T - Centro de Estudos Espaço

Física 1 – Capítulo 2 – Movimento em 2,3D – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.

Movimento Retilíneo.

Velocidade média:
t
am
a t
 Observações:
1
ln t C
Lançamento Oblíquo
v
t
v2 v1
t2 t1
dv
dt
v
lim
t 0 t
d n
t
dt
v t
g
 Eixo Ox: Movimento uniforme. MU
 Eixo Oy: Movimento uniformemente variado.
MUV.
x
n tn 1
d
sent cos t
dt
d
cos
sent
dt
d t
e
et
dt
d
1
ln t
dt
t
s t
t s t
s
lim
lim
t 0 t
t 0
t
y
ds
dt
s t
a t
dv
dt
vy
v0y
g t
x x0
v0x
2
y

x x0
v0x
y0 v0 y
v0x
v0 cos
v0y
v0 sen
v0
v02x
v
y
g
2
x x0
v0x
Decomposição da velocidade:
v t dt
dv a t dt
g 2
t
2
y0 v0y t
t
ds v t dt
Velocidade instantânea:
x0 v0x t
dy
dt
vy
Função posição:
v t


C
Aceleração instantânea:
a t

1
dt
t
et
Aceleração média:
am

0
1
cos t C
et dt
s
t
lim
n
sent C
sentdt
ds
dt
v t

cos tdt
Velocidade instantânea:
v t
tn 1
C
n 1
t n dt
s2 s1
t2 t1
vm
a t dt
 Observações:
s
t
vm

v t
y0
v0 y
v0x
v02y
vx2 vy2
x x0
g
2 v02x
x x0
2
Física 1 – Capítulo 2 – Movimento em 2,3D – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
2
y
y0
y
v0 sen
v0 cos
y0 tg
g
x x0
2 v0 cos
g
x x0
2
2 v0 cos
 Tempo de subida ou de descida:
vy
0
0 v0y
x x0
v02
sen 2
g
2
R
2
v0 y
h v0 y
g
g t
h
v0 y
g
2
2
g
v02y
2g
g
Tempo total:
tt

x x0
v0 y
ts

2
2
v0 y
g
Alcance:
x v0x t
v0 y
x v0x 2
x
x
g
v0 y
2 v0x

g
2 v0 cos
v0 sen
Observação: Alcance máximo:
sen2
1
4
Suponha que a velocidade de um carro seja
dada por:
g
2 v02 cos sen
x
g
sen2 2 sen cos
v02
x
sen 2
g

1.
2
45
2
Exemplos
v t
60 0.5 t 2 SI
(a) Encontre a aceleração média entre os instantes
t1 = 1.0 s e t2 = 3.0 s.
(b) Encontre a aceleração instantânea nos instantes
t1 = 1.0 s e t2 = 3.0 s.
 Solução:
(a) aceleração média entre os instantes t1 = 1.0 s e
t2 = 3.0 s.
am
v1 t1 1
v
t
am
60 0.5 12
v2 v1
t2 t1
v1
60.5
m
s
Física 1 – Capítulo 2 – Movimento em 2,3D – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
v2 t2
64.5 60.5
3 1
am
(b)
a
60 0.5 32
3
dv
dt
am
64.5
2
m
s
m
s2
0 0.5 2 t 2 1
a t
a t
a1 t1 1
a2 t2
v2
1
3
3
(b)
v t
15 4 t 25
4 t 25 15
10
t
t 2.5s
4
x t 2.5 5 15 2.5 2 2.52
x t
t
m
s2
m
3 2
s
55m
3. Uma moeda é largada da Torre de Pisa. Ela
parte do repouso e move-se em queda livre. Calcule sua
posição e velocidade nos instante 1.0, 2.0 e 3.0 s.
a1 1
a2
2.5
2. Um motociclista se dirige para o leste e acelera
a moto depois de passar pela placa que indica os limites
da cidade. Sua aceleração é constante e igual a 4.0 m/s2.
No instante t = 0 ele está a 5m a leste do sinal,
movendo-se para leste a 15 m/s.
(a) Determine sua posição e velocidade no instante
t1 = 2.0 s.
(b) Onde está o motociclista quando sua velocidade
é 25m/s?
 Solução: t = 0s
a = 4m/s²
v0 = 0
0
50
x(m)
v0 = 15m/s
0
x0= 5
s(m)
a 2
x x0 v0 t
t
2
4 2
x t 5 15 t
t
2
4 2
x t1 2 5 15 2
2
2
x t1 2 43m
v t
x t 5 15 t 2 t 2
dx
v t 0 15 1 2 2t 2 1
dt
v t 15 4 t
v1 t1
2
t = 2s
v1
15 4 2
m
23
s
a = 4m/s²
v1 = 23m/s
0
x= 43m
x(m)
4. Um motociclista doido se projeta para fora da
borda de um penhasco. No ponto exato da borda, sua
velocidade é horizontal e possui módulo 9.0 m/s. Ache
a posição, a distância da borda e a velocidade depois de
0.5 s.
3
Física 1 – Capítulo 2 – Movimento em 2,3D – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.

