
d) P (t ) = 900(0,90)t
i) Que cidade tem maior crescimento? Qual é o percentual?
ii) Que cidade tem maior população inicial? Qual a população?
iii) A população de alguma das cidades está diminuindo? Se algumas estão, quais são?
3) Uma cidade tem população de 1000 pessoas no instante t = 0 . Em cada um dos casos a
seguir, obtenha uma função para descrever a população P , da cidade como em função do tempo
t , em anos.
a) A população cresce em 50 pessoas por ano.
b) A população aumenta 5% ao ano.
4) A economia do mundo tem-se expandido. No ano 2000, o produto mundial bruto (a totalidade
de bens produzidos e de serviços)foi de 45 trilhões de dólares e estava crescendo segundo um
percentual de 4, 7% ao ano. Suponha que esta taxa de crescimento permaneça constante.
a) Encontre uma fórmula para o produto mundial bruto, W (em trilhões de dólares), como uma
função de t , o número de anos a partir de 2000.
b) Qual será o produto mundial bruto em 2010 segundo este modelo?
c) Trace o gráfico de W em função de t .
x
i ⎞
⎛
5) O montante de uma dívida no decorrer de x meses é dado por M(x)=C. ⎜ 1+
⎟ . Sabe-se
⎝ 100 ⎠
que o valor presente de uma dívida é de R$25.000,00 e a taxa de juros ao mês é de 3%.
Determine após quanto tempo o montante será de R$40.000,00.
6) Um carro cujo valor inicial é de R$35.000,00 e cuja depreciação é de 12,5% ao ano. Determine
após quanto tempo o valor do carro é e metade do valor inicial.
7) Seja uma aplicação financeira no valor de R$50.000,00 a uma taxa de juros de 8% ao ano.
a) Calcule o montante após 1, 5 e 10 anos da aplicação inicial.
b) Esboce o gráfico do montante após x anos.
c) Após quanto tempo o montante será de R$80.000,00?
49
Capítulo 5 – Função Exponencial
8) Um automóvel após a compra tem seu valor depreciado a uma taxa de 10% ano. Sabendo que
o valor pode ser expresso por uma função exponencial e que seu valor na compra é de
R$45.000,00:
a) Obtenha o valor V como função dos anos x após a compra do automóvel, isto é, V = f ( x) .
b) Obtenha o valor do automóvel após 1, 5 e 10 anos após a compra.
c) Esboce o gráfico de V(x).
d) Utilizando apenas a base da função, determine a depreciação percentual em 3 anos.
e) Após quanto tempo o valor do automóvel será de R$25.000,00?
9) O preço médio dos componentes de um eletrodoméstico aumenta conforme uma função
exponencial. O preço médio inicial dos componentes é de R$28,50, e a taxa percentual de
aumento é de 4% ao mês.
a) Obtenha o preço médio P como função dos meses t após o montante em que foi calculado o
x
i ⎞
⎛
M(x)=C. ⎜ 1+
⎟
preço médio inicial, isto é,
⎝ 100 ⎠ .
b) Calcule o preço médio dos componentes após 1, 5 e 10 meses do momento em que foi
calculado o preço médio inicial.
c) Esboce o gráfico de P(t).
d) Após quanto tempo o preço médio dos componentes duplicará?
10) Uma cidade no ano de 2000 tinha 1.350.000 habitantes e, a partir de então, sua população
cresce de uma forma exponencial a uma taxa de 1,26% ano.
a) Obtenha a população como função dos anos , isto é, P=f(t).
b) Estime a população da cidade para os anos de 2001, 2003, 2005 e 2010.
c) Esboce o gráfico de P(t).
d) Em que ano a população será de 15.000.000 habitantes?
e) Após quanto tempo a população será duplicará?