CURSO VETOR – MAT I – PROF: FREDERICO SHU

CURSO VETOR 2011 – MAT I – PROF.: FREDERICO SHU
Dúvidas: [email protected] Assunto: Dúvida – Curso Vetor
AULA 30 – COMPLEXOS
Ex 3: Escrever os seguintes complexos na forma polar.
a) 4
NÚMERO COMPLEXO
Todo que pode ser escrito da forma: z = a + b . i
a = parte real
b = parte imaginária
IGUALDADE DE COMPLEXOS
a + bi = c + di se e somente se a = b e c = d
OPOSTO DE UM COMPLEXO
- z = - a - bi
CONJUGADO DE UM COMPLEXO
b) 3i
z = a - bi
SOMA DE COMPLEXOS
z = a + bi
w = c + di
z + w = (a + b) + (c + d) i
MULTIPLICAÇÃO DE COMPLEXOS
z = a + bi
w = c + di
Ex 1: Calcule z . w =
c) - 2 + i 2
DIVISÃO DE COMPLEXOS
Multiplicar o denominador pelo seu conjugado.
Ex 2 : Efetue
3
2+i
FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR
Plano de Argand-Gauss
OBS: A forma trigonométrica é útil para calcularmos o
produto, potenciação e radiciação de complexos, sem
precisarmos efetuar algebricamente.
1. Multiplicação
z = a + bi
w = c + di
|z . w| = |z| . |w|
z = x + yi pode ser representado pelo ponto P acima, onde
(módulo de z)
z = |z| . (cos θ + i . sen θ) = |z| . cis θ
cos θ =
x
|z|
sen θ =
y
|z|
θ = argumento de z
P(x, y) é chamado de afixo de z
θzw = θz + θw
Ex 4: Calcule z1 . z2 , sendo
5π
5π
11π
11π
z 1 = 4 (cos + i sen ) e z 2 = 6 (cos
+ i sen
)
6
6
6
6
2. Potenciação
zn = (|z|)n . (cos nθ + i . sen nθ) = (|z|)n . cis nθ
Ex 5: Calcular z 5 sendo z = 2 + i . 2 3
Exercícios
1) (UFF 2009) No período da “Revolução Científica”, a
humanidade assiste a uma das maiores invenções da
Matemática que irá revolucionar o conceito de número: o
número complexo. Rafael Bombelli (1526 – 1572),
matemático italiano, foi o primeiro a escrever as regras de
adição e multiplicação para os números complexos. Dentre as
alternativas a seguir, assinale aquela que indica uma
afirmação incorreta. R:d
A) o conjugado de (1 + i) é (1-i)
B) |1 + i| = 2
C) (1 + i) é raiz da equação z² – 2z + 2 = 0
D) (1 + i) -1 = (1 – i)
E) (1 + i) ² = 2i
3. Radiciação
n
θ 2π
θ 2π
z = n |z| [cos( + k ) + i sen( + k )]
n
n
n
n
onde k ∈Z
2) (UERJ 2005) João desenhou um mapa do quintal de sua
casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um sistema de
coordenadas retangulares, colocando a origem O na base de
uma mangueira, e os eixos OX e OY com sentidos oeste-leste
e sul-norte, respectivamente. Cada ponto (x, y), nesse
sistema, é a representação de um número complexo z = x + iy
x ∈ IR, y ∈ IR e i2 = −1. Para indicar a posição (x1, y1) e a
distância d do cofre à origem, João escreveu a seguinte
observação no canto do mapa: x1 + iy1 = (1+i)9
Calcule:
A) as coordenadas (x1, y1); R:(16,16)
B) o valor de d. R:16sqr2
OBS: A operação de radiciação serve para calcular todas as 3) (UNIRIO 1996) Se z1 e z são números complexos
representados pelos seus afixos no Plano de Argand-Gauss ao
raízes (reais e complexas) de uma equação xn + b = 0
lado, então z3 = z1. z2 escrito na forma trigonométrica é: R:E
3
Ex 6: Calcule todas as raízes de x - 8 = 0. R:2, -1±isqr3
a) 2 (cos 225° + i sen 225°)
b)
2 (cos 315° + i sen 315°)
c) 2 2 (cos 45° + i sen 45°)
d) 2 2 (cos 135° + i sen 135°)
e) 2 2 (cos 225° + 1sen 225°)
4) (UERJ 2004) Considere os números complexos da forma
z(t) = 3t + t . i, na qual t ∈ R e i é a unidade imaginária. Os
pares ordenados (x, y), em que x e y são, respectivamente, a
parte real e a parte imaginária do número complexo z,
definem o gráfico de uma função da forma y = f(x). A função
representada pelo gráfico assim definido é classificada como:
a) linear
b) quadrática
c) exponencial d) logarítmica
5) (UFF 2001) O número complexo z, |z| > 1, está
representado geometricamente a seguir.