Movimento em 2 e 3 dimensões
Vetor deslocamento r :
r
rf t f
ri ti
4

Vetor velocidade instantânea
v
lim
t
v


Vetor velocidade média
vm
r
t
vm :
r
t
dr
dt
Vetor aceleração média
am

0
v
t
v :
am
am
:
vf
vi
t
Vetor aceleração instantânea
v
a lim
t 0
t
dv
a
dt
a:
Física 1 – Capítulo 2 – Movimento em 2,3D – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
5

Solução:
(a)
x t iˆ y t
r t
r t
v0x t iˆ
v0y t
velocidade instantânea
instantânea
a t
v t e o vetor aceleração
oblíquo com velocidade v0
a t
v0x iˆ v0 y ˆj
(b) Um homem lança um objeto a 20 m/s a 30°
com a horizontal do alto de um edifício de 45 m.
Encontre a posição x horizontal que o objeto irá cair.
dt
ˆj
(vetor velocidade instantânea no lançamento oblíquo)
r t , o vetor
a t para um corpo em lançamento
ˆj
d
d
1
v0x t iˆ
v0y t
g t2
dt
dt
2
v t v0x iˆ v0y g t ˆj
v t
(a) Encontre o vetor posição
1
g t2
2
dr t
v t
 Exemplo 1: Lançamento oblíquo:
ˆj
dv t
dt
d
iˆ
v0
dt y
d
v0
dt x
a t 0 iˆ
a t
g t
ˆj
0 g 1 ˆj
g ˆj
 Exemplo 2: Dado o vetor posição
r t de um
objeto que se move em relação a um sistema de
coordenadas:
r t
2 3t 2
iˆ
4t 5t 3
ˆj
1 t kˆ
(SI)
Determine:
(a) o vetor velocidade instantânea
v t .
(b) o vetor aceleração instantânea
a t .
Física 1 – Capítulo 2 – Movimento em 2,3D – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
(c) O vetor velocidade média entre os instantes
t1 = 0s e t2 = 2s.
(d) O vetor aceleração média entre os instantes
t1 = 0s e t2 = 2s.

Respostas:
(a) v t
(b) a
(c) vm
(b) am
t
6t iˆ
6 iˆ
4 15t 2
ˆj kˆ
30 t ˆj
m
6 iˆ 10 ˆj kˆ
s
m
6 iˆ 11 ˆj 2
s
6
 Exemplo 3: Um esquiador sai de uma
plataforma a 25m/s na direção horizontal, conforme a
figura que se segue. Encontre d, x e y.
 Exemplo 5: Estime o vetor posição e o
velocidade média entre os instantes:
(a) t0 =0 s e t1 = 1 s.
(b) t1 = 1s e t2 = 2 s.
Encontre a expressão geral para o vetor
velocidade instantânea e calcule a velocidade
instantânea em t = 2 s e seu módulo.
As componentes são dadas por:
x 2 0.25 t 2
y t 0.025 t3
(SI)
 Exemplo 4: Calcule a que distância cairá o
suprimento lançado de um avião a 40m/s e a 200m de
altura.

