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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
CELSO SUCKOW DA FONSECA
COORDENADORIA DE METEOROLOGIA
Professor: Leanderson Marcos da Silva Paiva
Disciplina: Meteorologia Dinâmica Básica I
Carga Horária Semestral: 36 horas
UNIDADE I: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO: FUNÇÕES
1.1 Introdução
Meteorologia é uma ciência exata que envolve conhecimentos físicos específicos
que caracterizam a termohidrodinâmica da atmosfera. Para que os processos físicos
possam ser solucionados é necessário usar a matemática, uma ferramenta essencial em
qualquer área científica.
1.2 Funções, Números Reais e Gráficos
Tomemos o exemplo das velocidades máximas atingidas por ano na corrida de
500 milhas de Indianápolis conforme Tab. 1.1 e Fig. 1.1.
Tabela 1.1: Velocidades Máximas atingidas por ano na corrida de Indianópolis
Ano
Velocidade Máxima (milhas/hora)
1975
193,7
1977
198,8
1979
193,7
1983
200,5
1985
207,5
1987
212,5
1989
223,8
1991
224,1
1993
223,9
Fonte: Dados Hipotéticos.
1
A análise da Fig. 1.1 permite que as seguintes questões sejam prontamente
respondidas:

Em que ano a velocidade foi máxima?

Em que ano a velocidade foi mínima?

A taxa de variação da velocidade com o tempo pode ser considerada constante?

Qual seria esta taxa de variação média?
Velocidades Máximas
230
225
220
215
210
205
200
195
190
1970
1975
1980
1985
1990
1995
Anos
Figura 1.1: Velocidades Máximas atingidas por ano na corrida de Indianópolis.
Tendo em vista a relação dada na Fig. 1, verifica-se que a cada ano que se passa
no tempo, uma velocidade máxima distinta é atingida. Essa relação pode esta associada
em função da evolução tecnológica ao longo dos anos. Desta forma, podemos definir
função como sendo um critério que associa a cada entrada uma saída como ilustra a Fig.
1.2 Verifica-se que x é a variável independente e f(x) = y é a variável dependente.
2
Figura 1.2: Máquina função: entra x e sai f(x).
Como exemplos de variáveis independentes e dependentes pode-se citar:
1) A área de um círculo depende de seu raio r pela equação: A  r 2 , assim A  f r  ;
2) A velocidade de uma bola caindo no campo gravitacional da Terra é v  gt ;
3) O número de bactérias presentes após uma hora em uma cultura é função do número
inicial de bactérias.
Neste contexto, cabe definir conceitos importantes tais como:

Domínio: é o conjunto de todas as entradas possíveis da máquina função.

Imagem: é o conjunto de todas as saídas possíveis.

Conjunto dos Números Reais (R): o conjunto formado por todos os números
racionais e irracionais.
Alguns exemplos tratam deste assunto, como é descrito a seguir:
1) z  k . k deve ser maior do que zero, pois no conjunto dos números Reais não há
raiz de um número negativo, portanto
Dom( z )  R 
Im( z )  R 
.
2) y  2x 2 . Não há restrições nas entradas, porém, pela natureza da função todas as
saídas serão positivas ou nulas, portanto
Dom  y   R
Im y   R 
.
3
3) Equação em função do tempo do espaço percorrido por um objeto em queda
livre na Terra, partindo do repouso: h  1 / 2 gt 2 . Apesar da semelhança desta
expressão com a do exemplo 2, não existe fisicamente tempo negativo, portanto
Domh   R 
Imh   R 
.
Importante: Uma função associa a cada valor do domínio, apenas um valor da
imagem.
Teste da reta vertical: Uma curva no plano xy será uma função y=f(x) se, e somente se,
nenhuma reta vertical intercepta a curva mais do que uma vez.
Exemplo: O gráfico da equação y 2   x 2  1 é um círculo de raio 1, portanto esta
equação não representa uma função (dois y para um mesmo x).
y1  1  x 2 e y 2   1  x 2
Porém as equações:
representam semi-círculos
(vermelho e verde, respectiva-mente) e portanto funções representadas na Fig. 1.3.
1,5
1
y
0,5
0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-0,5
-1
-1,5
x
Figura 1.3: Circunferencia.
4
1.3 Função Valor Absoluto
O valor absoluto de um número real x é definido por
 x para x  0
.
x 
 x para x  0
As propriedades correspondentes são:
a  a
ab  a b
.
a/b  a /b
Note que a função valor absoluto é um exemplo de funções definidas por
0 x  1