Im
0
Re
A figura que pode representar, geometricamente, o número
complexo z2 é: R:C
(A)
Im
(D)
0
Re
0
Im
Re
Im
(B)
(E)
Im
0
0 Re
Re
(C). Im
0
Pode-se afirmar que o número m + n + p + q
(A) é um real não nulo.
(B) é igual a zero.
(C) possui módulo unitário.
(D) é um imaginário puro.
(E) é igual a 1 + i.
14) (UNIRIO 2000) Considere um número complexo z, tal que
o seu módulo é 10, e a soma dele com o seu conjugado é 16.
Sabendo que o afixo de z pertence ao 4Ž quadrante, pode-se
afirmar que z é igual a: R:D
a) 6 + 8i
b) 8 + 6i
c) 10
d) 8 - 6i
e) 6 - 8i
Re
6) (UFRRJ 2001) Para que a equação 2x2 + px + q = 0, com p e
6
3
q reais, admita o número complexo Z = 3 - 2 i como raiz, o 15) (UERJ 2010) As seis soluções da equação z + z + 1 = 0
são números complexos que possuem módulos iguais e
valor de q deverá ser R:D
a) 10.
b) 12.
c) 13.
d) 26.
e) 28. argumentos distintos. O argumento θ, em radianos, de uma
7) (UFF 2002) Três números são representados, no plano
dessas soluções pertence ao intervalo
.
complexo, sobre uma circunferência com centro na origem,
Determine a medida de θ. r:8π/9.
dividindo-a em três partes iguais. Sabendo que um dos
16) (UFF 2006) Considere o polinômio p(x) = x3 - 1.
números é ( 3 - i), determine os outros dois. R:2i e - 3 -i
a) Encontre, em C, todas as raízes do polinômio p(x).
8) (UNIRIO 2008) Determine o valor dos coeficientes reais a,
b e c do polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx + c , sabendo que as
raízes deste polinômio estão em progressão geométrica de b) Calcule a área do polígono cujos vértices são os pontos
razão 2 e que p(0) = -8. R: 7, 14 e 8
que representam as raízes do polinômio p(x), no plano
9) (UERJ 2001) Os afixos de três números complexos são complexo. R:3SQR3/4
eqüidistantes de (0,0) e vértices de um triângulo eqüilátero. c) Sejam z1 e z2 as raízes complexas, não reais, do polinômio
p(x). Determine o valor de (z13000 + z23000). R:2
Um desses números é 1 + i 3 . Calcule os outros números
na forma a + bi. R: -2 e 1 – i
3
10) (UERJ 2004) Considere o seguinte número complexo:
Ao escrever z na forma trigonométrica, os valores do módulo
e do argumento serão, respectivamente, de: R:D
a) 2 e 25π/12.
b) 2 e 17π/12.
c)
2 /2 e 25π/12.
d)
2 /2 e 17π/12.
11) (UERJ 2004) Um matemático, observando um vitral com o
desenho de um polígono inscrito em um círculo, verificou
que os vértices desse polígono poderiam ser representados
pelas raízes cúbicas complexas do número 8. A área do
polígono observado pelo matemático equivale a: R:C
a) 3 .
b) 2 3 .
c) 3 3 .
d) 4 3 .
12) (UFF 2003) Considere o número complexo z escrito na
forma z = r cosθ + i r senθ sendo r um número real positivo e
θ medido em radiano. Determine os possíveis valores do
1
ângulo θ de modo que z 2 =
. R: θ=-π/8+n π
1+i
13) (UFF 1997) Considere os números complexos m, n, p e q,
vértices de um quadrado com lados paralelos aos eixos e
centro na origem, conforme a figura abaixo. R:B