Solução:
(a) t0 e t1.
r0
r1
r2
2 iˆ 0 ˆj m
1.75 iˆ 1 ˆj m
0.8 iˆ 2.25 ˆj m
Física 1 – Capítulo 2 – Movimento em 2,3D – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
r
t
r r
vm 1 0
t1 t0
1.75 iˆ 1025 ˆj 2 iˆ 0 ˆj
vm
m
0.25 iˆ 1.025 ˆj
s
(b) v t
vx iˆ vy ˆj
dx ˆ dy ˆ
i
j
dt
dt
d
d
2 0.25 t 2 iˆ
t 0.025 t 3 ˆj
dt
dt
0 0.25 2 t 2 1 iˆ 1 t1 1 0.025 3 t 3 1 ˆj
v t
v t
v t
v t
0.5 t iˆ
v t
1 0.075 t 2
2
x
v
v
vx iˆ
dx ˆ
v t
i
dt
d
2 0.25 t 2 iˆ
dt
0 0.25 2 t 2
v t
ˆj
2
y
t0 = 0 s:
v t 0
t1 = 2 s:
v t 2
ˆj
1 0.075 22
ˆj
1 iˆ 1.3 ˆj
v1 v0
v
am
am
t
t
ˆ
ˆ
ˆ
1 i 1.3 j 0 i 1 ˆj
2 0
0.5 iˆ 0.15 ˆj m s 2
a t
d
dt
a t
a t
a t
dv t
dt
ax iˆ ay ˆj
dvx ˆ dvy ˆ
i
j
dt
dt
a t
d
1 0.075 t 2
dt
0.5 iˆ 0.15 t ˆj m s 2
0.5 t iˆ
0.5 iˆ 0.3 ˆj m s 2
2
a t
ax2 ay2
2
0.5
a t
ˆj
ˆj
v1
a t
2
ˆj
1 t1 1 0.025 3 t 3 1
0 iˆ 1 ˆj
a t
x t iˆ y t
t 0.025 t 3
1 0.075 02
0.5 2 iˆ
am
r t
ˆj
v0x iˆ v0 y ˆj
v0
am
x 2 0.25 t 2
y t 0.025 t3
ˆj
1 0.075 t 2
0.5 0 iˆ
v0
Exemplo 6: Calcule os componentes do vetor
aceleração média no intervalo de tempo entre t0 = 0 s e
t1 = 2 s. Ache a aceleração instantâmea para t1 = 2 s e
encontre seu módulo.
 Solução:
Do exemplo 5:
vy
dy
dt
d
dt
iˆ
1
0.5 t iˆ
v t
ˆj
dt
v t
v t
t 0.025 t 3
dr t
v t
1 0
vm
iˆ
2 0.25 t 2
r t
vm
2
0.3
0.58 m s 2
2
ˆj
ˆj7
Física 1 – Capítulo 2 – Movimento em 2,3D – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
 Exemplo 7: Num mesmo instante, dois objetos
iniciam seus movimentos da seguinte forma: um é
lançado de um canhão a uma velocidade vi e ângulo i
com a horizontal e outro é abandonado a uma distância
xT do lançamento. Encontre o tempo de encontro e a
altura do choque entre os dois objetos.
8
 Exemplo 8: Num mesmo instante, dois objetos
caem de formas diferentes: um em queda livre e outro
segundo uma velocidade vo horizontal. Mostre que
ambos chegam no mesmo instante no chão.
 Exemplo 9: Num mesmo instante, um caçador
ao mirar sobre um macaco numa árvore atira e o
macaco salto. O tiro atingirá o macaco? Explique.
Física 1 – Capítulo 2 – Movimento em 2,3D – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
 Componentes da aceleração e direção da
velocidade
a t
a
a
9
Física 1 – Capítulo 2 – Movimento em 2,3D – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
ĵ
iˆ
10
a t
a
a
a t
aT
aN
Podemos definir os versores r̂ e ˆ dependentes
do tempo da figura acima como os versores que
