Gabarito da Prova 1/3 - Anderson Coser Gaudio

Universidade Federal do Espírito Santo
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Física
FIS09066 Física 2
Prof. Anderson Coser Gaudio
Prova 1/3
Nome: ___________________________________ Assinatura: ____________________________ Matrícula UFES: _______________
Semestre: 2013/2
Curso: Física (B e L)
Turmas: 01 e 02
Data: 11/11/2013
GABARITO
Questão 1. A equação da velocidade de um oscilador harmônico é definida por:


v(t )    0, 60 m/s  cos    0,50 s 1  t 
3

(a) Qual a amplitude das oscilações? [1,0]
(b) Qual o período das oscilações? [1,0]
Antes de tudo, vamos converter a função cosseno em seno, para apresentar v(t) em sua forma tradicional.


    cos   , teremos:
2

  

v(t )    0, 60 m/s  sen      0,50 s 1  t  

2 3
Como sen 


v(t )    0, 60 m/s  sen  0,50 s 1  t  
6

1-(a)
Comparando a função acima com:
v(t )  0 xm sen 0t  0 
Identificamos a frequência angular natural do oscilador como:
0  0,50 s1
Também por comparação, concluímos que:
0 xm  0, 60 m/s
Substituindo-se o valor numérico de 0, teremos:
0, 60 m/s
0,50 s 1
xm  1, 2 m
xm 
1-(b)
O período de um oscilador harmônico é definido por:
T
2
0

2
 12,566
 0,50 s1 
s
T  13 s
Questão 2. A figura ao lado mostra um pêndulo de comprimento L, com um peso
esférico de massa M e raio muito menor do que L. Este peso está ligado a certa mola de
constante k. Quando o peso está na vertical do ponto de suspensão, a mola tem o
comprimento de equilíbrio.
(a) Deduza a expressão do período de oscilação deste sistema no caso de vibrações de
pequena amplitude. [1,5]
(b) Imagine que M = 1,00 kg e L é tal que na ausência da mola o período seja de 2,00 s. Qual a constante da
mola se o período de oscilação do sistema for de 1,00 s? [1,0]
2-(a)
Considere o seguinte esquema da situação, onde Fg é a força gravitacional e Fe é a força elástica:
Vamos resolver a segunda lei de Newton para este sistema, em sua forma rotacional, para chegar à
equação diferencial do MHS.

z
 I z
Os torques restauradores que atuam na direção tangencial são o da gravidade e o da mola.
 z   z   Fg L  Fe L  mL2 z
mg sen  L  kx cos  L  mL2 z
Para valores pequenos de , teremos sen    e cos   1. Substituindo x por L:
mg  kL  mL z
Rearranjando, teremos:
g
k
 z     
 L m
A equação acima pode ser representada por:
 z  02
Onde a frequência angular natural do oscilador vale:
g k

L m
0 
Logo, o período do oscilador vale:
T
2
g k

L m
2-(b)
Usando a condição de ausência da mola, que dá ao pêndulo simples um período de 2,00 s, podemos calcular
o comprimento do pêndulo:
T  2
L
g
gT 2  9,81 m/s   2, 00 s 
L

 0,993961
4 2
4 2
2
2
m
Agora com o sistema completo, sabendo-se que o período é de 1,00 s, determinaremos a constante k:
T2 
4 2
g k

L m
 4 2
9,8 m/s 2  

 4 2 g 
  29, 6088
k  m  2    1, 00 kg  

2
L
 1, 00 s   0,993961 m  
 T
N/m
k  29,6 N/m
Questão 3. Imagine que Kepler descobrisse que o período de revolução de um planeta, numa órbita circular,
era proporcional ao quadrado do raio da órbita. A que conclusão chegaria Newton sobre a dependência entre
a atração gravitacional de dois corpos e a distância entre eles? Justifique matematicamente. [2,0]
Considere o seguinte esquema da situação:
A suposição colocada no enunciado é de que:
T  r2
(1)
Sabendo-se isso, a lei da gravitação de Newton deverá assumir a forma:
Fg 
1
rn
onde n é um número real. Para determinar o valor de n, vamos resolver a equação do movimento circular da
massa m. Como a força gravitacional assume o papel de força centrípeta do movimento circular, teremos:
Fc  Fg
mv 2
1
 n
r
r
A velocidade de m é a razão entre a distância percorrida numa volta completa (2r) e o tempo requerido para
isso (T):
1
 2 r 
m
  n 1
r
 T 
2
2
n 1 2
T  4 mr
2
1
2
T   4 m  r
2
n 1
2
(2)
Comparando-se (1) e (2), teremos:
n 1
2
2
n3
Portanto, Newton chegaria à conclusão de que:
Fg 
1
r3
Questão 4. Uma casca esférica fina de massa M e raio R é mantida fixa no espaço. Há um pequeno orifício
na casca, como indicado na figura ao lado. Uma massa m é liberada a partir do repouso a uma distância x do
orifício, sobre a linha reta que passa por este e o centro da casca. A partir daí, m move-se apenas sob a ação
da força gravitacional devido a M. Considere U = 0 quando as
massas M e m estiverem separadas por uma distância infinita.
(a) Determine a velocidade de m no instante que passa pelo
orifício. [1,0]
(b) Quanto tempo leva para m ir do orifício até o ponto A,
localizado diametralmente oposto ao orifício? [1,0]
A
(c) Utilize a expressão final obtida no item (a) para calcular a
velocidade que m teria ao passar pelo orifício caso fosse
liberado a uma distância x =  e posto em movimento com
um pequeno impulso no sentido da casca. [1,0]
(d) O que há de especial na velocidade obtida no item (c)? [0,5]
M, R
x
m
Considere o seguinte esquema da situação:
4-(a)
Como o sistema é conservativo, aplica-se a conservação da energia mecânica às configurações em que m está
em C e B.
KC  U C  K B  U B
GMm 1 2 GMm
0
 mvB 
xR 2
R
2
GM
GM
vB2 

R
xR
x
vB   2GM
 x  R R
De acordo com a coordenada x adotada, teremos:
vB   2GM
x
 x  R R
4-(b)
Dentro da casca esférica o potencial gravitacional é constante e, portanto, não há interação gravitacional
entre M e m. Logo, m desloca-se com velocidade constante. Aplicando-se a equação do movimento retilíneo
uniforme entre os pontos B e A, teremos:
x  x0  vxt
xC  xB  vx tBC
 R  R   2GM
x
t
 x  R  R BC
2R
t BC 
2GM
tBC 
x
 x  R R
2 R3 x  R
GM x
4-(c)
Partindo-se do resultado de (a):
vB   2GM
x
2GM
1
2GM


R  x R
R
 x  R R
  
x x
1
 R
1  
x

Sendo x uma distância infinita, teremos:
vB  
2GM
1
R  R
1  
 
vB  
2GM
R
4-(d)
O negativo de vB (que movimentaria m de B ao infinito) corresponde à velocidade de escape de m da
superfície da casca esférica M.
Dados: Aceleração da gravidade na superfície da Terra: g = 9,81 m/s2.