partes, ou seja, por exemplo: f  x    1  x 2  1  x  1 .
x x  1

1.4 Álgebra de Funções
Dadas as funções f(x) e g(x), define-se as seguinte propriedades:
 f  g x   f x   g x 
 f  g x   f x   g x 
 f  g x   f x   g x 
 f / g x   f x  / g x 
cf x   cf x 
Obs.: Quais são os domínios destas funções? Para as operações f+g. f-g e f.g o domínio
da função resultante corresponde à intersecção dos domínios das funções f e g mas para
f/g, o domínio corresponde à intersecção dos domínios, mas para os pontos onde g(x) 
0.
1.5 Função Composta
Corresponde à combinação de duas funções f(x) e g(x) onde o x da função
original, por exemplo f(x) é substituído por g(x).
f  x   x 2  3x  1
Exemplo: g  x   x  5
.
f g  x    x  5  3 x  5  1
2
5
1.6 Funções Pares e Ímpares

Pares: são funções cujos gráficos são simétricos em relação ao eixo y. Se y=f(x)
então y=f(-x).
Ex.:
y  f x   x 2
f  x   x 2
.
Figura 1.4: Funções pares.

Ímpares: são funções cujos gráficos são simétricos em relação à origem. Se y =
f(x), então, y= -f(-x).
Ex.:
y  f x   x 3
f  x    x 3
.
Figura 1.5: Funções ímpares.
1.7 Funções Lineares
Toda a equação de primeiro grau é representada por uma reta, num plano
cartesiano. Uma reta pode ser descrita de diversas formas:
Ax  By  C  0
y  mx  b
y  y1  m x  x1 
x y
 1
a b
(x1,y1)
b
Inclinação = m
a
6
A equação do primeiro grau que expressa y como uma função de x é conhecida
como função linear, ou seja y  mx  b . O parâmetro m representa:

declividade da reta (ângulo de inclinação)

taxa de variação de y em relação a x.
1.8 Função Potência
Função na forma y  x p , onde p é uma constante, que pode assumir um valor
inteiro positivo, inteiro negativo ou fracionário.
Quando p assume o valor –1, a função resultante é a função inversa.
1.9 Função Polinomial
Função expressa como uma soma infinita de termos na forma cx n , onde c é uma
constante e n é um número inteiro não negativo.
Exemplos:
1) 3x 2  2 x  1
2) x 3
3) x 3  5x  x
4) 4 (  4 x 0 )
Os c´s também são conhecidos como coeficientes do polinômio. A mais alta
potência de n representa o grau do polinômio. No exemplo acima têm-se:
1) grau 2
2) grau 3
3) grau 3
4) grau 0.
O domínio natural de um polinômio é R. A imagem depende do polinômio.
1.10 Funções Racionais
Função que pode ser expressa como uma razão entre dois polinômios
f x  
Px 
. O domínio de f(x) consiste de todos os valores de x tais que Q(x)  0,
Qx 
como já foi visto.
7
Exemplo: a função f  x  
x2  2x
, tem o gráfico:
x2  1
Figura 1.6: Função racional.
Observações:
1) f(x) apresenta descontinuidades onde o denominador é zero;
2) À medida em que x se aproxima dos pontos de descontinuidades, o gráfico da função
cresce indefinidamente, aproximando-se de uma reta vertical, conhecida como
Assíntota Vertical;
3) Existem situações em que a medida em que x aumenta ou diminui indefinidamente, y
se aproxima de um valor fixo, ou seja de uma reta horizontal conhecida como Assíntota
Horizontal.
1.11 Funções Algébricas
Funções que podem ser construídas com polinômios, aplicando-se um número
finito de operações algébricas.
f x   x 2  4
Exemplos: g z   3 z 2  z  .
2
k m   m 3 m  2 
2
8