apontam na direção normal e tangencial ao círculo a
cada instante. Assim, observando a figura vemos que:
iˆ cos
ˆj sen
rˆ sen
rˆ cos
ˆ
ˆ
d ˆ
i cos
dt
sen
ˆj
ˆj
drˆ
dt
d
dt
dˆ
dt
dˆ
dt
sen
iˆ cos
ˆj
drˆ
ˆ
dt
d ˆ
cos
i sen
dt
cos
iˆ sen
rˆ
dˆ
dt
ˆj
rˆ
vx iˆ vy ˆj
rˆ sen ˆ vy sen rˆ cos
v
d ˆ
j
dt
v
vx cos
v
vx cos
v y sen
v
ˆj
drˆ
dt
ˆj
vx
sen
v y cos
ˆ
vr rˆ v
ˆ
a
dv
dt
d
vr rˆ v
dt
dvr
drˆ dv
rˆ vr
dt
dt dt
a
ˆ
ˆ
ˆ v d
dt
ˆ v ˆ
vr rˆ vr rˆ v
dr
drˆ
drˆ
ˆ
r
rˆ
dt
dt
dt
ˆ
d
dˆ
ˆ d
rˆ
dt
dt
dt
ˆ v ˆ v
a vr rˆ vr
a
d ˆ
j
dt
rˆ
A aceleração será:
a
iˆ cos
dˆ
dt
ˆj
Observe que:
d
dt
sen
iˆ sen
cos
dt
É costume escrever:
drˆ
dt
iˆ sen
cos
Observe que:
Veja que:
drˆ
dt
d
dt
dˆ
Ou:
rˆ cos iˆ sen
ˆ
sen iˆ cos
dˆ
dt
ˆ
rˆ
rˆ
ˆ
ˆ
Física 1 – Capítulo 2 – Movimento em 2,3D – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
a
vr
rˆ
v
vr
Aqui: v
r
vr
vr
r
dv
dr
d
r
dt dt
dt
v r
r
v
a
ˆ
v
rˆ
v
r
r
ˆ
r
r
ˆ
vr
11
r
a
vr
a
rˆ
v
rˆ
2
r r
r
2 r
r
ˆ
Vamos analisar o caso em que o módulo da
velocidade é constante. Como o vetor velocidade é
sempre tangente à trajetória, podemos escrever:
v
v
vr
v ˆ
v
0
Nesse caso, o vetor aceleração será:
a
rˆ
0 v
a
a
v
rˆ
r
v
0 ˆ
0
v
rˆ
v2
rˆ
r
a
Movimento Circular uniforme
Quando uma partícula se move sobre uma curva, a
direção da velocidade varia. Se o módulo da velocidade
for constante, não haverá aceleração tangencial. Assim:
a t
a
a
0
Como o módulo da velocidade é constante:
a
a
dˆ
dt
v
rˆ
v
Veja que em uma oscilação completa, teremos:
v
2
T
Ou seja, a aceleração é dirigida para o centro
da circunferência.
Chamamos
de velocidade angular, e no
MCU ela é constante, nas unidades radiano por
segundo: rad/s.
a
v
r
t
2
T
rˆ
2
f
Física 1 – Capítulo 2 – Movimento em 2,3D – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
θ
1
T
f
f é a freqüência nas unidades Hertz: 1Hz=1/s
ou ainda rpm (rotações por minuto): 1 rpm = 1Hz/60
Podemos reparar que:
v
2
r
T
v
aN
v t1
a
a
v
rˆ
r
v
v t2
v2
r
aN
acp
v sen iˆ v cos
a
Aceleração normal ou centrípeta do MCU:
acp
v sen
a
ˆj
ˆj
ˆj
v sen iˆ v cos
v
a
t
v t2
v2
rˆ
r
2
r rˆ
v2
r
vx t1 iˆ vy t1
v sen iˆ v cos
vx t2 iˆ vy t2
v t1
r
Assim:
a
v2
r
ˆj
s
t
v
s
v cos
ˆj
s
s
v
R
R
t
a
a
2
2
2
2
v
2v cos
R
2
v
2v 2 cos
R
2
a
v cos
ˆj
t
R
a
ˆj
t
2v cos
t
a
v2
r
v sen iˆ v cos
t
iˆ
v sen
12
ˆj
v2
R
ˆj
ˆj
cos
2
ˆj
v2
cos
lim
R
2
ˆj
2
2
0
2
2

2
Outra forma de demonstração:
cos
θ
v(t1)
lim
2
2
0
cos
0
θ
α
lim
2
2
0
cos
lim
2
cos
2
sin
0
lim
v(t2)
cos
cos
2
lim
2
2
2
sin
lim
0
2
2
sin
2
Física 1 – Capítulo 2 – Movimento em 2,3D – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
cos
lim
2
sin
0 2
2
1
sin
lim
0
2
lim
0
1
1
1
2
2
2
a
v2
cos
2 lim
R
2
ˆj
2
a
2
a
 Exemplo
curvilíneos:
de
v2 1 ˆ
j
R 2
v2 ˆ
j
R
situações
R
movimentos
402
8.5
R
R 190m
 Exemplo 11 – Em um brinquedo de um parque
de diversões, os passageiros viajam com uma
velocidade constante em um círculo de raio 5 m. Eles
fazem uma volta completa no círculo em 4.0 s. Qual é a
aceleração deles ?

de
v2
arad
arad
Solução:
v2
R
arad
arad
R
arad
2
R
2
arad
R
2
T
4
42
2
arad
4
T2
R
2
R
2
5
arad
12 m s 2
Os movimentos circulares são muito freqüentes no
cotidiano. Eles se encontram nas bicicletas, nos
veículos automotores, em fábricas, em equipamentos
em geral, etc.
Ao falar de movimento circular é necessário a
introdução de propriedades angulares como a
aceleração angular, deslocamento angular e velocidade
angular. No caso de movimentos circulares existe ainda
a definição de período, que é uma propriedade utilizada
no estudo de movimentos periódicos.
 Exemplo 10 – Uma BMW Z3 pode possuir
uma “ aceleração lateral” de 0.87 g, o que equivale a
8.5 m/s². Isso representa a aceleração centrípeta máxima
sem que o carro deslize para fora de uma trajetória
circular. Se o carro se desloca a uma velocidade de 40
m/s = 40/3.6 =144 km/h, qual é o raio mínimo da curva
que ele pode aceitar ? (Suponha que a curva não possua
inclinação lateral).

Solução:
13
Física 1 – Capítulo 2 – Movimento em 2,3D – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
Movimento Circular não uniforme
Nesse movimento, a velocidade variará em
direção e valor. Haverá a aceleração tangencial e a
aceleração centrípeta.
aT t

R
Aceleração centrípeta:
acp t

t
v2 t
R
Aceleração resultante:
a
acp2 t
aT2 t
Pode-se classificar o MCUV como retardado ou
acelerado, dependendo se a velocidade angular diminui
com o tempo ou aumenta, respectivamente.
O movimento circular ocorre quando em diversas
situações que podem ser tomadas como exemplo:
 Satélites artificiais descrevem uma trajetória
aproximadamente circular em volta do nosso planeta.

Uma pedra fixada a um barbante e colocada a girar
por uma pessoa descreverá um movimento circular
uniforme.
 Discos de vinil rodam nas vitrolas a uma frequência
de 33 ou 45 rotações por minuto, em MCU.
 Engrenagens de um relógio de ponteiros devem
rodar em MCU com grande precisão, a fim de que não
se atrase ou adiante o horário mostrado.
 A translação da lua em torno do planeta Terra.
 Uma ventoinha em movimento.
Quando a aceleração tangencial aT é constante,
chamamos esse movimento de Movimento Circular
Uniformemente variado (MCUV). Nesse caso, valem as
relações:
t

t
0
Aceleração angular:
t
Unidade: rad/s²
 Função horária angular:
t
0
2
v t

0
2
0
t2
2
t
2
R
Aceleração tangencial:
t
14